非均勻層狀地基的應力和位移場分析★

陳金光 黃永強

0 引言

隨著我國基本建設的快速發展，高層建筑和對地基有特殊要求的建筑物日益增多，在基礎工程設計與施工方面積累了不少成功的經驗。但也有不少失敗的教訓，例如上海展覽中心館、北京大學汽輪機基座等造成了大量的損失和重復施工。這些事例充分表明，對基礎工程必須慎重對待。基于前人大量的研究成果，針對非均勻地基，建議了一種基于層狀材料Kelvin基本解的數值方法，并計算了均勻地基和非均勻地基在圓形荷載作用下的應力和位移場，為工程應用提供了參考。

1 基于廣義Kelvin基本解的層狀地基的分析方法

1.1 層狀材料廣義Kelvin基本解

下面概述一下層狀材料的廣義Kelvin基本解［1］，詳細的推導和分析可在原文中找到。廣義Kelvin基本解是關于無限域層狀材料中集中荷載作用下的位移和應力場。無限域中，材料的層數為任意數，層狀材料上下分別與半無限均勻介質完全粘結。任何連接在一起的層狀材料的交界面為完全粘結。該基本解一個顯著的特點是:對于層數任意的層狀材料，能獲得閉合解，且具有很高的計算精度。

1.2 求解非均勻地基應力位移場的基本方程

對于非均勻地基，可以采用廣義Kelvin基本解來分析。可以假設第0層的彈性模量為一很小的值，比如E0=1×10－15MPa。這樣就可以采用類似Mindlin解分析半無限域的方法來分析非均勻地基的情形，如圖1所示。

半無限域內非均勻地基任意一點的應力可由下式計算:

半無限域內非均勻地基任意一點的位移可由下式計算:

如果加載區域S不規則或荷載不均勻，不能采用簡單的積分辦法。可采用類似邊界元離散的方法求解，可將整個加載區域S離散成m個單元，則:

采用8節點等參單元，并引入起插值函數，則半無限域內任意一點在整體坐標下的位移可用局部坐標系表示為:

其中，n為第n個單元;l為等參單元的第l個節點;N為等參單元的差值函數;ξ為局部坐標矢量;J為雅可比矩陣。

2 均布荷載作用下均勻地基算例驗證

2.1 計算模型建立

下面利用編寫的Fortran程序，分析一個存在已知解的例子，以驗證本文計算方法的精確性。

圖2為圓形加載區域的單元劃分及部分邊界計算節點，共劃分了64個單元，209個節點，半徑為100cm，其上作用著大小為fz=1.0MPa的均布荷載，其彈性模量為 E=850 kg/cm2，泊松比μ =0.25。

計算過程中，沿r軸共取了35個邊界點，每個邊界點正下方對應著5個計算節點。圖2中每一條曲線表示每一個深度上各計算節點的應力或位移值。

2.2 數值解與理論解之誤差分析

豎向位移ur(r=0處)利用本文方法所求出的數值解與參考文獻［3］［4］的理論值所作的對比，并且計算了其相對誤差，其中最小誤差2.00376%，出現在z=10cm處;最大誤差為3.23616%，出現在z=300cm處。

豎向應力σz的數值解與參考文獻［4］中理論值的對比，其中最小誤差為0.01824%，出現在r=0，深度z=900cm處;最大誤差為11.5693%，出現在r=120cm，深度z=10cm處。整體上看，相對誤差主要集中在1.0%～4.0%之間。

徑向應力σr的數值解與參考文獻［3］［4］的理論值的對比，其最小誤差為0.00422%，出現在r=40cm，z=70cm處;最大誤差為9.7561%，出現在r=100cm，z=70cm處。

2.3 應力與位移數值解曲線圖

由圖3可知，σz值在加載邊界(r=1 m)處發生突變，其數值在圓形加載區域內部隨深度的增加而逐漸減小;在圓形加載區域外，σz應力值隨深度的增加而增加;從徑向看，σz值從圓心處沿徑向減小，在r=200cm處曲線走勢開始平緩并逐漸趨于0。

豎向位移uz的數值曲線基本與豎向應力σz的數值曲線走勢相同(見圖4)。其值隨深度的增加而減小并逐漸趨于0。

圖5形象的反映了隨深度變化σr值的變化規律。在加載邊界(r=1 m)附近，曲線出現拐點。隨著深度的增加，圓形區域內的σr值越來越小，r=0處σr值的變化速率較快。從徑向看，當一定的深度，圓形r=0處的σr值最大，沿徑向逐漸減小，在加載區域邊界迅速較小，之后曲線走勢平緩;隨深度的進一步增大，圓心處的σr值開始小于附近區域的σr值，在加載區域邊界σr值達到最大，隨后σr值沿徑向逐漸減小。深度z=70cm處的σr曲線形象的反映了隨深度增加，σr值沿徑向的變化規律。

通過上述三曲線我們可以發現，在圓形加載邊界(r=1 m)處，應力和位移發生突變，加載區域邊界是曲線變化與走勢的分界點。

3 圓形荷載下非均勻地基應力和位移場分析

某一地層情況如下:第一層厚h1=100cm，彈性模量E1=687 kg/cm2，泊松比 v1=0.3;第二層厚 h2=75cm，E2=845 kg/cm2，v2=0.35;第三層 h3=125cm，E3=961 kg/cm2，v3=0.35。其上作用著圓形均布荷載Fz=1MPa，荷載半徑r=100cm。

計算過程中沿徑向取了r=0cm，50cm，100cm，150cm，200cm，250cm，計算了各深度處的 uz，σz，σr值，以期發現對工程有指導作用的信息。

從圖6可以看出，豎向位移uz隨深度的增加逐漸減小，曲線變化趨勢基本與均勻地基的情況相似;從徑向看，在荷載區域，位移值沿徑向逐漸減小，在加載區域內，位移值區間較大，在加載區域邊界處，曲線的走勢開始變化，位移值區間縮小。

從圖7可以看出，豎向應力σz在加載區域內，隨深度的增加而減小;在加載區域外，隨深度的增加而先增大后減小。另外，應力值沿徑向逐漸減小，在加載邊界r=100cm，應力值在徑向產生突變。

從圖8中可以看到，在層與層的分界面(z=1.0 m和z=1.75 m)上，徑向(水平)應力值σr將發生明顯的跳躍現象。在邊坡工程上應該考慮應力值在水平方向的突然跳躍，尤其對于多層夯實高路堤或土邊坡，水平方向應力值在層間的跳躍現象可能成為影響穩定性的因素。

4 結語

由以上計算分析可見，用本文的計算方法所得出的結果與理論值之間的誤差可以被控制在一個較小的范圍內。采用基于層狀材料基本解，在整個加載面上積分來計算給定點的位移和應力，這種方法可以較精確的計算數值解。本文用該計算方法僅計算了圓形荷載的應力和位移分布情況，復雜荷載和復雜邊界下的應力和位移也可以由本文的計算方法得到。

對于層狀地基，豎向的應力和位移值的變化趨勢與均勻地基的情況相似，但水平方向的應力值受到層狀特性的影響。在邊坡等工程上應該考慮應力值在水平方向的突然跳躍，尤其對于多層夯實高路堤或土邊坡，水平方向應力值在層間的跳躍現象可能成為影響穩定性的因素。

［1］ Yue Z Q.On generalized Kelvin solutions in multilayered elastic medium［J］.Journal of Elasticity，1995(40):1-43.

［2］ 王煥定，焦兆平.有限單元法基礎［M］.北京:高等教育出版社，2002:117-120.

［3］ Poulos HG，Davis EH.巖土力學彈性解［M］.孫幼蘭，譯.北京:中國礦業大學出版社，1986:60-79.

［4］ 趙明華.土力學與基礎工程［M］.武漢:武漢理工大學出版社，2008:50-56.