雙指數效用函數組合投資決策

周 慶 健， 呂 思 瑤， 焦 佳， 趙 建， 魏 連 鑫， 閆 博

（1.大連理工大學 系統工程研究所，遼寧 大連 116024；2.大連民族學院 理學院，遼寧 大連 116600；3.同濟大學 經濟與管理學院，上海 200092；4.上海理工大學 理學院，上海 200093；5.大連海事大學 交通運輸管理學院，遼寧 大連 116026）

0 引 言

在證券組合投資中，每位投資者都有自己對所獲投資收益滿足程度的效用函數，并利用期望效用最大化原則來選擇最優組合，且大部分投資者是理性的風險厭惡型，他們在追求收益最大化的同時還希望降低風險.雙指數效用函數U＝c1＋a1[2－exp（－a2（R－c2））－exp（－a3（R－c2））]（R表示投資收益，其中ai＞0，i＝1，2，3）是一類典型且被投資者廣泛應用的風險厭惡型效用函數，它在組合投資中具有非常重要的地位.

20世紀50年代初，美國金融學家Markowitz提出的投資組合理論可看成是這類問題的奠基石.該理論指出：投資者以提高投資收益同時減少投資風險為目標來確定最優組合.以此他建立了著名的均值－方差模型[1].

設有n種證券，當前（t＝0）價格分別是S10，S20，…，Sn0，將來某任意時刻（t＝T）的價格分別是S1，S2，…，Sn.記xi＝ln（Si/Si0），i＝1，2，…，n，Xn×1＝ （x1x2…xn）T，其中xi是第i種證券從時間t＝0到t＝T這段時間的對數收益率，X是n種證券的對數收益率向量.這里S10，S20，…，Sn0是已知常數，而S1，S2，…，Sn都是隨機變量，所以x1，x2，…，xn是隨機變量，而X是一個隨機向量，則它的期望和協方差矩陣用符號表示為

設第i種證券的投資比例為ωi，i＝1，2，…，n.記ωn×1＝ （ω1ω2…ωn）T，en×1＝ （11 …1）T，要求投資比例滿足條件ωTe＝1.投資者對應于投資比例ω的投資收益為R＝ωTX，R是一個隨機變量，其期望收益和方差分別為

Markowitz的均值－方差模型就是考慮下面的條件極值問題[2]：

（1）指定收益ωTμ＝r0下，求ω使風險最小，即var（ωTX）＝ωTΣω最小；

（2）指定風險ωTΣω＝σ20下，求ω使收益最大，即ωTμ最大.

顯然兩者等價，這里用問題（1）進行研究，歸結為如下規劃問題：在ω滿足ωTe＝1和ωTμ＝r0的條件下，求ωTΣω達到最小值的解.求得其解為，則ωT＊X對應的方差，投資學中稱上式為投資組合的有效前沿.其中

本文應用無差異曲線法先求出具有該類型效用函數的投資者的最大期望收益，然后根據均值－方差模型推導投資者的最優組合投資決策方案，并求相應的組合投資比例.

1 模型建立

由ai＞0，i＝1，2，3，則雙指數效用函數的一 階 導 數U′＝a1（a2exp （－a2（R－c2））＋a3exp（－a3（R－c2）））＞0，效用遞增，且U″＝a1（－a22exp（－a2（R－c2））－a23exp （－a3（R－c2）））＜0，則U為凸函數，即它是風險厭惡型的.在通常情況下，若采用雙指數效用函數，當投資者面臨一個無窮投資序列時，投資者通過最大化期望效用來使其回報率最大化.

金融數學理論中已證明并約定投資收益R服從正態分布N（r，σ2），且r、σ2如前，則雙指數效用函數的數學期望為

可求得

因該效用函數為風險厭惡型，則應用投資學中的無差異曲線法進行求解.按照無差異曲線的理論[3～8]，雙指數效用函數的期望效用EU是一無差異曲線族，應用均值 －方差模型原理，建立如下模型：

此模型意義為投資者會在組合投資可供選擇的有效前沿里盡量選擇使期望效用最大的投資收益，即最優組合為有效前沿與效用盡可能最大的無差異曲線的切點.原理如圖1所示.

圖1 最優組合的選擇Fig.1 Optimal portfolio selection

圖1中I1、I2、I3分別表示效用不同的無差異曲線（即等效用曲線），向右開口的拋物線表示有效前沿，即投資者組合投資的有效組合構成的集合，所以投資者的最優組合即是有效前沿與效用盡可能最大的無差異曲線的切點.

2 最優決策求解

對上述模型進行分析，將有效前沿σ2代入期望效用EU中，可得

首先求得該期望效用函數的最大值點，進而求得最優投資組合比例.

由于ai＞ 0，i＝ 1，2，3，在 區 間內

則期望效用EU必有最大值.

對二次不等式（4）的解推導可作如下討論：

（1）當a2＞a3時，解位于

（2）當a2＜a3時，解位于

綜上可得解位于

下面對方程（3）的解作如下討論：

（a）當a2＞a3時，式（3）為

兩邊取對數整理得

先判斷方程（5）解的情況，令方程左側為y1，右側為y2，則y1為開口向上的拋物線，其對稱軸為

圖2 a2＞a 3時根的判定Fig.2 Determination of the root when a2＞a3

（b）當a2＜a3時，式（3）為

兩邊取對數整理得

先判斷方程（6）解的情況，令方程左側為y1，右側為y2，則y1為開口向下的拋物線，其對稱軸為

（c）當a2＝a3時，此時效用函數為單指數函數

圖3 a 2＜a3時根的判定Fig.3 Determination of the root when a2＜a3

此類效用函數在其他文獻中有過介紹，所以本文可看作此類問題的一種推廣模型.

綜合以上3種情況可知，在確定了期望收益r后，根據均值－方差模型中推出的公式就可求出最優組合的投資比例.

3 實際應用舉例

設有5種證券，收益的期望值為μ＝（0.2080.3530.2620.1670.318）T.

收益率的協方差矩陣

其中根據數據可求得A＝46.5979，B＝9.6042，C＝2.1580，Δ＝8.3204.

以下根據兩種情況展開應用：

（a）當a2≠a3時，不失一般性，取a1＝a2＝c1＝c2＝1，a3＝2.

（b）當a2＝a3時，不失一般性，取a1＝a2＝a3＝c1＝c2＝1，此時效用函數為單指數函數U＝1＋2（1－exp（－（x－1）））.因此可求得r＝0.3847，進而求得最優組合的投資比例ω＝（0.04010.74530.0875 － 0.33070.4574）T.

4 結 論

本文應用無差異曲線法，較好地解決了具有雙指數效用函數的最優組合決策問題，給出了其組合投資的最優決策，這對組合投資理論研究和投資者實踐操作具有一定的指導意義.

[1]MARKOWITZ H.Portfolio selection[J].Journal of Finance，1952（7）：77－91

[2]張堯庭.金融市場的統計分析[M].桂林：廣西師范大學出版社，1998：36－44

[3]葉中行，林建忠.數理金融——資產定價與金融決策理論[M].北京：科學出版社，1998：21－23

[4]《運籌學》教材編寫組.運籌學[M].3版.北京：清華大學出版社，2005：417－430

[5]威廉·F·夏普，戈登·J·亞歷山大，杰弗里·V·貝利.投資學[M].5版 上.北京：中國人民大學出版社，1998：102－105

[6]周慶健，吳建民.負指數效用函數最優組合的兩種解法及其一致性[J].大連民族學院學報，2004，6（1）：7－10

[7]張鴻雁，岳 妍.典型效用函數下最優投資消費問題[J].統計與決策，2007（20）：18－20

[8]賀學會，陳 洋.效用函數與行為人：一個金融經濟學視角的詮釋[J].財經理論與實踐，2008，29（5）：2－7