基于阿基米德螺線的稀布面陣綜合方法

王廣鵬

(電子科技大學 成都 611731)

1 引言

近年來，由于在雷達、聲納、醫學交流和圖像處理等領域的廣泛應用，平面陣列成為陣列設計研究的熱點。當平面陣列孔徑較大時，陣元間距為半波長的均勻平面陣列需要相當多的陣元，這使得天線系統的成本較高。為保證陣列具有高的空間分辨率，低的副瓣特性等性能，同時又盡量降低天線系統的成本，采用稀布天線陣元位置的方法來設計平面天線陣列是一個不錯的選擇。

平面陣列稀布綜合設計是一個非常復雜的非線性問題。在陣元最小距離約束為某一特定值時，稀布線陣綜合設計中陣元位置的選擇只受到直線上與之相鄰的已經選定位置的那個陣元的約束，而在平面陣列中，選擇陣元位置時需要在二維平面內考慮是否與相鄰陣元滿足距離約束條件，這時，對陣元位置選擇構成約束的相鄰陣元數不止一個。當平面陣列上陣元個數較多時，問題將會變得非常復雜。文獻[1]中提出一種陣元距離約束滿足切比雪夫距離的矩形邊界稀布平面陣列綜合方法;文獻[2]中提出了對半徑間隔半波長的均勻同心圓環平面陣稀布綜合的方法。上述方法均有效降低了稀布面陣優化問題的復雜程度，同時保證了非常良好的陣列性能。然而，在目前已有的有關稀布面陣綜合設計的文獻中，尚未有將平面陣列稀布綜合設計問題轉化為稀布線性陣列的優化問題來處理的文獻。本文提出一種陣元距離，陣列孔徑以及陣元數目約束下的沿阿基米德螺線軌跡的平面陣列布陣方式，通過合理設置螺線參數，將平面陣列的稀布問題轉化成稀布線性陣列優化問題，大大降低了稀布面陣綜合問題的復雜程度，在得到良好的旁瓣性能的同時，提高了程序的運行速度，是一種高效、穩定的稀布面陣綜合方法。

由于遺傳算法適用于解決非線性問題，近年來已經有很多文獻將遺傳算法應用于稀布陣列綜合設計中，并且取得很好的效果，本文將繼續拓展遺傳算法在稀布陣列綜合中的應用。

2 遺傳算法用于阿基米德螺線陣列優化

2.1 阿基米德螺線陣列優化模型

阿基米德螺線，亦稱“等速螺線”。當一點P沿動射線OP以等速率運動的同時，該射線又以等角速度繞點O旋轉，點P的軌跡稱為“阿基米德螺線”，它的極坐標表達式為:其中，a為螺線參數，θ為螺線相對原點的方位角偏移量。這種螺線的每條臂的距離為2πa。

根據弧長公式，可以得到阿基米德螺線的弧長表達式:

圖1 阿基米德螺線陣列示意圖

圖1中，r表示阿基米德螺線陣列的陣列孔徑，最外面的圓環為陣列的孔徑圓。對于任意陣列，考慮陣元為全向陣元，陣列的電場分布:

N=陣元數;k=2π/λ;λ為入射信號的波長;In為陣元激勵的幅值;ψn為陣元激勵的初始相位;rn=陣元與原點位置陣元的距離;φn=沿螺線從原點位置陣元到達該陣元時轉過的角度;u=sinθcosφ，v=sinθsinφ，0 ＜ θ＜ 2π，0 ＜ φ ＜ 2π。

為了描述問題的方便，我們設In=1;ψn=0。所以，阿基米德螺線陣列的電場分布可以寫為:

定義適應度函數為整個φ平面的旁瓣電平的最大值，則:

FFmax是主瓣的峰值，φ、θ對應的范圍為除主瓣外的所有旁瓣區域。

目標函數定義為:

d1，d2，…，dN表示陣元的位置。

為了描述應用遺傳算法對阿基米德螺線陣列優化布陣的問題，我們做以下定義:

r:阿基米德螺線陣列的孔徑;

L:將阿基米德螺線展開為直線后的陣列孔徑;

R=aθ:阿基米德螺線方程，其中a為大于0的任意常數，θ表示從螺線原點轉到與原點的徑向距離為R的點時，螺線轉過的角度。

此時，阿基米德螺線陣列的優化模型轉化為一個線性陣列的優化模型:

上式中的d1，d2…dN表示陣元在展開后的阿基米德螺線上的位置。

2.2 創建初始種群

上面，我們通過合理設置阿基米德螺線的參數，將以阿基米德螺線為軌跡進行平面布陣的問題轉化為一個非對稱線性陣列的稀布問題，這就大大簡化布陣的難度。

建立初始種群:設陣元數目為N，阿基米德螺線陣列的孔徑為r，則:

陣元的距離約束不變。這樣，在以最小陣元間距布陣時，孔徑上剩余的區間為:

運用隨機數生成器在[0，sp]上生成N－2個隨機數并按從小到大排列，得到:X= [x2，x3，…，xN－1]T，則在孔徑內N－2個位置上的陣元位置矢量為:

經轉換后，得到整個個體的位置矢量:S=[0，d2，…，dN－1，L]。

不難證明上述方法生成的個體滿足了陣元個數N，孔徑r和陣元最小距離約束dc。要生成種群數為M的初始群體，只需用隨機數生成器獨立地生成M個向量X，然后經變換得到形如S的個體。

2.3 陣元位置轉換

每得到一代群體之后，需要根據陣元位置矢量求解每個個體的適應度。但是，前面對陣元位置矢量的一系列操作是在直線陣列中進行的，若求解阿基米德螺線平面陣列的方向圖，需要找到直線上的陣元在阿基米德螺線上對應的位置。為了能夠快速的完成陣元位置的轉換，本文采用了查表法，創建查找表的步驟如下:

a.對展開后的阿基米德螺線進行等間隔采樣，采樣精度為 0.02dc，采樣范圍為[0，400dc]，得到直線上的陣元位置表L1;

b.根據公式(2)求解表L1中的每一個采樣值對應的阿基米德螺線上的位置，得到螺線上的陣元位置表L2，表L1和表L2為一一對應的映射關系。

經遺傳操作得到種群中個體以后，需要對個體中每個元素值以0.02dc的精度近似，然后將近似后的值映射到表L2中，完成陣元位置的轉換。這種方法可以提高陣元位置轉換的速度，從而更加迅速的得到個體的適應度，縮短了陣列優化的時間。

2.4 遺傳操作預處理和后處理

在得到個體的適應度之后，首先判斷該個體的適應度是否滿足優化準則，若未滿足，則需要將優勢個體保留到下一代種群之中。下一代種群是通過交叉變異產生的。然而，由于稀布陣列的陣元間距約束，通過通用的遺傳算法交叉變異得到子代群體很有可能不再滿足陣元間的距離約束。為了避免該問題的出現，需要對父代群體進行遺傳操作預處理提取基因信息，然后對基因信息進行廣義交叉和廣義變異兩種遺傳操作，最后對新的基因信息矩陣進行遺傳操作后處理，得到子代群體。由于文獻[3]已經對上述操作的具體步驟進行了詳細的描述，本文在此就不再贅述。

3 算法流程

在本文中應用的遺傳算法在傳統的遺傳算法的基礎上進行了一些改進，具體步驟如下:

a.創建查找表;

b.初始群體建立;

c.陣元位置轉換;

d.計算群體中個體的適應度;

e.判斷優化準則是否滿足，若已滿足則轉(j)，否則繼續;

f.選擇優勢個體;

g.遺傳操作預處理;

h.廣義交叉操作;

i.廣義變異操作;

j.遺傳操作后處理，轉(b);

k.輸出最佳個體，結束。

4 仿真結果

設陣元數為167，陣列孔徑為4.5λ，最小陣元間距約束dc為0.5λ。優化目標為陣列方向圖的PSLL盡量低。GA的基本參數為:種群數為100，交叉率為0.5，變異率為0.01，終止代數為200，初始群體生成和種群變異時采用均勻分布隨機數生成器，采用了最佳保留機制來保證算法的收斂。共進行了十次獨立的仿真實驗，每次獨立實驗耗時大約6.5h.十次實驗中最優PSLL為－20.4113dB，最差PSLL為－19.9455dB.上述仿真得到的PSLL在一個很小的范圍內變動，證明了該方法的穩定性。利用最優結果的數據作圖，可以得到優化后的螺線陣列陣元位置圖，三維方向圖和切面方向圖。

圖5 優化后的陣列u軸切面方向圖

5 結語

文中提出了一種綜合陣元數、孔徑和最小陣元間距約束的稀布面陣的新方法，陣元沿阿基米德螺線的軌跡放置，通過合理設置螺線參數，將一個面陣的稀布問題轉化為稀布線陣的綜合問題。這種方法降低了面陣稀布問題的復雜度，得到了良好的旁瓣性能，降低了陣列的成本。同時，該方法可以根據實際需要調整陣元的最小距離約束，以降低陣元間的互藕現象，因此更符合實際工程的需要。

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