用波浪輻射動量應力分析波浪減水現象

張耀屹，徐績青，許錫賓

(重慶交通大學河海學院，重慶400074)

波浪輻射應力的概念是由Longuet-Higgins和Stewart提出的，他們在牛頓流體力學定理和速度沿水深均勻分布假定的基礎上，將波浪輻射應力定義為由于波浪現象而產生的動量超通量［1］;可見輻射應力只是一種通俗的稱謂，它是被平均在水深上的力，并不能完全體現流場中流體具體某一點的應力。

雷諾輸運方程表明:一個物質體系內某種流體廣延量的增長率，等于體系在該時刻所占的那個空間區域中同一物理量的增長率加上單位時間內由區域邊界流出的該物理量的總通量;進而雷諾輸運方程導出的流體動量方程探索出:在空間的一個固定區域中，單位時間內流體總動量的增加，等于該時間內通過區域邊界面進入區域的動量(包括由于流體進出該區域所攜帶的動量的凈增量和由于表面力作用傳遞到區域內的動量)，加上在外場力作用下引起的區域內流體動量的改變［2］。

通過對以上2組概念的對比，不難看出可以運用雷諾輸運方程求出由于波浪現象而產生的動量超通量，進而表示出波浪的輻射應力張量。

1 輻射動量應力的產生

1.1 傳統輻射應力張量的表達式及應用［3－5］

1.1.1 傳統輻射應力張量的表達式

通常，輻射應力的張量表達式為:

式中:sxx表示作用在垂直于x軸平面的x方向的剩余動量流，稱作輻射應力在x方向上的主分量;syy表示作用在垂直于y軸平面上的y方向的剩余動量流，稱作輻射應力在y方向上的主分量;sxy表示作用在垂直于x軸平面上的y方向動量流，稱作輻射應力在垂直于x軸平面上的切向分量;syx表示作用在垂直于y軸平面上的x方向的動量流，稱作輻射應力在垂直于y軸平面上的切向分量。以不同的波理論的水質點速度及波壓力公式可以計算得到不同的輻射應力表達式。據微幅波理論，波向角為α時輻射應力的張量形式表達式為:

1.1.2 傳統輻射應力張量推導的減水方程

用傳統的輻射應力公式求得規則波的減水方程為:

式中:A為波浪振幅;k為波數;h為水深。

1.2 “輻射動量應力”張量的表示

1.2.1 理論探討

Longuet-Higgins和Stewart將作用于單位面積水柱體的總動量流的時均值減去無波浪作用時的靜水壓力定義為波浪剩余動量流，又稱作輻射應力［1］。而實際上，由雷諾輸運方程出發推出動量流ρvivj才是真正的應力張量。沿整個控制體的外表面做曲面積分，得到的是一個合力，這才是“輻射應力”的本質特征。由于:

1)動量流的周期時均值仍然是一個張量(其變換法則不受時間的影響);

根據傳統輻射應力的概念，結合雷諾輸運方程，定義:輻射動量應力=-動量流+反向應力;由此可見:輻射動量應力是一個真正的應力張量。其表達式可表示為:

即:

式中:ρvivj為動量流的應力張量分量為反向應力的張量表達式。

1.2.2 公式證明［2，6-7］

靜水壓力的曲面積分(對坐標)已與控制體的重力抵消，對于二階斯托克斯波的作用，靜水壓力曲面積分等于控制體的重力，如圖1。

圖1 任意運動流體質點受力Fig.1 Arbitrary exercise fluid particles stress

從動量流出發得到的該方程符合積分形式的動量方程，還可變為微分形式的運動方程，從而得出“輻射動量應力”張量表達式(2)，式(2)在流體中的確發揮的是輻射應力的作用。

2 用“輻射動量應力”求解減水方程

“輻射動量應力”在海岸動力學中的應用，即波浪增減水方程的求解。

波浪增減水方程可以看成沿岸流方程的特例，沿x方向(見圖2)的沿岸流方程:

其中:Cij為“輻射動量應力”，對應二階斯托克斯波(pij為反向應力)。

這時，假定u=0，平直海岸情況下波高在沿岸方向均勻一致，即u與項均為0。沿岸流方程可簡化為:

因為，波浪沿x方向傳播，即Cxy=0，Cxz=0，那么此方程在本質上仍然表現為波浪正向傳播時所產生的增減水作用，即

因為，二階斯托克斯波的時均水面下降η*，所以波動壓力的時均值取z'為坐標原點，即:

破波帶外:

整理得:

綜上所述:

由此可見，以上用“輻射動量應力”求解的減水方程的結果式(4)忽略掉高階無窮小量后與用傳統輻射應力張量算出的減水方程的結果式(1)形式上是一致的;另外，式(4)比式(1)多了一個高階無窮小的修正量值，理論上增強了運算結果的可靠性。

3 結論

1)用波浪輻射動量應力分析波浪減水現象，推導出的減水方程與傳統輻射應力張量計算出的結果基本吻合，具有可靠性。

2)相對于傳統概念的“輻射應力”，“輻射動量應力”具有明顯的優越性。它體現的是真正的應力張量;張量各分量沿水深的變化一目了然;作用力的計算比較簡單;概念非常清楚，體現了力學本源;拓展了輻射應力的適應范圍，傳統的輻射應力概念在牛頓流體力學定理和速度沿水深均勻分布假定的基礎上建立的，而本表達式沒有相關的限制。

3)運用輻射動量應力還可來求解波浪的增水方程和探尋沿岸流的生成機理。

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