基于模式空間的寬帶DOA估計算法研究

劉春靜

(中國電子科技集團公司第三十八研究所 合肥 230088)

1 引言

DOA估計是陣列信號處理領域的一個重要研究方向，而寬帶信源的DOA估計又是其中的一個難點問題。與窄帶測向不同的是，寬帶情況下陣列輸出的相位差不僅依賴于波達角的方位，而且與信號頻率有關，因此窄帶的估計方法就不適用了。

傳統的寬帶DOA估計方法如相干子空間(CSS，coherent signal subspace)[1，2]、雙邊相關變換(TCT，two － sided correlation transformation)[3]等都是通過構造聚焦矩陣的方法將不同頻率上的信號空間聚焦到參考頻率上，然后對聚焦后得到的單一頻率協方差矩陣進行窄帶處理。在該類算法中出于構造聚焦矩陣的需要，必須對信號波達角進行預估計，研究表明，預估角度的個數和取值大小對算法性能影響很大[4]。為了避免預估計結果對后續處理的影響，文獻[5]根據陣列導向矢量的Jacobi－Anger展開式提出了基于模式空間分解的寬帶DOA估計算法，其基本思想是將導向矢量中的頻率信息和波達角信息分開后，再利用Bessel函數的衰減特性將其截斷后構造協方差矩陣進行處理。本文將該算法擴展到任意幾何結構的天線陣列，并詳細分析了最優聚焦矩陣和參考頻率的選擇方法，最后驗證了算法的有效性。

2 信號模型

()H表示矩陣的復共軛轉置，E[·]表示求期望運算。

3 模式空間處理算法

3.1 模式分解原理

在傳統的寬帶DOA算法中，為了減小聚焦變換誤差，需要對信號到達角進行預估計，研究表明預估角度的準確性直接決定了最終估計方向的精度[4]。為避免預估算法性能的影響，我們可以通過模式空間分解的方法將陣列導向矢量中的頻率變量和角度變量分離后再聚焦，根據Jacobi-Anger展開[6]，得

考察球形Bessel函數Jl(x)的性質可知，對于給定的x，隨著u的增大，Jl(x)逐漸趨近于0。因此對于孔徑有限的天線陣列，且入射信號帶寬有限時，導向矢量可用(5)式的有限項來表示，只要選擇足夠大的多項式階數，就能保證足夠小的誤差。

3.2 聚焦矩陣的選擇

將(5)式截斷后保留前L項得

設Ti為第i個頻點處的聚焦矩陣，文獻[5]中提出了兩種選擇聚焦矩陣的方式:

a.不需要參考頻率

b.需要參考頻率

其中Jref為所選參考頻率的Bessel函數截斷矩陣。

采用(8)、(9)兩式聚焦的缺點主要有以下兩個方面:a.為了使JHiJi可逆，必須選擇合適的天線陣元坐標位置，比如對于直線陣列來說，應該將陣列中心位置作為參考原點;b.聚焦矩陣的非酉特性使聚焦后的信噪比降低，即存在聚焦損失，這一點將在后面的仿真中予以證明。

為了克服以上兩個缺點，使聚焦后的陣列流型與所選參考頻點陣列流型間的誤差最小，可以通過求解下式求得最優聚焦矩陣:

其中Aref為所選參考頻率的導向矢量矩陣，‖·‖F為矩陣 Frobenius范數，I為單位矩陣。根據(6)式，(10)式可等價為:

其中tr(·)表示求矩陣跡，Re(·)表示求實部運算。當截斷長度L和參考頻率一定時，(11)式等效為在Ti為酉矩陣的約束條件下使 Re[tr(Jref)]最大。

其中U和V分別為矩陣C的左右奇異向量矩陣;對角陣Σ =diag(σ11，…，σNN);σnn為C的第n個奇異值。因此，

當|Znn|=1時(15)式取等號，此時Ti的一個解為:

在白噪聲情況下，寬帶信號的協方差矩陣為:

其中K為劃分的頻點數，σ2i為噪聲功率，聚焦變換后的協方差矩陣為:

定義聚焦損失因子為[7]:

將(16)式代入(19)式，根據矩陣跡的性質很容易求得g=1，即當Ti為酉陣時無聚焦損失。

3.3 最優參考頻率

根據(11)式，以各頻點處的擬合誤差之和最小為準則，最優化表達式如下:

將(12)式代入(20)式中，得:

其中σn(·)表示矩陣的奇異值，當截斷長度L和頻

通過一維搜索即可求解出最優參考頻率。

綜上所述，只要根據(22)式和(16)式求出參考頻率和聚焦矩陣，然后由(18)式計算RzT，最后采用MUSIC等窄帶算法估計出信源方位。

4 仿真實驗

實驗1 仿真條件為18元均勻直線陣，三個等功率寬帶信號分別從38°、42°和60°方向入射到該陣列上，信噪比為10dB，其中第二個信號為第一個信號的多徑分量，時延為0.125s，第三個信號與前兩個信號互不相關。信號中心頻率均為100Hz，帶寬為40Hz，處理頻點數為33，采樣點數為2112個快拍，Bessel函數的截斷長度取14。圖1～圖3中的每個仿真點均是通過200次獨立實驗后取平均得到的。

圖1和圖2分別為估計角度的均方誤差之和與相對帶寬和信噪比的關系(我們將本文提出的算法，即(16)式，稱為算法一，將(8)、(9)式分別稱為算法二和算法三)。隨著入射信號帶寬的增大，采用算法一得到的均方誤差曲線波動很小，且誤差值低于后兩種算法，只是在部分高帶寬區域略高于算法三;在圖2中可以看到，算法一的均方誤差曲線表現出很好的收斂特性，算法三的曲線則表現出明顯的不穩定性。另外從圖3中聚焦誤差與相對帶寬的關系曲線也可以看出，算法一最好，算法三次之，算法二的效果最差。

圖4是典型的歸一化擬合誤差與頻率的關系曲線圖，通過搜索該曲線上的最小值就可以求出最優參考頻率，從而驗證了式(22)的正確性。

實驗2下面驗證模式空間算法在二維平面陣中波達角估計的有效性。假設陣列為8×6標準矩形陣[8]，三個等功率寬帶信號的入射俯仰角均為45°，方位角為40°、70°和 110°，且第三個信號為第二個信號的多徑分量，時延為0.125s，第一個信號與其余兩個信號互不相關。處理頻點數為66，采樣點數為4224個快拍，Bessel函數的截斷長度取20，其余條件與實驗一中相同。從圖5的仿真結果中可以很清晰地看到三個明顯的譜峰，正確分辨出了三個不同來向的入射信號。

5 結論

本文通過詳細分析模式空間寬帶DOA算法中最優聚焦矩陣和參考頻率的選取方法，指出了提高算法性能的有效途徑。但是值得注意的是，Bessel函數中截斷階數的選擇也是制約算法性能的關鍵因素，因此有必要進一步討論不同陣列結構、不同信號環境下截斷階數的取值問題，這也是算法實用化的重要步驟。

[1]Wang H.and Kaveh M.Coherent signal－subspace processing for the detection and estimation of angles of arrival of multiple wide－band sources[J].IEEE Trans.on ASSP，1985，33(4):823－831.

[2]Mahata K.A subspace algorithm for wideband source localization without narrowband filtering[J].IEEE Trans.on SP，2011，59(7):3470－3475.

[3]Valaee S.and Kabal P.Wideband array processing using a two－sided correlation transformation [J].IEEE Trans.on SP，1995，43(1):160－172.

[4]Swingler D.and KROLIK J.Source location bias in the coherently focused high－resolution broadband beamformer[J].IEEE Trans.on ASSP，1989，37(1):143 －145.

[5]Abhayapala T.D.and Bhatta H.Coherent broadband source localization by modal space processing[C].IEEE 10thInternational Conference on Telecommunications，2003，1617－1623.

[6]Abhayapala T.D.Modal analysis and synthesis of broadband nearfield beamforming arrays[Z].Ph.D.dissertation，Research School of Information Sciences and Engineering，Australian National University，Canberra ACT，1999.

[7]Doron M.A.and Weiss A.J.On focusing matrices for wideband array processing[J].IEEE Tans.on SP，1992，40(6):1295 －1302.

[8]Trees H.L.V.Optimal array processing，Part IV of detection，estimation，and modulation theory [M]. Wiley － Interscience， New York，2002.