變速多移動(dòng)質(zhì)量耦合作用下柔性梁系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)分析

王穎澤，張小兵

(1.江蘇大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013;2.南京理工大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，南京 210094)

在車輛通過(guò)橋梁及彈丸飛離身管的過(guò)程中，車輛及彈丸的高速運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性載荷將分別引起橋梁及身管的彈性振動(dòng)，對(duì)橋梁的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)［1］及彈丸的射擊精度［2］產(chǎn)生重大影響，為此對(duì)于此類移動(dòng)質(zhì)量作用下柔性梁的振動(dòng)響應(yīng)分析一直受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視。對(duì)于此類問(wèn)題的分析求解，由于涉及到移動(dòng)質(zhì)量的剛性運(yùn)動(dòng)與柔性梁彈性振動(dòng)的耦合作用而變得十分復(fù)雜，特別是隨著移動(dòng)質(zhì)量數(shù)目的增加且作變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，移動(dòng)質(zhì)量之間的相互影響及加速度產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)使得問(wèn)題的求解更加困難。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)這類問(wèn)題的研究主要集中在單個(gè)移動(dòng)質(zhì)量作用下柔性梁系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)分析，且大多是在不計(jì)移動(dòng)質(zhì)量的慣性效應(yīng)或者移動(dòng)速度為勻速的前提下進(jìn)行分析求解的［3－8］，對(duì)于全面考慮包括移動(dòng)質(zhì)量數(shù)目，運(yùn)動(dòng)形式，慣性效應(yīng)，變速產(chǎn)生的Coriolis慣性力、離心慣性力及相對(duì)慣性力等因素在內(nèi)的系統(tǒng)分析還很少見(jiàn)，其中文獻(xiàn)［9，10］分別對(duì)單個(gè)移動(dòng)質(zhì)量作用下各種慣性效應(yīng)對(duì)梁振動(dòng)的影響進(jìn)行了較為全面的分析。由于在工程實(shí)際中，同時(shí)作用于橋梁或者身管的移動(dòng)質(zhì)量往往不只一個(gè)［11］，其相互間的耦合作用產(chǎn)生的振動(dòng)效應(yīng)不同于單個(gè)移動(dòng)質(zhì)量的作用效果，對(duì)梁整體的振動(dòng)特性產(chǎn)生較大影響。為此本文結(jié)合柔性梁振動(dòng)理論，在全面考慮各種因素影響的基礎(chǔ)上，建立了多移動(dòng)質(zhì)量耦合作用下柔性梁系統(tǒng)的振動(dòng)方程，通過(guò)數(shù)值求解對(duì)多移動(dòng)質(zhì)量以各種運(yùn)動(dòng)形式作用下柔性梁系統(tǒng)的振動(dòng)特性進(jìn)行系統(tǒng)分析，給出了多移動(dòng)質(zhì)量作用下柔性梁系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)規(guī)律，為橋梁－車輛系統(tǒng)及身管－彈丸系統(tǒng)的整體設(shè)計(jì)及精度優(yōu)化提供了必要的理論參考。

1 柔性梁系統(tǒng)振動(dòng)方程

1.1 振動(dòng)方程的建立

圖1 多移動(dòng)質(zhì)量－梁系統(tǒng)振動(dòng)模型Fig.1 Vibration model of the Multi-moving masses-beam

考慮如圖1所示簡(jiǎn)支梁模型，其上作用質(zhì)量為mi，速度為vi，加速度為ai的多個(gè)運(yùn)動(dòng)物體，令t時(shí)刻梁上x處的撓度為w(x，t)，根據(jù)柔性梁振動(dòng)理論可得多移動(dòng)質(zhì)量作用下梁的振動(dòng)方程為:

式中:EI為梁的抗彎剛度，ρ為梁的單位長(zhǎng)度質(zhì)量密度，A為梁的截面積，δ為 Dirac函數(shù)，，，，分別為移動(dòng)質(zhì)量變速運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的牽連慣性力、Coriolis力、向心力及相對(duì)慣性力。

1.2 振動(dòng)方程的解耦

選取簡(jiǎn)支梁的振型函數(shù)為模態(tài)函數(shù)，采用模態(tài)疊加法對(duì)方程進(jìn)行坐標(biāo)變換，其變換形式為:

將式(2)代入式(1)進(jìn)行模態(tài)展開(kāi):

上式兩端分別乘以φk(x)并沿0到L積分，根據(jù)模態(tài)函數(shù)的正交性化簡(jiǎn)可得:

式中:

由此得到可數(shù)值求解的二階時(shí)變微分方程組:

式中:

2 柔性梁振動(dòng)響應(yīng)分析

對(duì)于解耦獲得的二階時(shí)變微分方程組，采用降階的方法將其轉(zhuǎn)化為一階代數(shù)－微分方程組，選取變步長(zhǎng)四階Runge_Kutta法進(jìn)行數(shù)值求解可得到q(t)的分布規(guī)律，將其帶入式(2)中即可獲得w(x，t)的分布規(guī)律。

2.1 算例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文求解模型的正確性，選取文獻(xiàn)［12］提供的計(jì)算實(shí)例進(jìn)行求解分析。相關(guān)的計(jì)算參數(shù)如表1所示。

表1 計(jì)算參數(shù)Tab.1 Calculation parameters

取移動(dòng)質(zhì)量數(shù)N=3，分別對(duì)初速為20 m/s條件下作勻加速和勻減速的情況計(jì)算求解得到如圖(2)、圖(3)所示結(jié)果，通過(guò)對(duì)比可知本文計(jì)算結(jié)果同文獻(xiàn)［12］結(jié)果十分吻合，從而驗(yàn)證了本文計(jì)算模型的正確性。

2.2 柔性梁振動(dòng)響應(yīng)求解分析

由于移動(dòng)質(zhì)量數(shù)目的增多，其相互間運(yùn)動(dòng)形式也相應(yīng)變得復(fù)雜，不失一般性文本選取兩個(gè)移動(dòng)質(zhì)量分別對(duì)其在同向和相向運(yùn)動(dòng)條件下的變速運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，進(jìn)而系統(tǒng)闡述柔性梁在多移動(dòng)質(zhì)量作用下的振動(dòng)響應(yīng)。

2.2.1 同向運(yùn)動(dòng)求解分析

選取移動(dòng)質(zhì)量mi=3.06×104kg，其他計(jì)算參數(shù)同上。分別對(duì)不同初速、不同加速度條件下的梁振動(dòng)情況進(jìn)行數(shù)值求解可得:

(1)從圖4給出的不同初速條件下移動(dòng)質(zhì)量以相同加速度作勻變速運(yùn)動(dòng)時(shí)梁跨中處撓度的分布曲線中可以看到，在多移動(dòng)質(zhì)量作用下梁跨中處的撓度呈現(xiàn)波動(dòng)現(xiàn)象，且撓度的振幅隨著變速的形式和大小的不同而不同:當(dāng)作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，撓度的最大峰值隨著加速度的增大而增大，而作勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，撓度的最大峰值隨著加速度絕對(duì)值的增大而減小。通過(guò)與圖2和圖3對(duì)比可知，在多移動(dòng)質(zhì)量作同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，梁跨中處的撓度分布規(guī)律同單移動(dòng)質(zhì)量作用下的撓度分布規(guī)律相似，但由于多個(gè)載荷相互間的影響使得撓度的波動(dòng)性更加劇烈。

(2)從圖5給出的加速度不同條件下移動(dòng)質(zhì)量以相同初速作變速運(yùn)動(dòng)時(shí)梁跨中處撓度的分布曲線中可以看到，當(dāng)移動(dòng)質(zhì)量均作變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，撓度的振幅隨著初速的增大而增加，且最大幅值增加的幅度隨著初速的增加而減小，隨著初速的增大波動(dòng)逐漸趨向等振幅波動(dòng)。通過(guò)對(duì)比圖5(a)和圖5(b)可以看到，當(dāng)移動(dòng)質(zhì)量間加速度同向與反向時(shí)，對(duì)梁跨中處撓度的影響隨著速度的增大而逐漸減小。

(3)圖6給出了初速不同條件下移動(dòng)質(zhì)量以相同加速度作勻變速運(yùn)動(dòng)時(shí)不同時(shí)刻梁撓度沿軸向的分布曲線。從圖中可以看到，隨著移動(dòng)質(zhì)量的不斷向前運(yùn)動(dòng)，撓度的最大峰值點(diǎn)不斷向移動(dòng)質(zhì)量前進(jìn)的方向移動(dòng)，且最大峰值并不是隨著運(yùn)動(dòng)的進(jìn)行而單調(diào)增大而是呈現(xiàn)先增后減的變化規(guī)律，究其原因是由于撓度是由彎矩產(chǎn)生的，而移動(dòng)質(zhì)量運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的彎矩并不是隨著運(yùn)動(dòng)的進(jìn)行而單調(diào)增大，因而呈現(xiàn)了撓度分布的波動(dòng)效應(yīng)。

圖4 初速不同、加速度相同條件下梁跨中撓度分布曲線(v01=20 m/s，v02=40 m/s)Fig.4 Deflection at the mid piont of the beam in the different initial velocity and equal acceleration

圖5 初速相同、加速度不同條件下梁跨中撓度分布曲線Fig.5 Deflection at the mid piont of the beam in the different acceleration and equal initial velocity

圖6 初速不同、加速度相同條件下梁撓度軸向分布曲線(v01=20 m/s，v02=40 m/s)Fig.6 Axial distribution of the deflection of the beam in the different initial velocity and equal acceleration

2.2.2 相向運(yùn)動(dòng)求解分析

當(dāng)移動(dòng)質(zhì)量分別以不同的初速或者不同的加速度相向運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于其中一個(gè)運(yùn)動(dòng)方向與坐標(biāo)軸反向，為了表述清晰，下面的分析中移動(dòng)質(zhì)量的速度及加速度均以各自前進(jìn)的方向?yàn)檎?/p>

圖7給出了移動(dòng)質(zhì)量分別以初速為20 m/s和40 m/s從梁的兩端以相同的加速度變速運(yùn)動(dòng)時(shí)梁跨中處撓度分布曲線。通過(guò)對(duì)比圖4可知，梁跨中處撓度在相向運(yùn)動(dòng)與同向運(yùn)動(dòng)情況下分布規(guī)律是一致的，究其原因是盡管移動(dòng)質(zhì)量之間運(yùn)動(dòng)形式的不同產(chǎn)生不同的彎矩，但是其合彎矩在跨中處是一致的，因此產(chǎn)生的撓度也是相同的。但是在其他位置處由于合彎矩的不同其撓度分布也相應(yīng)的不同，為了能夠明顯體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)形式不同對(duì)撓度的影響差別，圖8給出了L/4處同向運(yùn)動(dòng)與相向運(yùn)動(dòng)時(shí)撓度差值隨時(shí)間的分布曲線。從圖中可以清楚地看到移動(dòng)質(zhì)量間運(yùn)動(dòng)形式的不同導(dǎo)致梁撓度分布產(chǎn)生較大的差異，其分布在運(yùn)動(dòng)開(kāi)始階段呈現(xiàn)劇烈的波動(dòng)，隨著運(yùn)動(dòng)的不斷進(jìn)行波動(dòng)現(xiàn)象逐漸平緩趨于等振幅波動(dòng)。通過(guò)對(duì)比圖8(a)和圖8(b)可以得到:當(dāng)作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)隨著加速度值的增大撓度最大差異值不斷增大;當(dāng)作減速運(yùn)動(dòng)時(shí)隨著加速度絕對(duì)值的增大撓度最大差異值不斷減小，其變化規(guī)律同變速對(duì)撓度峰值的影響是一致的。

圖9給出了移動(dòng)質(zhì)量分別以初速為20 m/s和40 m/s從梁的兩端以相同的加速度變速運(yùn)動(dòng)時(shí)不同時(shí)刻梁撓度沿軸向的分布曲線。通過(guò)與圖6對(duì)比可知，由于移動(dòng)質(zhì)量之間作相向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致?lián)隙鹊淖畲蠓逯迭c(diǎn)在梁兩端不同移動(dòng)，這與同向運(yùn)動(dòng)時(shí)撓度的峰值點(diǎn)向移動(dòng)質(zhì)量前進(jìn)的方向移動(dòng)是相區(qū)別的。隨著運(yùn)動(dòng)的進(jìn)行撓度最大峰值依然呈現(xiàn)波動(dòng)現(xiàn)象，這與同向運(yùn)動(dòng)時(shí)是相類似的。

圖7 勻變速條件下梁跨中撓度分布曲線(v01=20 m/s，v02=40 m/s)Fig.7 Deflection at the mid point of the beam in the uniformly variable motion

圖8 勻變速條件下梁L/4撓度差值分布曲線(v01=20 m/s，v02=40 m/s)Fig.8 Deflection at the L/4 of the beam in the uniformly variable motion

圖9 勻變速條件下梁撓度沿軸向分布曲線(v01=20 m/s，v02=40 m/s)Fig.9 Axial distribution of the deflection of the beam in the uniformly variable motion

2.2.3 耦合影響分析

隨著移動(dòng)質(zhì)量數(shù)目的增多，由于梁振動(dòng)方程的非線性，移動(dòng)質(zhì)量運(yùn)動(dòng)對(duì)梁產(chǎn)生的整體振動(dòng)效應(yīng)并不是簡(jiǎn)單的線性疊加，其相互間的運(yùn)動(dòng)將影響各自對(duì)梁的作用效果。為了能夠系統(tǒng)闡述相互間運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的耦合影響，本文分別計(jì)算了單個(gè)移動(dòng)質(zhì)量以初速為20 m/s和40 m/s，加速度值為3 m/s2作勻加速和勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)梁的振動(dòng)響應(yīng)，將得到的結(jié)果進(jìn)行線性疊加與同向運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)條件下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析可得:

(1)圖10給出了不同運(yùn)動(dòng)形式下梁撓度沿軸向的分布曲線。從圖中可以看到移動(dòng)質(zhì)量間的相互運(yùn)動(dòng)對(duì)梁振動(dòng)產(chǎn)生的整體效應(yīng)與單個(gè)移動(dòng)質(zhì)量作用的線性疊加在撓度的峰值、峰值點(diǎn)的位置都有差別，為了能夠顯著地突出多移動(dòng)質(zhì)量耦合作用與單個(gè)質(zhì)量作用的線性疊加對(duì)梁振動(dòng)的整體影響差別，將同向運(yùn)動(dòng)及相向運(yùn)動(dòng)得到的結(jié)果同線性疊加結(jié)果進(jìn)行差值比較得到圖11所示的梁撓度差值三維分布曲線，從中可以清楚地看到不同運(yùn)動(dòng)形式對(duì)梁振動(dòng)的影響效果，其中同向運(yùn)動(dòng)的耦合效應(yīng)在運(yùn)動(dòng)初始階段并不明顯而是到了運(yùn)動(dòng)的后半段才逐漸顯現(xiàn)出來(lái)，而相對(duì)運(yùn)動(dòng)的耦合效應(yīng)則在運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中都很明顯。

(2)圖12給出了不同運(yùn)動(dòng)形式下梁撓度差值沿軸向的分布曲線。從圖中可以看到初速及加速度的不同對(duì)移動(dòng)質(zhì)量間相互運(yùn)動(dòng)耦合效應(yīng)的影響情況:同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，移動(dòng)質(zhì)量間的相互影響隨著加速度的增大而增加，隨著初速的增加先減小后增大;相向運(yùn)動(dòng)時(shí)，移動(dòng)質(zhì)量間的相互影響隨著加速度的增大而減小，隨著初速的增加先減小后增大。

3 結(jié)論

本文以車輛過(guò)橋梁及彈丸飛離身管過(guò)程中，由于車輛及彈丸的變速運(yùn)動(dòng)對(duì)橋梁及身管產(chǎn)生的振動(dòng)響應(yīng)為工程背景，建立了多移動(dòng)質(zhì)量耦合作用下柔性梁振動(dòng)響應(yīng)模型，采用模態(tài)疊加法對(duì)模型進(jìn)行解耦分析得到便于數(shù)值求解的二階時(shí)變系統(tǒng)方程組，通過(guò)對(duì)不同運(yùn)動(dòng)形式下柔性梁振動(dòng)響應(yīng)的求解分析可得到以下結(jié)論:

(1)多移動(dòng)質(zhì)量運(yùn)動(dòng)形式的不同對(duì)梁的振動(dòng)效果不同。在同向運(yùn)動(dòng)條件下，當(dāng)多移動(dòng)質(zhì)量作變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，梁各點(diǎn)處的撓度峰值隨著移動(dòng)質(zhì)量初速、加速形式及大小的不同而不同:當(dāng)作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，各點(diǎn)處撓度峰值隨著加速度值的增大而增大;當(dāng)作減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，各點(diǎn)處撓度峰值隨著加速度絕對(duì)值的增大而減小;當(dāng)移動(dòng)質(zhì)量初速變化時(shí)，各點(diǎn)處撓度的峰值隨著初速的增大而增大，但增大的幅度隨著初速的增大而減小。在相向運(yùn)動(dòng)條件下，其對(duì)梁的振動(dòng)效應(yīng)與同向運(yùn)動(dòng)相似，只是幅度有所不同。

(2)多移動(dòng)質(zhì)量共同作用下相互間的運(yùn)動(dòng)會(huì)影響各自對(duì)梁的作用效果，其耦合作用隨著相互間運(yùn)動(dòng)形式的不同而不同:多移動(dòng)質(zhì)量同時(shí)作用時(shí)其對(duì)梁的整體振動(dòng)效應(yīng)要大于單個(gè)移動(dòng)質(zhì)量作用的疊加效果;同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，多移動(dòng)質(zhì)量相互間的耦合作用隨著加速度的增大而增大，隨著初速的增大先減小后增大;相向運(yùn)動(dòng)時(shí)，多移動(dòng)質(zhì)量相互間的耦合作用隨著加速度的增大而減小，隨著初速的增大先減小后增大。

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