變速多移動質量耦合作用下柔性梁系統振動響應分析

王穎澤，張小兵

(1.江蘇大學 能源與動力工程學院，江蘇 鎮江 212013;2.南京理工大學 動力工程學院，南京 210094)

在車輛通過橋梁及彈丸飛離身管的過程中，車輛及彈丸的高速運動產生的慣性載荷將分別引起橋梁及身管的彈性振動，對橋梁的結構設計［1］及彈丸的射擊精度［2］產生重大影響，為此對于此類移動質量作用下柔性梁的振動響應分析一直受到國內外學者的重視。對于此類問題的分析求解，由于涉及到移動質量的剛性運動與柔性梁彈性振動的耦合作用而變得十分復雜，特別是隨著移動質量數目的增加且作變速運動時，移動質量之間的相互影響及加速度產生的動力學效應使得問題的求解更加困難。目前國內外對這類問題的研究主要集中在單個移動質量作用下柔性梁系統的振動響應分析，且大多是在不計移動質量的慣性效應或者移動速度為勻速的前提下進行分析求解的［3－8］，對于全面考慮包括移動質量數目，運動形式，慣性效應，變速產生的Coriolis慣性力、離心慣性力及相對慣性力等因素在內的系統分析還很少見，其中文獻［9，10］分別對單個移動質量作用下各種慣性效應對梁振動的影響進行了較為全面的分析。由于在工程實際中，同時作用于橋梁或者身管的移動質量往往不只一個［11］，其相互間的耦合作用產生的振動效應不同于單個移動質量的作用效果，對梁整體的振動特性產生較大影響。為此本文結合柔性梁振動理論，在全面考慮各種因素影響的基礎上，建立了多移動質量耦合作用下柔性梁系統的振動方程，通過數值求解對多移動質量以各種運動形式作用下柔性梁系統的振動特性進行系統分析，給出了多移動質量作用下柔性梁系統振動響應規律，為橋梁－車輛系統及身管－彈丸系統的整體設計及精度優化提供了必要的理論參考。

1 柔性梁系統振動方程

1.1 振動方程的建立

圖1 多移動質量－梁系統振動模型Fig.1 Vibration model of the Multi-moving masses-beam

考慮如圖1所示簡支梁模型，其上作用質量為mi，速度為vi，加速度為ai的多個運動物體，令t時刻梁上x處的撓度為w(x，t)，根據柔性梁振動理論可得多移動質量作用下梁的振動方程為:

式中:EI為梁的抗彎剛度，ρ為梁的單位長度質量密度，A為梁的截面積，δ為 Dirac函數，，，，分別為移動質量變速運動時產生的牽連慣性力、Coriolis力、向心力及相對慣性力。

1.2 振動方程的解耦

選取簡支梁的振型函數為模態函數，采用模態疊加法對方程進行坐標變換，其變換形式為:

將式(2)代入式(1)進行模態展開:

上式兩端分別乘以φk(x)并沿0到L積分，根據模態函數的正交性化簡可得:

式中:

由此得到可數值求解的二階時變微分方程組:

式中:

2 柔性梁振動響應分析

對于解耦獲得的二階時變微分方程組，采用降階的方法將其轉化為一階代數－微分方程組，選取變步長四階Runge_Kutta法進行數值求解可得到q(t)的分布規律，將其帶入式(2)中即可獲得w(x，t)的分布規律。

2.1 算例驗證

為了驗證本文求解模型的正確性，選取文獻［12］提供的計算實例進行求解分析。相關的計算參數如表1所示。

表1 計算參數Tab.1 Calculation parameters

取移動質量數N=3，分別對初速為20 m/s條件下作勻加速和勻減速的情況計算求解得到如圖(2)、圖(3)所示結果，通過對比可知本文計算結果同文獻［12］結果十分吻合，從而驗證了本文計算模型的正確性。

2.2 柔性梁振動響應求解分析

由于移動質量數目的增多，其相互間運動形式也相應變得復雜，不失一般性文本選取兩個移動質量分別對其在同向和相向運動條件下的變速運動進行分析，進而系統闡述柔性梁在多移動質量作用下的振動響應。

2.2.1 同向運動求解分析

選取移動質量mi=3.06×104kg，其他計算參數同上。分別對不同初速、不同加速度條件下的梁振動情況進行數值求解可得:

(1)從圖4給出的不同初速條件下移動質量以相同加速度作勻變速運動時梁跨中處撓度的分布曲線中可以看到，在多移動質量作用下梁跨中處的撓度呈現波動現象，且撓度的振幅隨著變速的形式和大小的不同而不同:當作勻加速運動時，撓度的最大峰值隨著加速度的增大而增大，而作勻減速運動時，撓度的最大峰值隨著加速度絕對值的增大而減小。通過與圖2和圖3對比可知，在多移動質量作同向運動時，梁跨中處的撓度分布規律同單移動質量作用下的撓度分布規律相似，但由于多個載荷相互間的影響使得撓度的波動性更加劇烈。

(2)從圖5給出的加速度不同條件下移動質量以相同初速作變速運動時梁跨中處撓度的分布曲線中可以看到，當移動質量均作變速運動時，撓度的振幅隨著初速的增大而增加，且最大幅值增加的幅度隨著初速的增加而減小，隨著初速的增大波動逐漸趨向等振幅波動。通過對比圖5(a)和圖5(b)可以看到，當移動質量間加速度同向與反向時，對梁跨中處撓度的影響隨著速度的增大而逐漸減小。

(3)圖6給出了初速不同條件下移動質量以相同加速度作勻變速運動時不同時刻梁撓度沿軸向的分布曲線。從圖中可以看到，隨著移動質量的不斷向前運動，撓度的最大峰值點不斷向移動質量前進的方向移動，且最大峰值并不是隨著運動的進行而單調增大而是呈現先增后減的變化規律，究其原因是由于撓度是由彎矩產生的，而移動質量運動產生的彎矩并不是隨著運動的進行而單調增大，因而呈現了撓度分布的波動效應。

圖4 初速不同、加速度相同條件下梁跨中撓度分布曲線(v01=20 m/s，v02=40 m/s)Fig.4 Deflection at the mid piont of the beam in the different initial velocity and equal acceleration

圖5 初速相同、加速度不同條件下梁跨中撓度分布曲線Fig.5 Deflection at the mid piont of the beam in the different acceleration and equal initial velocity

圖6 初速不同、加速度相同條件下梁撓度軸向分布曲線(v01=20 m/s，v02=40 m/s)Fig.6 Axial distribution of the deflection of the beam in the different initial velocity and equal acceleration

2.2.2 相向運動求解分析

當移動質量分別以不同的初速或者不同的加速度相向運動時，由于其中一個運動方向與坐標軸反向，為了表述清晰，下面的分析中移動質量的速度及加速度均以各自前進的方向為正。

圖7給出了移動質量分別以初速為20 m/s和40 m/s從梁的兩端以相同的加速度變速運動時梁跨中處撓度分布曲線。通過對比圖4可知，梁跨中處撓度在相向運動與同向運動情況下分布規律是一致的，究其原因是盡管移動質量之間運動形式的不同產生不同的彎矩，但是其合彎矩在跨中處是一致的，因此產生的撓度也是相同的。但是在其他位置處由于合彎矩的不同其撓度分布也相應的不同，為了能夠明顯體現運動形式不同對撓度的影響差別，圖8給出了L/4處同向運動與相向運動時撓度差值隨時間的分布曲線。從圖中可以清楚地看到移動質量間運動形式的不同導致梁撓度分布產生較大的差異，其分布在運動開始階段呈現劇烈的波動，隨著運動的不斷進行波動現象逐漸平緩趨于等振幅波動。通過對比圖8(a)和圖8(b)可以得到:當作加速運動時隨著加速度值的增大撓度最大差異值不斷增大;當作減速運動時隨著加速度絕對值的增大撓度最大差異值不斷減小，其變化規律同變速對撓度峰值的影響是一致的。

圖9給出了移動質量分別以初速為20 m/s和40 m/s從梁的兩端以相同的加速度變速運動時不同時刻梁撓度沿軸向的分布曲線。通過與圖6對比可知，由于移動質量之間作相向運動導致撓度的最大峰值點在梁兩端不同移動，這與同向運動時撓度的峰值點向移動質量前進的方向移動是相區別的。隨著運動的進行撓度最大峰值依然呈現波動現象，這與同向運動時是相類似的。

圖7 勻變速條件下梁跨中撓度分布曲線(v01=20 m/s，v02=40 m/s)Fig.7 Deflection at the mid point of the beam in the uniformly variable motion

圖8 勻變速條件下梁L/4撓度差值分布曲線(v01=20 m/s，v02=40 m/s)Fig.8 Deflection at the L/4 of the beam in the uniformly variable motion

圖9 勻變速條件下梁撓度沿軸向分布曲線(v01=20 m/s，v02=40 m/s)Fig.9 Axial distribution of the deflection of the beam in the uniformly variable motion

2.2.3 耦合影響分析

隨著移動質量數目的增多，由于梁振動方程的非線性，移動質量運動對梁產生的整體振動效應并不是簡單的線性疊加，其相互間的運動將影響各自對梁的作用效果。為了能夠系統闡述相互間運動產生的耦合影響，本文分別計算了單個移動質量以初速為20 m/s和40 m/s，加速度值為3 m/s2作勻加速和勻加速運動時梁的振動響應，將得到的結果進行線性疊加與同向運動和相向運動條件下的計算結果進行對比分析可得:

(1)圖10給出了不同運動形式下梁撓度沿軸向的分布曲線。從圖中可以看到移動質量間的相互運動對梁振動產生的整體效應與單個移動質量作用的線性疊加在撓度的峰值、峰值點的位置都有差別，為了能夠顯著地突出多移動質量耦合作用與單個質量作用的線性疊加對梁振動的整體影響差別，將同向運動及相向運動得到的結果同線性疊加結果進行差值比較得到圖11所示的梁撓度差值三維分布曲線，從中可以清楚地看到不同運動形式對梁振動的影響效果，其中同向運動的耦合效應在運動初始階段并不明顯而是到了運動的后半段才逐漸顯現出來，而相對運動的耦合效應則在運動的整個過程中都很明顯。

(2)圖12給出了不同運動形式下梁撓度差值沿軸向的分布曲線。從圖中可以看到初速及加速度的不同對移動質量間相互運動耦合效應的影響情況:同向運動時，移動質量間的相互影響隨著加速度的增大而增加，隨著初速的增加先減小后增大;相向運動時，移動質量間的相互影響隨著加速度的增大而減小，隨著初速的增加先減小后增大。

3 結論

本文以車輛過橋梁及彈丸飛離身管過程中，由于車輛及彈丸的變速運動對橋梁及身管產生的振動響應為工程背景，建立了多移動質量耦合作用下柔性梁振動響應模型，采用模態疊加法對模型進行解耦分析得到便于數值求解的二階時變系統方程組，通過對不同運動形式下柔性梁振動響應的求解分析可得到以下結論:

(1)多移動質量運動形式的不同對梁的振動效果不同。在同向運動條件下，當多移動質量作變速運動時，梁各點處的撓度峰值隨著移動質量初速、加速形式及大小的不同而不同:當作加速運動時，各點處撓度峰值隨著加速度值的增大而增大;當作減速運動時，各點處撓度峰值隨著加速度絕對值的增大而減小;當移動質量初速變化時，各點處撓度的峰值隨著初速的增大而增大，但增大的幅度隨著初速的增大而減小。在相向運動條件下，其對梁的振動效應與同向運動相似，只是幅度有所不同。

(2)多移動質量共同作用下相互間的運動會影響各自對梁的作用效果，其耦合作用隨著相互間運動形式的不同而不同:多移動質量同時作用時其對梁的整體振動效應要大于單個移動質量作用的疊加效果;同向運動時，多移動質量相互間的耦合作用隨著加速度的增大而增大，隨著初速的增大先減小后增大;相向運動時，多移動質量相互間的耦合作用隨著加速度的增大而減小，隨著初速的增大先減小后增大。

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