一種深度欠采樣的快速SAR成像算法

王 健 宗竹林

(電子科技大學 成都 611731)

1 引言

合成孔徑雷達能夠全天時、全天候對遠距離目標進行二維高分辨成像，具有廣泛的應用。隨著應用的不斷深入，人們對成像的質量，如圖像的分辨率，可判讀性及視覺效果，都提出了更高的要求。傳統的成像算法是基于奈奎斯特采樣定理，由于SAR回波原始數據量非常大，給數據的傳輸和存儲帶來很大困難[1，2]。

CS理論是由Donoho等人從信號稀疏分解和逼近理論進一步發展的一種新的信號處理理論，它徹底改變了人們對信息獲取的傳統觀念，由于突破了奈奎斯特采樣定理的限制，該理論一經提出，就在信號/圖像處理、醫療成像、模式識別、地質勘探、光學/雷達成像、無線通信等領域受到高度關注，并被美國科技評論評為2007年度十大科技進展[3]。CS在雷達領域的應用也得以迅速展開。文獻[4]首次提出了隨機濾波的信號處理方法，實現了基于CS的SAR成像;文獻[5]采用Alltop sequence作為雷達發射信號，構造了一個冗余字典，并在模糊域上實現了高分辨率雷達成像，突破了最大不模糊距離的限制。此外許多國內研究者[6～9]也在CS雷達成像上取得了一些研究成果。

目前CS在雷達成像上的研究主要集中在距離向或方位向的一維壓縮感知成像，這些算法需要利用一個完整的合成孔徑時間內的回波數據才能實現二維成像。本文以進一步減少SAR成像所需數據量，縮短成像時間為目的，提出了一種深度欠采樣的壓縮感知成像算法，并在此基礎上利用OMP和BCS算法對壓縮后的數據恢復重構，實現了雷達二維成像。由于該算法所需的回波數據小于一個合成孔徑時間內的回波數據，從而等效的減小數據獲取時間，加快了成像速度。

2 壓縮感知基本理論

CS是建立在信號稀疏表示基礎上的信號采樣理論。該理論指出，任意N維K稀疏信號的稀疏表示X可以通過在RN空間的M=O(K·log(N/K))，(M?N)維隨機測量值y以很高的概率精確重構。

假設一個離散信號 X=(x1，x2，…，xN)，長度為N，如果信號X是稀疏的或可壓縮的，則存在一組稀疏基 Ψ =[Ψ1，Ψ2，…，ΨN]使得X可以表示為:

其中Ψ是一個N×N的稀疏矩陣，σ是N×1的稀疏系數，包含K個非零值。

隨機測量過程是將信號X投影到一組測量矩陣Φ上，使測量對象從N維降為M維，從而得到測量值。隨機測量過程的數學表示為:

式中y表示M維隨機測量值，Φ為M×N維測量矩陣，ne為零均值高斯白噪聲。

當矩陣θ滿足RIP準則[10]時，就可以運用壓縮感知重構算法恢復信號X。

2.1 BCS[12] 算法

y的似然函數為:

使用最大似然法求上式的X會導致過學習。為避免這種情況，對權值X賦予先驗的條件概率分布:

其中α =[α1，…，αN]T是一個控制權值先驗方差的N維向量。如果能求得α，就很容易得到X。α可通過最小化下面的代價函數而得到。

使用EM算法求解上式，得到的第(k+1)步的迭代公式如下:

2.2 OMP[11]算法流程

A.初始化測量次數，初始化殘差:r=y;

B.利用最小二乘法找到與y相似最高的θ的列即內積最大的列，最小二乘法步驟如下:

a.將θ的每一列代入＜rH，θi＞，找到使內積＜rH，θi＞ 最大的一列記為 θq1;

b.A=θq1，并將對應的 θ的第 i列置零，θ(:，i)=0;

C.返回(2)進行下一次迭代，此時 A={θq2，θq1};

D.迭代終止。其中 A=diag(α0，…，αN)。對于稀疏信號表示的問題，以上迭代算法可寫成:

3 基于壓縮感知的SAR成像

3.1 深度欠采樣回波信號模型

圖1中給出了正側視模式下SAR平臺的幾何模型，X軸表示方位向，Y軸表示平臺速度方向，Z軸為高度向。

圖1 正側視SAR幾何關系

雷達以速度V沿y軸方向勻速運動，在一個合成孔徑時間內，連續發射線性調頻脈沖信號:

在慢時間τ=m×PRT時刻，雷達平臺至點目標k的距離可表示為rk(τ)，雷達系統接收到的回波信號可以描述為:

其中σk為散射點k的后向散射系數;f0為載頻;c為光速;Tp為線性調頻脈沖信號的時間寬度。

根據CS可以完成不完全數據重構的思想，本文利用前1/2個合成孔徑時間內的數據來獲取測量信號，這樣縮短了數據獲取的時間，加快了成像的速度。

圖2 回波采樣示意圖

圖2表示RD算法和CS算法對回波數據采樣的示意圖，“■”表示采樣點，“□”表示非采樣點。圖2(b)表示對一個合成孔徑時間內的接收到的前50%的數據采樣，并且選擇隨機高斯矩陣[13]作為測量矩陣。測量過程如下:

其中Φ是M×N維隨機高斯矩陣，即隨機選擇N維信號X中的M維，從而得到欠采樣信號y。隨機測量矩陣可以表示為:

Φ中“1”表示隨機測量數據，“0”表示丟棄的數據，CS算法即由對應于Φ中“1”的測量數據重構出原始信號的過程。

3.2 基于壓縮感知的SAR成像

假設雷達平臺在一個合成孔徑時間內掃描的二維場景為ξ，將二維場景區域均勻離散成Na×Nr個點散色目標，將Na×Nr個點目標回波延遲按行展開，構成一個一維向量，長度為N=Na×Nr，N個點目標的坐標可以表示為 β =(β1，β2，…，βN)，其中 βi=(xi，yi，zi)是點目標i的坐標向量，對應的散色系數可以表示為 σ =(σ1，σ2，…，σN)，為保證信號的稀疏性，假設只有少數的K個散色系數是非零的，即:

根據(11)式和(14)式，可以得知對于N個點目標β =(β1，β2，…，βN)，在Ψ變換域下可以實現對雷達回波的稀疏表示。對于每個點目標，變換域Ψ可以表示為 Ψ =(φ1，φ2，…，φN)，其中點目標 βi對應于變換基φi，按行展開得到N×1的向量，表示為:

式中，Ri是點目標i與平臺間的斜距;yi是點目標i在y軸方向與點目標之間的距離;Lsar為合成孔徑長度。

將上述變換基和(13)式代入(12)式，便可得到測量信號，由于隨機采樣在實現過程較為復雜，在實際中可以采用等間隔采樣來取代隨機高斯測量，在硬件實現上可以用低速率AD對回波數據采樣獲得測量信號。綜上所述，CS雷達成像處理流程可以用圖3描述。

圖3 CS雷達成像框架

圖3中的A/D是以較低的采樣率對雷達回波信號采樣，得到M×1欠采樣測量信號y=(y1，y2，…，yM)，這樣在得到了傳感矩陣和測量信號后，就可以用壓縮感知重構算法對回波信號做脈沖壓縮。脈沖壓縮過程即(12)式中獲取測量信號的逆過程，通過測量信號y和傳感矩陣θ=ΦΨ得到散色系數σ。

本文在 CS脈沖壓縮過程采用 OMP[11]和BCS[12]兩種算法實現。OMP算法利用上述傳感矩陣θ=ΦΨ和測量信號y可以實現對欠采樣回波的脈沖壓縮。BCS算法需要對θ=ΦΨ和y做如下變換來得到傳感矩陣和測量信號。

上式將測量信號的實部虛部分開來獲取實測量信號 yr。

對應的變換域是對Ψ中的φi做如下變換。

從 而 得 到 BCS 的 變 換 域 Ψr= (φr1，φr2，…，φrN)。

將(13)式中測量矩陣擴展為2M×2N維，得到BCS算法隨機測量矩陣Φr，利用BCS算法做脈沖壓縮的過程表示如下:

圖3中后處理過程即將得到的一維散色系數轉化為二維圖像的過程，OMP和BCS算法的后處理過程可以表示如下:

4 仿真結果

假設雷達工作在正側視模式下，場景中心到載機航線的垂直距離Rb=2000m，距離向欠采樣率和方位向欠采樣率分別為Dr和Da，距離分辨率和方位分辨率為1m，仿真中用到的雷達參數有:

信號帶寬:150MHz 采樣率:200MHz

脈沖寬度:0.5μs 脈沖重復頻率:500Hz

載機速度:150m/s 載頻:10GHz

圖4 重構誤差與方位向降采樣率

本文首先分析了在距離向降采樣率Dr=1/5，方位向降采樣率與重構誤差的關系，在15個點目標的場景區域，仿真結果如圖4所示。

由圖4可以看出，在圖中降采樣率情況下重構誤差可以滿足精確重構的要求，所以在后面的仿真中選用方位向將采樣率Da=1/2，即半個合成孔徑時間的數據。

圖5中顯示的是在無噪聲情況下傳統的RD算法成像結果。圖6為無噪聲情況下壓縮感知算法重構的目標場景區域，其中圖6(a)是由OMP算法得到的成像結果，圖6(b)是BCS算法的重構結果?？梢钥闯鯟S算法在無噪聲情況下可以完美的重建圖像信息。

由于信噪比大小對RD算法成像的影響是我們所熟悉的，下面是在SNR不同情況下的仿真給出CS方法成像的結果，對應的RD算法成像效果與圖5并無明顯區別。

圖7 SNR=5dB情況的成像結果

圖7是在信噪比SNR=5dB情況下，對目標空間的重構結果。圖7(a)和圖7(b)分別是OMP算法和BCS算法的重構結果，從圖中可以看出，出現了一些能量較弱的“假目標”。

圖8 SNR=25dB情況的成像結果

圖8是在SNR=25dB情況下，OMP算法和BCS算法重構的二維場景，可以看出在25dB時，噪聲對重構結果的影響很小，場景區域得到了正確的重建。

圖9和圖10是RD算法與CS算法在單個點目標下的三維圖像，與圖5和圖6二維圖相對應。

通常方位向采樣數據的減少會直接降低方位向分辨率，由圖6和圖10與圖5圖9對比可知，本文提出的CS算法在降低方位向采樣數據的情況下，不僅沒有降低方位向的分辨率，并且該算法消除了目標旁瓣，提高了成像分辨率。

對上述信噪比不同情況下，OMP算法和BCS算法的重構結果進行定量的分析，通過重構誤差、重構時間、重構信號的LSNR幾個參量對重構圖像進行評估。其中重構誤差定義為:

定義重構信號的局部信噪比為LSNR[7]，用來反映圖像的重構效果，計算公式如下:

通過對不同SNR條件下重構誤差的計算，得到圖11所示的曲線，可以看出，BCS和OMP算法的重構誤差隨著輸入信噪比的增大，逐漸減少，并且逐漸趨近于零。

圖11 重構誤差與SNR的關系

在重構的過程中統計重構所需時間，得到圖12中重構時間與SNR的關系，重構時間隨著信噪比的增大逐漸減少，在30dB之后逐漸趨于穩定。由圖12可以看出信噪比的大小對重構時間有較大的影響。

圖12 重構時間與SNR的關系

圖13表示了重構信號局部SNR和輸入信號SNR的關系，LSNR與輸入信號SNR成正比，并隨著輸入SNR增大而增大。圖13中的曲線表明，隨著輸入SNR的增大，重構圖像的效果就越好。由此可知，圖11與圖13的定量分析與上述成像的視覺效果相吻合。

圖13 LSNR與SNR的關系

由以上仿真結果可以看出，在一個合成孔徑時間內，傳統的RD成像方法掃描的數據量為Na×Nr，CS方法僅使用了Na/2×Nr/5的數據量，大幅度的降低了數據量，同時仿真僅用了一個合成孔徑時間內的前50%的數據，這等效于在1/2個合成孔徑時間內獲得的數據，因此縮短了數據獲取時間，實現了快速成像。與傳統SAR成像相比，CS成像算法消除了目標旁瓣，提高了成像的分辨率，并且有效的降低了成像系統的數據率。

5 結論

本文提出了一種深度欠采樣快速SAR成像算法，在小于一個合成孔徑時間里獲得的數據進行測量，獲取欠采樣回波數據，然后利用CS脈沖壓縮算法重構，實現了快速高分辨雷達二維成像。該算法能夠有效地降低高分辨率雷達成像系統的數據率，減少硬件系統(特別是A/D轉換器)的實現難度，消除了目標旁瓣，提高了成像的分辨率，同時縮短了成像時間。

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