基于EI及MAC 算法的連續(xù)剛構(gòu)橋傳感器優(yōu)化布置

何 華，張力文，周建庭，楊建喜，周 磊

（1.廣西吉泰投資有限公司，廣西南寧 530001;2.重慶交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，重慶 400074）

基于EI及MAC 算法的連續(xù)剛構(gòu)橋傳感器優(yōu)化布置

何 華1，張力文2，周建庭2，楊建喜2，周 磊2

（1.廣西吉泰投資有限公司，廣西南寧 530001;2.重慶交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，重慶 400074）

介紹了有效獨立法（EI）和模態(tài)保證準(zhǔn)則（MAC）的工作性能與適用范圍，并結(jié)合各自優(yōu)點，得到了一種新型的混合算法。將此方法運用到以龍河大橋為研究對象的連續(xù)剛構(gòu)橋傳感器布置上。結(jié)果表明:基于EI及MAC混合算法得到的測點截面位置有別于人為憑借經(jīng)驗將傳感器布置在根部、邊跨及中跨1/4倍數(shù)截面等位置;通過MAC值驗算，連續(xù)剛構(gòu)橋傳感器布置在此方法下能得到滿意的優(yōu)化結(jié)果。

有效獨立法;MAC法;連續(xù)剛構(gòu)橋;傳感器優(yōu)化布置

近年來，我國對橋梁的傳感器優(yōu)化布置領(lǐng)域的研究已趨成熟，有大量的算法涌現(xiàn)在各類橋梁的傳感器優(yōu)化布置過程當(dāng)中，為解決實際的優(yōu)化問題提供了理論依據(jù)。筆者研究的連續(xù)剛構(gòu)橋的傳感器優(yōu)化布置，選擇一種針對性強(qiáng)且有效的數(shù)學(xué)算法至關(guān)重要。

目前研究熱點是一種模仿生物自然進(jìn)化過程的隨機(jī)優(yōu)化算法——遺傳算法。基于遺傳算法的基本原理衍生出了一種基于EI及 MAC的混合算法［1-2］。EI這種方法經(jīng)常用于解決優(yōu)化問題，是通過從原始數(shù)據(jù)群（測點群）里剔除測點的過程。其實質(zhì)是依次刪除對復(fù)合模態(tài)E矩陣的秩貢獻(xiàn)最小的自由度，從而來優(yōu)化Fisher信息矩陣［3］，整個思路結(jié)合了E矩陣的冪等性，在最少測點的前提下，使感興趣的模態(tài)向量盡可能保持線性無關(guān)。基于列主元QR分解技術(shù)［4］的MAC法是向初始測點群中添加測點的過程。這種方法首先是將模態(tài)矩陣進(jìn)行列主元QR分解，這樣就能夠保證得到使模態(tài)向量保持較大空間交角對應(yīng)的初始測點，接著向這組測點群里添加測點，當(dāng)添加的測點可以讓MAC矩陣中非對角元素達(dá)到最小時，這個測點將被收集到初始測點群中，并擴(kuò)充成為下一個初始測點群，重復(fù)此過程，直至達(dá)到滿意的測點數(shù)。最終得到的測點能夠保證所測得的向量具有最大的空間交角。整個過程將模態(tài)保證準(zhǔn)則作為測點布設(shè)方案的評價標(biāo)準(zhǔn)。結(jié)合了這2種方法的混合算法可以解決橋梁傳感器布置問題，并最終達(dá)到優(yōu)化，二者的關(guān)系如圖1。這種混合算法利用其各自的優(yōu)點，可以避免添加測點的經(jīng)驗性，并且能夠保證添加測點后，測得向量的正交性和線性無關(guān)性。

圖1 算法關(guān)系Fig.1 Relationship between mathematical methods

1 算法理論

1.1 動力特性分析［5－6］

求解非阻尼自由振動條件下的振型和固有周期的特征方程式如式（1）:

1.2 混合算法

1.2.1 列主元QR分解法

基于列主元的QR分解法利用了測量向量的行空間特性，由此進(jìn)行列主元QR分解所測向量矩陣的轉(zhuǎn)置陣，有:

提取φ行向量組中具有較大范數(shù)的子集所對應(yīng)的測點，這就為MAC法提供了初始的測點。

1.2.2 有效獨立法

有效獨立法首先構(gòu)造矩陣E

該矩陣是目標(biāo)模態(tài)矩陣φs所張成向量空間的投影矩陣。其對角元為:

ED的物理意義是給定傳感器位置對目標(biāo)模態(tài)矩陣φs線性獨立性貢獻(xiàn)的大小。通過ED值對各個候選測點的優(yōu)先順序進(jìn)行排序，用迭代算法每次刪除ED中最小的元素所對應(yīng)的傳感器位置，也即刪除對目標(biāo)模態(tài)矩陣φs獨立性貢獻(xiàn)最小的行，重新組成Fisher信息陣;再進(jìn)行下一次迭代，再次刪除一個位置，直到達(dá)到所需要的傳感器數(shù)量為止，這就為侯選測點的選擇提供了依據(jù)，保證了添加測點的線性無關(guān)性。

1.2.3 MAC 算法

為了避免由于向量與向量之間的交角偏小讓系統(tǒng)無意損失關(guān)鍵模態(tài)的情況發(fā)生，MAC法作為一種保證準(zhǔn)則來督促傳感器的布置。其計算公式為:

式中:φi和φj分別表示第i階和第j階的模態(tài)向量。這種督促方式下布置的測點應(yīng)盡可能讓MAC矩陣非對角元最小。設(shè)由列主元QR分解得到的初始配置結(jié)果為∈Rm×m，由結(jié)構(gòu)的剩余自由度組成的振型矩陣子集為∈R（n-m）×m。當(dāng)從中提取一行增加到中后，得到新的模態(tài)保證準(zhǔn)則，其計算公式為:

往已有測點組合里添加新的測點是一個反復(fù)迭代，不斷尋優(yōu)的過程，其根本目的是為了挖掘出使MAC矩陣中的最大非對角元減小得最快的測點。

運用此混合算法進(jìn)行傳感器布置的具體步驟是:

1）建立有限元模型，根據(jù)計算結(jié)果和所關(guān)心的振型特征，確定監(jiān)測振型的具體模態(tài)，得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)向量矩陣，并確定傳感器的布置數(shù)目;

2）對目標(biāo)模態(tài)向量矩陣進(jìn)行列主元QR分解，第1次獲取布置傳感器的初始測點位置;

3）利用有效獨立法對模態(tài)向量矩陣（除去初始測點的模態(tài)向量矩陣）進(jìn)行縮減，將測點的數(shù)量控制在已確定傳感器的布置數(shù)量上下，并作為候選添加測點集合;

4）求得置信度MAC矩陣（由初始測點組成模態(tài)向量陣得來），并搜索出MAC矩陣中最大非對角元max;

5）隨機(jī)選取第3步中確定的候選添加測點集合中一點添加到初始測點群中，計算模態(tài)向量陣的（MACij）k矩陣，其中k表示添加到測量自由度的自由度，并搜索出其最大非對角元maxk;

6）計算儲存f（k）=maxk-max的值;

8）把添加了測點后的測點集合作為新的初始測點集合，然后反復(fù)運行步驟4）～7），直至得到理想測點數(shù)后退出程序;

9）簡易的可視化處理——人為觀察，淘汰位置比較近的測點，得到最終滿足要求的測點，實現(xiàn)傳感器優(yōu)化布置。

其中，步驟1）:利用Midas 2010對連續(xù)剛構(gòu)橋進(jìn)行建模和計算，并提取數(shù)據(jù);步驟2）～8）:利用matlab 7.1對已提取的數(shù)據(jù)進(jìn)行編程。

2 工程實例

2.1 工程概況

龍河特大橋位于重慶市豐都縣三合鎮(zhèn)東側(cè)龍河上。主橋總長度為494 m，采用127 m+240 m+127 m三跨一聯(lián)的預(yù)應(yīng)力連續(xù)剛構(gòu)，橋?qū)?4 m，下部結(jié)構(gòu)為雙薄壁墩，最高墩高約116 m，橋面縱坡從左至右為-0.552%。設(shè)計車速為80 km/h，設(shè)計荷載為公路Ⅰ級，驗算荷載為掛車特-300。全橋結(jié)構(gòu)尺寸、斷面分別如圖2、圖3。

2.2 模型的建立

采用大型橋梁專業(yè)分析軟件MIDAS建立龍河特大連續(xù)剛構(gòu)橋動力特性的有限元計算模型。其有限元模型根據(jù)橋梁實際尺寸建模，橋面（149個節(jié)點，按照澆段劃分單元）、橋墩均采用三維梁單元，其有限元模型如圖4。

圖4 龍河大橋三維有限元模型Fig.4 Three-dimention finite element model of the Longhe Bridge

該連續(xù)剛構(gòu)橋采用能充分利用M和K的稀疏帶狀性質(zhì)的子空間迭代法［7］來對結(jié)構(gòu)進(jìn)行動力特性分析，求解其特征值方程。選擇參加計算的頻率數(shù)量為18，迭代次數(shù)為20，收斂誤差為1E-10。得出龍河大橋的前18階自振頻率及其主振型。表1中只列出了前8階自振頻率、周期及振型特征，圖5中給出了連續(xù)剛構(gòu)橋前6階的振型圖。

表1 自振頻率、周期及振型特征Tab.1 Free vibration frequency and the vibration cycle and the vibration characters

2.3 測點的確定

圖5 龍河大橋1～6階振型Fig.5 First to sixth vibration type of the Longhe Bridge

首先人為把監(jiān)測的目標(biāo)振型選定為6階，這樣不會浪費計算機(jī)的儲存空間;其次選取龍河大橋的豎向振動特征作為有效振型;最后提取對橋梁的豎向振動有貢獻(xiàn)的前6階振型數(shù)據(jù)來考慮作為布置傳感器的計算機(jī)程序原始數(shù)據(jù)。在表2中排名得到的前6階豎向振型階數(shù)為第1階、第3階、第5階、第7階、第9階及第11階，并將這6階振型組成模態(tài)向量矩陣。然后采用列主元QR分解技術(shù)對模態(tài)向量矩陣進(jìn)行分解，目的是找到使測量的模態(tài)向量保持較大空間交角的測點，在有限元模型上分別是節(jié)點75、7、84、15、94、26，如圖 6（a）。然后采用有效獨立法對剩余143個測點的模態(tài)矩陣進(jìn)行篩選，依次刪除前131個對目標(biāo)模態(tài)矩陣獨立性貢獻(xiàn)最小的模態(tài)對應(yīng)的測點，刪除后剩余的測點為候選測點。接著采用MAC法，即每次從候選測點中選擇一個點加入到初始測點群中，然后找出添加測點以后MAC矩陣中非對角元的最大值。重復(fù)以上過程，逐步讓初始測點群收集到更多測點，并多次找出對應(yīng)MAC矩陣非對角元的最大值，記錄下來，把每一個這樣的值作比較，其中最小者對應(yīng)的測點有資格被添加到初始測點群。在每一次循環(huán)中，將添加測點后的測點集合當(dāng)下一循環(huán)的初始測點群，直至找出所要布置的測點編號數(shù)。最終由此混合算法確定的節(jié)點號為7、14、15、25、26、66、75、84、85、94、124、135，如圖 6（b）。最后根據(jù)可視化處理，保留靠得較近的測點之一，就可以得到最終的傳感器布置方案［8］，如圖6（c）。

2.4 檢 驗

對應(yīng)各種測點方案的MAC值如圖7。通過觀察，列主元QR分解得到的6測點較最終得到的12測點，后者的非對角元并沒有增加，由此說明了添加測點過后得到的測量向量的空間交角比較好。

圖7 MAC值2種布置方案的Fig.7 MAC value of the two layout programs

3 結(jié)論

從連續(xù)剛構(gòu)橋的傳感器優(yōu)化布置研究得知，基于EI及MAC法得到的傳感器布置點表現(xiàn)了所測數(shù)據(jù)的線性無關(guān)性和正交性，這正是汲取了EI法和MAC法優(yōu)點的一種運用和體現(xiàn);在對連續(xù)剛構(gòu)橋的傳感器布置過程中，避免人為憑借經(jīng)驗將傳感器布置在根部、中跨1/4倍數(shù)截面、邊跨1/4和邊跨1/2截面等位置;從圖7清晰顯示的MAC非對角元素的情況來看，最開始的6測點和最后的12測點，反映數(shù)值的柱形體沒有增加，這表明最終確定測點的振型空間交角比較好;由于連續(xù)剛構(gòu)橋在根部受力復(fù)雜，建模時往往簡化而不能準(zhǔn)確反應(yīng)根部特性，建議在實際工程中，無論是做荷載試驗還是長期健康監(jiān)測，首先考慮在根部附近布置傳感器。

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Optimal Sensor Placement of Continuous Rigid Frame Bridge Using Algorithm Based on Effective Independence and Modal Assurance Criterion Methods

HE Hua1，ZHANG Li-wen2，ZHOU Jian-ting2，YANG Jian-xi2，ZHOU Lei2
（1.Guangxi Ji Tai Investment Co.，Ltd.，Nan Ning 530203;
2.School of Civil Engineering ＆ Architecture，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，China）

Function and applicability of effective independence method and modal assurance criterion method were introduced.A new hybrid algorithm by assembling their advantages was worked out;mathematical method was applied in optimal sensor placement of continuous rigid frame bridge on treat Longhe Bridge as a case.Result showed section location acquired after EI and MAC methods was different from root section and 1/4 times section in cross-border based on people’s experience.According to MAC，sensor placement of continuous rigid frame bridge could obtain satisfactory optimization result through the method.

effective independence method;modal assurance criterion（MAC）;continuous rigid frame bridge;optimal sensor placement

U442.53

A

1674-0696（2011）05-0921-04

10.3969/j.issn.1674-0696.2011.05.008

2011-05-11;

2011-05-19

西部交通建設(shè)科技項目（200831895076）;重慶市重大科技攻關(guān)項目（CSTC，2008RA6038）

何 華（1972-），男，廣西桂平人，高級工程師，主要從事橋梁建設(shè)與維護(hù)技術(shù)研究。E-mail:hehua0283@sina.com。