超高速碰撞相似律的數值模擬驗證*

沈雁鳴，陳堅強

（中國空氣動力研究與發展中心，四川綿陽 621000）

在實驗研究中，通常使用輕氣炮、電磁炮或者爆炸加速器等加速器設備［1］，使金屬彈體獲得超高速度。這些設備體積龐大、費用昂貴、輔助設備繁雜、設計建設要求高，而且往往具有一定的速度極限，因此在很多時候無法滿足實驗要求。同時，金屬彈體所用材料屈服極限高、流動性較差，實驗中不好觀測變形過程。而非金屬材料如橡皮泥、石蠟等屈服極限低、流動性好、便于觀察變形情況，并且成本低廉，容易壓制成形，又可反復回收利用，是較為理想的進行超高速碰撞的模擬材料。

關于非金屬材料對金屬彈靶超高速碰撞的相似模擬，W.Johnson等［2］、J.Carrel等［3］對此進行過論證，馬曉青［4-5］曾經對橡皮泥平頭長桿彈撞擊厚靶板的實驗進行了研究，以模擬鋼質長桿彈對厚靶板的撞擊，取得了令人滿意的結果。談慶明［6-7］也曾對沖擊相似律問題進行了詳細分析和討論。根據沖擊相似律理論，可以把橡皮泥、石蠟等材料制成與金屬彈體相同的彈體形狀，以一定的速度進行碰撞實驗，用以模擬相對應的金屬超高速碰撞問題。

本文中，對超高速碰撞相似律進行詳細理論推導及分析，得到量綱一化的相似律函數，然后根據相似律函數選擇兩種相似模型，利用改進的光滑粒子動力學方法對不同類型的超高速碰撞進行數值模擬。

1 超高速碰撞相似律

固體材料在超高速碰撞過程中所產生的沖擊壓力遠大于它們的屈服強度。在此類碰撞過程的最初階段，碰撞固體的性態類似于可壓縮流體，彈體和靶體都將呈現出流動狀態。因此，在模擬動態響應時除了考慮材料的力學性能，還必須考慮材料的流體動力學特性及其他相關系數［4，6］。主要有下面3類因素:（1）幾何因素，如彈體靶體的尺寸、形狀等參數（Lp1，Lt1，…，Lpn，Ltn）;（2）碰撞因素，如碰撞角度、速度和壓力等參數（φ，vp，pp，pt）;（3）材料物理因素，如密度、模量、強度、溫度、聲速和比熱等參數（ρp，ρt，Ep，Et，Yp，Yt，Tp，Tt，cp，ct，cV，p，cV，t）。

因此厚板開坑直徑、侵徹深度或薄板穿透直徑等尺寸應為上述參數的函數，有

使用量綱分析方法對式（1）進行簡化，可取彈體尺寸Lp1、速度vp、溫度Tp以及屈服強度Yt為基本量，可以得到下面的量綱一函數關系

認為彈體和靶板初始溫度相同，忽略碰撞過程熱效應及超高速碰撞下材料的初始壓力與彈性效應，

則式（2）可以變為

當模擬彈靶的幾何形狀與原彈靶相同，碰撞姿態也相同時，碰撞結果只與5個參數有關

消去同類項，最后可以得到

第1個參數為材料密度之比。第2個參數與材料密度、碰撞速度及材料動態屈服強度有關，一般稱為材料的破壞數，表征動壓與強度之比，或慣性與強度性質之比。第3個參數為材料屈服強度之比。第4個參數為材料可壓縮性之比，第5個參數為馬赫數，表征慣性與可壓縮性之比。當彈靶材料一致時，式（5）中的第1、3～4個參數都等于1。

張慶明在文獻［1］中曾列舉了許多關于超高速碰撞厚板開坑以及薄板穿孔研究得到的經驗公式。其中，根據實驗數據擬合所得的厚板開坑坑深表達式比較出名的有2/3次律

與此類似的，還有W.Herrmann根據實驗擬合得到的公式［1］

式中:Ht為布氏硬度，近似認為Ht=3.6St=2.4Yt。

Sedgwick的計算則給出了上述各參數比較全面的結果［1］

在薄板穿孔實驗中，考慮慣性和材料強度等影響，擬合得到孔徑表達式為［1］

也符合量綱一函數關系式（5）推導所得。

例如，選用橡皮泥作為模型模擬硬鋼彈靶間超高速碰撞。橡皮泥材料參數為=1 800 kg/m3，=3 MPa;硬鋼的材料參數為=7 890 kg/m3，=600 MPa，代入式（10）可得模擬速度

即橡皮泥以0.3～1.5 km/s的速度即可模擬硬鋼彈靶間2～10 km/s的超高速碰撞。

當彈靶材料各不相同時，超高速碰撞相似律同樣適用。碰撞模型只要滿足式（6）中3個參數相等的條件，碰撞結果應當相似。即必須同時滿足以下3個關系

例如，以鎢質穿甲彈穿透薄鋼板為例，選用橡皮泥作為鎢質穿甲彈的模擬材料。根據表1中幾種材料參數，可以計算得到薄鋼板的對應的模擬材料參數:ρ=738.5 kg/m3，Yp1=1 MPa，該材料密度和屈服強度都略低于石蠟，可通過一定的化學工藝獲得。

表1 材料參數Table 1 Properties of materials

2 結果分析

針對上面的理論推導，結合工程實際，使用光滑粒子法對鎢質彈體穿透薄鋼防護板高速碰撞過程進行模擬。為了評估相似律的準確性，也對同模型的橡皮泥對材料甲防護板的碰撞進行計算，最后對結果進行比較分析。

2.1 鋼彈撞擊厚鋼板

計算模型如下:彈體直徑0.5 cm，直徑采用16個粒子離散。靶板長10 cm，厚5 cm，分別采用320個粒子和160個粒子進行離散，由于對稱性，只取其中1/2模型進行計算，總粒子數為25 385。粒子間距 Δx為312.5 μm，光滑長度h都為1.5Δx，材料參數見表1。

圖1 石蠟碰撞石蠟板后變形Fig.1 Material deformation when paraffin projectile impacting onto thick paraffin target at v=0.32 km/s

圖2 硬鋼彈碰撞硬鋼板后變形Fig.2 Material deformation when steel projectile impacting onto thick steel target at v=2 km/s

圖1～2是石蠟彈以0.32 km/s速度垂直擊中同材質厚靶板和鋼彈以2 km/s速度穿透薄鋼板不同時間計算結果比較。碰撞后靶板迅速凹陷，凹陷最初彈坑直徑遠大于深度，沖擊波朝外迅速傳播。隨著時間增加，彈坑從碰撞點朝外擴張，逐漸呈現半球形，擴張速度逐漸減小直至靜止。彈體碰撞后則迅速變扁并破碎，破碎粒子平鋪在彈坑中。彈坑周圍出現“反唇”現象，靶板破碎粒子從坑內朝外噴射，變形停止后彈坑兩端出現明顯隆起。比較發現，兩種計算模型碰撞后的開坑過程基本相同，同時二者相對應時間內靶板開坑形狀與尺寸基本一致。

圖3是兩種模型在碰撞相似律準則下不同速度碰撞后靶板彈坑半徑和彈坑深度比較。不難看出，硬鋼和橡皮泥在超高速碰撞相似律對應的不同碰撞速度下，二者在彈坑尺寸的計算結果十分接近，誤差在很小的范圍內。由此也說明，在滿足一定相似律條件下，可以使用石蠟模擬硬鋼彈靶間的高速碰撞和超高速碰撞。

圖3 石蠟和硬鋼不同速度下開坑尺寸大小比較Fig.3 Crater final radius and depth versus impact velocity in paraffin impacting and steel impacting

2.2 鎢彈斜穿透薄鋼板

圖4 鎢彈斜撞擊兩層薄鋼板后變形Fig.4 Material deformation when tungsten projectile impacting onto thin steel target at v=2.0 km/s

圖5 橡皮泥斜撞擊材料甲后變形Fig.5 Material deformation when plasticine projectile impacting onto thin X1 target at v=266.9 m/s

為了進一步檢驗不同材料碰撞下的碰撞相似律準則，對鎢彈斜穿透薄鋼板進行計算，計算模型如下:鎢彈彈體直徑1.0 cm，長度2.0 cm，以30°擊中鋼質靶板，直徑和長度分別采用32個粒子和64個粒子離散。靶板1長9.5 cm，厚0.5 cm，靶板2長12.0 cm，厚0.5 cm。總粒子數13 248個。粒子間距Δx為312.5 μm，光滑長度h都為 1.5Δx。鎢彈和鋼板碰撞速度為 2.0 km/s，碰撞角度 45°，時間步長 10 ns。按照相似律計算橡皮泥與材料甲對應模擬速度為266.9 m/s，時間步長74.94 ns。材料其他參數見表1。

圖4～5是兩種模型以對應速度斜碰撞后計算結果比較。由圖中可以看出:彈體撞擊前靶板后迅速將靶板擊穿，在靶板上形成一個彈孔。穿透中彈體出現蘑菇頭變形，然后與靶板被擊穿部分一起破碎，形成碎片云朝板后擴散，擴散角度與入射角基本一致。板前則有部分彈體和靶板破碎粒子以一定角度朝外噴射。碎片云前端集中了絕大部分的破碎粒子，在穿透第一層靶板后撞擊第二層靶板，造成后靶板往外激烈拉升變形。可以發現，兩種計算模型碰撞后對應時間內彈體的變形基本一致，靶板上彈孔尺寸以及碎片云頭部運動距離隨時間的變化也一致。但是二者在靶板前端碎片粒子噴射角度則不完全一致，主要原因是在公式（2）推導中，忽略了剪切效應和彈性效應，但二者之間剪切模量和屈服強度的比值不相等，所以計算結果中會出現不一致性。

圖6是鎢彈30°斜穿透雙層薄鋼板及橡皮泥斜穿透材料甲雙層薄板過程中總能量Ut、動能Uk和內能Ui隨時間的變化圖。碰撞過程中，動能不斷降低并轉化為內能，在碰撞達到穩定時動能和內能基本趨向于穩定，由于使用了人工熱量控制數值振蕩，因此總能量略有變化。但是通過比較也可以看出，在對應的時間里，曲線變化基本一致，即碰撞后的動態響應過程和結果一致。

圖6 碰撞過程中能量隨時間變化Fig.6 Evolution of energy transformation with time

3 結論

通過量綱分析方法對超高速碰撞相似律進行了理論推導，提出了適合于超高速碰撞模擬的相似律準則，然后使用改進的光滑粒子流體動力學方法對厚板開坑、薄板穿透的相似模型進行了計算。計算表明:在超高速碰撞模擬中，存在著一定的碰撞相似準則，這個相似準則跟材料的密度、屈服強度和速度有著直接關系。當材料模型符合這個相似準則時，碰撞后在開坑、開孔尺寸等結果中具有相當的準確性，在碰撞后動態響應效果中也體現了較好的一致性。因此，在滿足一定條件的情況下，可以使用可塑性較好的非金屬材料代替金屬材料用于沖擊或碰撞后應力、應變的估算及碰撞過程的模擬。

［1］ 張慶明，黃風雷.超高速碰撞動力學引論［M］.北京:科學出版社，2000:100-104;124;186.

［2］ Johnson W，Travis F W.High-speed cratering in wax and plasticine［J］.International Journal of Mechanical Sciences，1968，10:593-604.

［3］ Carrel J，Johnson W，Travis F W.High-speed impact of plasticine projectiles with laminated plasticine targets［J］.International Journal of Mechanical Sciences，1968，10:677-680.

［4］ 馬曉青，韓峰.高速碰撞動力學［M］.北京:國防工業出版社，1998:313-318.

［5］ 馬曉青，周蘭庭，隋樹元.用橡皮泥模擬高速碰撞的實驗研究［J］.兵工學報，1989，2:50-54.

MA Xiao-qing，ZHOU Lan-ting，SUI Shu-yuan.Simulating experimental research of high speed impact with plasticine［J］.Acta Armamentarii，1989，2:50-54.

［6］ 談慶明.量綱分析［M］.合肥:中國科學技術大學出版社，2005:97-98;130-141.

［7］ 談慶明.高速沖擊模型律［C］//王禮立.沖擊動力學進展.合肥:中國科學技術大學出版社，1992:303-320.