美式看跌期權定價問題的有限差分直接法

鐘堅敏，柴昱洲，孔繁博，湯國斌，秦 僖

(重慶理工大學數學與統計學院，重慶 400054)

期權(Option)是在期貨的基礎上衍生發展而來的金融工具，其實質是在金融領域中將權利和義務分開進行定價。權利的受讓人可在規定時間內對于是否進行交易做出決定，而義務方必須隨權利受讓人的決定進行交易。在期權的交易時，購買期權的一方稱作買方，而出售期權的一方則叫做賣方;買方即是權利的受讓人，而賣方則是必須履行買方行使權利的義務人。

期權價格是期權合約中唯一隨市場供求變化而改變的變量，它的高低直接影響到買賣雙方的盈虧狀況，是期權交易的核心問題。

對于歐式期權，John C.Hull等將Black-Scholes定價模型進行了推廣，使之可以直接代入定價公式。而美式看漲期權只有到期執行才劃算，相當于歐式看漲期權，可直接代入定價公式定價。美式看跌期權可在到期日之前的任何時刻執行，因此不能直接使用定價公式而只能用數值方法來為其定價，這從數學的角度講就變成了一個在隨機過程框架下具有自由邊界的求值問題。因此美式期權的定價問題重心轉移到其數值解方面，但要得到其解析解并非容易。有限差分的直接方法是計算偏微分方程的有力工具，其核心思想是對各種導數進行離散化，把偏微分方程轉化為差分方程。求解金融衍生產品的價格與求解普通的偏微分方程的區別主要在于一般的偏微分方程是給定初值求解終值，而金融衍生產品的定價問題是給定終值求解初值，屬于逆向隨機微分方程求解。

1 美式期權定價問題基本模型

本文只考慮美式看跌期權的定價問題，主要討論美式期權定價模型的自由邊界問題。從數學上來說，美式期權的定價問題是一個自由邊界問題。此處的自由邊界是一條需要確定的交界線，它把區域 {0≤S＜∞，1≤t≤T}分成2部分:一部分是繼續持有區域，另一部分是終止持有區域。這條自由邊界在金融上稱為最佳實施邊界。顯然對每個美式期權的持有者來說，需要知道曲線的位置，以便制訂出最佳的實施方案。

基本假設:

1)不付紅利。金融資產在期權有效期內無紅利及其他所得。

2)風險中性。市場不存在任何套利可能性的條件下，所有可交易證券的期望收益都是無風險利率，未來現金流可以用其期望值按無風險利率貼現，即股票預期收益率μ等于無風險利率r。

3)當前時刻為零時刻。

4)市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本，所有證券完全可分割。

2 期權定價的有限差分直接法

假設:S表示股票價格;f表示期權價格;r表示無風險利率;T表示期權到期日;Δt表示時間步長，σ表示股票的波動率，K表示期權執行價格;Lf(0，T;X)={u(t)表示股價離散步長;uLf(X)=表示時間離散步數;S=Kex表示等間隔的價格段;t=T－表示股票價格的最高價格。

2.1 隱式有限差分法［2］

2.1.1 隱式有限差分法思路

隱式有限差分法是以有限的離散區域來替代連續的時間和資產價格，可將滿足如下偏微分方程的衍生證券

2.1.2 隱式有限差分法算法［2］

首先，把從零時刻(初始時刻設為零時刻)到到期日T時刻之間的時間分為N個等間隔的小時間段，設，就有N+1個時間段。

其次，把資產價格的變化從0到最大值Smax也分成M個等間隔的小價格段，定義，就得到 M+1 個資產價格(0，ΔS，2ΔS，…，Smax)。

算法具體步驟:

2)分析差分方程

將式(2)～(4)代入偏微分方程(1)可得差分方程:

由于使用中心差分［3］，所以整個方程的誤差為 o(Δt，ΔS2)。

3)求解期權價值

首先確定股票價格在邊界t=T、邊界股票價格為0、邊界股票價格趨于無窮時的期權價值為

利用差分方程(5)和以上3個邊界條件可得出(N－1)Δt時刻的M－1個聯立方程:

以及:j=0 時 fN－1，0=K;j=M 時 fN－1，M=0。

根據以上各式可求出每個fN－1，j的期權價值，將其與X－jΔS比較得到每個格點的期權價值。所以當jΔS等于資產價格時，該格點對應的f就是要求的期權價值。

2.2 有限差分的直接法

有限差分的直接法是將差分方程(9)轉化為矩陣方程來進行求解。這里引入Kronecker積［4］的應用。

定義1［4］設A∈Cm×m，并記A的m個行向量為，于是

定義vec算符為

定理1［4］設 A∈Cm×m，B∈Cn×n，X∈Cm×n，則有

容易證明結論:

推論 1［4］設 A∈Cm×m，B∈Cn×n，X∈Cm×n，則

于是定義矩陣

令

記:

可以得到矩陣方程

解上述矩陣方程，具體步驟:

①利用定理1及推論1，將方程(10)化為與之等價的一般線性方程組

如令 M=A?In+Im?BT，y=vecF，b=vecC，則式(11)可寫成

② 求解方程(12)，所得解y即為每個fi，j期權價值。

3 實例分析

假設標的資產為不付紅利股票，其當前市場價為50元，波動率為每年40%，無風險連續復利年利率為10%，該股票5個月期的美式看跌期權協議價格為50元，求該期權的價值。

用隱性有限差分法解決該案例中的期權價值。其中

于是可以利用Matlab求出期權價格與期權到期時間的關系，見表 1。可得期權價值為4.072元。

表1 期權價格與期權到期時間的關系

4 結束語

本文主要用隱式差分法對美式看跌期權的定價進行模擬。通過對導數離散化，將偏微分方程轉化為差分方程，結合美式看跌期權的邊界條件，將差分方程轉化為矩陣方程，再利用Kronecker積的應用對矩陣方程進行求解。由于減少了迭代過程中的誤差累積，它相對于迭代法計算過程更加穩定，計算結果更加精確。

總而言之，應用Kronecker積，對美式看跌期權的定價進行模擬，其矩陣方程的解直接對應不同時刻 t，不同資產價格 S 下對應的 fi，j(i=0，1，…，N －1;j=1，2，…，M －1)的期權價值，結果較為直觀。

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