“蟻群算法”在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

張玉蘭（南京鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇 南京 210015）

“蟻群算法”在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

張玉蘭
（南京鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇 南京 210015）

從高職數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、應(yīng)用性例題、數(shù)學(xué)建模三個(gè)方面，對(duì)將蟻群算法滲透到高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的途徑進(jìn)行了初步研究，并提出了幾點(diǎn)想法和建議。

高職；數(shù)學(xué)教學(xué)；“蟻群算法”

生物學(xué)家經(jīng)過(guò)大量細(xì)致的觀察研究發(fā)現(xiàn)：現(xiàn)實(shí)中，螞蟻個(gè)體之間是通過(guò)一種稱之為信息素的物質(zhì)進(jìn)行信息傳遞的。螞蟻在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能夠在所經(jīng)過(guò)的路徑上留下該物質(zhì)，而且螞蟻在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能夠感知這種物質(zhì)的存在及其強(qiáng)度，并以此指導(dǎo)自己的運(yùn)動(dòng)方向，螞蟻傾向于朝著信息素強(qiáng)度高的方向移動(dòng)。因此，由大量螞蟻組成的集體行為便表現(xiàn)出一種信息正反饋現(xiàn)象：從某一路經(jīng)走過(guò)的螞蟻越多，則后來(lái)者選擇該路經(jīng)的概率就越大。螞蟻個(gè)體之間就是通過(guò)這種信息交流達(dá)到搜索食物的目的。“蟻群算法”就是通過(guò)模擬現(xiàn)實(shí)中的蟻群搜索食物的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)求解比較困難的組合優(yōu)化問(wèn)題的目的。該方法是受到對(duì)真實(shí)蟻群行為研究的啟發(fā)而提出的，主要特點(diǎn)為：通過(guò)正反饋、分布式協(xié)作尋找最優(yōu)路徑。其基本原理就是信息正反饋（如圖1所示）。圖中A是巢穴，E是食物源，H、C為障礙物（即螞蟻只能經(jīng)由H或C由A到達(dá)E或由E到達(dá)A），d為兩點(diǎn)間距離，1為螞蟻經(jīng)過(guò)后留下的信息素，假設(shè)初始時(shí)刻各路徑上都無(wú)信息素存在，則位于B和D的螞蟻可以隨機(jī)選擇路徑（從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度，初始時(shí)刻選擇路徑BCD和BHD的概率相同，都為50%），最終通過(guò)信息交換，螞蟻?zhàn)罱K選擇BCD（此為巢穴到食物源的最短路徑）。

圖1 蟻群系統(tǒng)示意圖

1991年，意大利學(xué)者M(jìn).Dorigo等人首先提出了 “蟻群算法”。該算法作為一種啟發(fā)式仿生算法，在以下領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用：一是優(yōu)化問(wèn)題的求解；二是基于“蟻群算法”的交通過(guò)程建模及規(guī)劃問(wèn)題求解；三是計(jì)算機(jī)領(lǐng)域；四是機(jī)器人設(shè)計(jì)及控制領(lǐng)域；五是電力系統(tǒng)應(yīng)用領(lǐng)域；六是通信領(lǐng)域；七是化工領(lǐng)域；八是工程應(yīng)用領(lǐng)域。廣義“蟻群算法”的基本步驟如下：（1）初始化信息素矩陣、螞蟻數(shù)目、循環(huán)次數(shù)；（2）確定搜索策略；（3）定義并計(jì)算轉(zhuǎn)移概率（主要與信息素量有關(guān)）；（4）進(jìn)行直接鄰域搜索；（5）修正信息素矩陣；（6）當(dāng)所有螞蟻都完成一次移動(dòng)后統(tǒng)計(jì)結(jié)果：若不滿足接受條件，取消本次迭代步驟（2）～（4）的結(jié)果，轉(zhuǎn)步驟（2）；若連續(xù)多次迭代蟻群統(tǒng)計(jì)結(jié)果不變，則對(duì)蟻群進(jìn)行擾動(dòng)。可采取的擾動(dòng)方法為擴(kuò)大可見(jiàn)域、擴(kuò)大鄰域搜索范圍；若既滿足接受條件，且循環(huán)次數(shù)小于規(guī)定的循環(huán)次數(shù)，則轉(zhuǎn)步驟（2）；否則，輸出結(jié)果。

高職院校的教學(xué)目標(biāo)是培養(yǎng)技能型、實(shí)用型人才。高等數(shù)學(xué)作為高職院校學(xué)生的一門基礎(chǔ)理論必修課，目的在于培養(yǎng)應(yīng)用型人才“所必須具備的基本數(shù)學(xué)素質(zhì)”。近年來(lái)，高職院校數(shù)學(xué)教學(xué)圍繞“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度”的原則，對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段等方面的改革進(jìn)行了一定的探索和實(shí)踐，并初見(jiàn)成效。筆者擬結(jié)合“蟻群算法”，對(duì)高職數(shù)學(xué)教學(xué)改革做進(jìn)一步研究。

基于“蟻群算法”的廣泛應(yīng)用及對(duì)“蟻群算法”的研究日趨成熟，將其應(yīng)用于高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅可以增加學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)面，而且可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

首先，應(yīng)在高職數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中融入“蟻群算法”。

近幾年，作為推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的突破口，大多數(shù)高職院校都嘗試著將數(shù)學(xué)建模的思想方法和知識(shí)內(nèi)容融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，甚至開設(shè)數(shù)學(xué)建模課，指導(dǎo)學(xué)生參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。而“蟻群算法”在求解優(yōu)化模型、規(guī)劃模型，特別是離散型的優(yōu)化問(wèn)題方面具有較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)：一是通用性，即可用于求解同一類型的優(yōu)化問(wèn)題，從TSP問(wèn)題到ATSP，只需作直接擴(kuò)展即可；二是穩(wěn)定性，即只需對(duì)其作很小的改動(dòng)，就可將其用于求解其他組合優(yōu)化問(wèn)題，如二次分配問(wèn)題和作業(yè)安排調(diào)度問(wèn)題；三是群體性，即該算法允許采用正反饋?zhàn)凰阉鳈C(jī)制；四是并行性，即該算法適用于并行操作，在求解大規(guī)模的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，不僅可以從算法本身的優(yōu)化出發(fā)提高求解效率，而且可以從算法的執(zhí)行模式出發(fā)進(jìn)行研究。因此，可以在高職數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中融入“蟻群算法”，即在高職的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容里可加入“蟻群算法”這一知識(shí)點(diǎn)。

高職數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，有利于后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。根據(jù)這些特點(diǎn)，可將高職數(shù)學(xué)教學(xué)分為三個(gè)階段進(jìn)行：（1）基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)教學(xué)階段，主要教學(xué)內(nèi)容是微分學(xué)、積分學(xué)；（2）應(yīng)用性數(shù)學(xué)教學(xué)階段，主要教學(xué)內(nèi)容可根據(jù)具體專業(yè)適當(dāng)增設(shè)“蟻群算法”、概率統(tǒng)計(jì)、復(fù)變函數(shù)、線性代數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，如自動(dòng)控制、機(jī)車車輛等專業(yè)的學(xué)生可增設(shè)10課時(shí)的“蟻群算法”（只介紹原理、步驟及計(jì)算機(jī)如何實(shí)現(xiàn)）等等；（3）專業(yè)性數(shù)學(xué)教學(xué)階段，主要教學(xué)內(nèi)容也是根據(jù)具體專業(yè)適當(dāng)增設(shè)“蟻群算法”、傅立葉變換、圖論等知識(shí)點(diǎn)，“蟻群算法”的課時(shí)較應(yīng)用性數(shù)學(xué)教學(xué)階段應(yīng)適當(dāng)增加，如計(jì)算機(jī)、通信等專業(yè)的學(xué)生可增設(shè)20課時(shí)的“蟻群算法”（除了基本的“蟻群算法”原理、步驟及計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)外，可增加一些改進(jìn)的“蟻群算法”，如最大—最小螞蟻算法、多重“蟻群算法”）等等。

當(dāng)然，在教學(xué)內(nèi)容的選擇上，應(yīng)堅(jiān)持“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度”的原則，既要滿足人才培養(yǎng)的應(yīng)用性（高職院校的特點(diǎn)），也要照顧學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，同時(shí)盡量保持本學(xué)科知識(shí)體系的系統(tǒng)性，這樣效果才會(huì)更好。

其次，可在某些應(yīng)用性例題中滲透“蟻群算法”。

數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容之一，數(shù)學(xué)應(yīng)用題就是考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題能力的基本方式，是最簡(jiǎn)單的一類數(shù)學(xué)建模問(wèn)題。針對(duì)優(yōu)化問(wèn)題，特別是離散型優(yōu)化問(wèn)題，可滲透“蟻群算法”，這樣既可讓學(xué)生了解“蟻群算法”的方法步驟，又可使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用，同時(shí)有利于在教學(xué)中貫徹理論與實(shí)際相結(jié)合的原則，逐步培養(yǎng)提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。其基本步驟如下：

第一步：?jiǎn)栴}引入。即針對(duì)具體的知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)入相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，如對(duì)于微分或?qū)?shù)的應(yīng)用性問(wèn)題，可引入一些極值或最值的實(shí)際問(wèn)題。

第二步：?jiǎn)栴}分析。對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行探究、分析，確定決策變量。

第三步：模型建立。根據(jù)前兩步，建立具體的數(shù)學(xué)模型（優(yōu)化模型：LP模型、0-1模型等）。

第四步：?jiǎn)栴}求解。首先，用高等數(shù)學(xué)的相應(yīng)知識(shí)進(jìn)行求解；其次，使用“蟻群算法”進(jìn)行求解（僅僅局限于用計(jì)算機(jī)演示結(jié)果）。

案例1：鐵路上AB段的距離為100km，工廠C距A處 20km，AC垂直于AB，為了運(yùn)輸需要，要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠方向修筑一條公路，已知鐵路上每噸千米的貨運(yùn)費(fèi)用與公路上每噸千米的貨運(yùn)費(fèi)用之比為3∶5，為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C每噸貨運(yùn)的總費(fèi)用最省，問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)選在何處？

解：先引入決策變量，設(shè)D點(diǎn)選擇在距離A處xkm的地方；再對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，建立如下數(shù)學(xué)模型：·，x∈[0，100]最后用“蟻群算法”對(duì)此優(yōu)化模型進(jìn)行求解，得到如下最優(yōu)結(jié)果：x=15km這與教材上提供的用微分法求解的結(jié)果一致。然后進(jìn)行總結(jié)、歸納，從而可進(jìn)一步鞏固第二章微分或?qū)?shù)這一知識(shí)點(diǎn)。

再次，應(yīng)在高職數(shù)學(xué)建模中滲透“蟻群算法”。

數(shù)學(xué)的特點(diǎn)不僅在于概念的抽象性、邏輯的嚴(yán)密性、結(jié)論的明確性及體系的完整性，而且在于應(yīng)用的廣泛性。經(jīng)濟(jì)發(fā)展的全球化、計(jì)算機(jī)的迅猛發(fā)展、數(shù)學(xué)理論與方法的不斷擴(kuò)充使得數(shù)學(xué)已經(jīng)成為當(dāng)代高科技的一個(gè)重要組成部分和思想庫(kù)，數(shù)學(xué)已成為一種能夠普遍實(shí)施的技術(shù)。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面。在應(yīng)用數(shù)學(xué)解決各類實(shí)際問(wèn)題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型并能夠成功求解是十分關(guān)鍵的，同時(shí)也是十分困難的。

圖2 數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程示意圖

近幾年，越來(lái)越多的高職院校開始開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)（開設(shè)數(shù)學(xué)建模選修課、指導(dǎo)學(xué)生參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽等活動(dòng)），其全過(guò)程如圖2所示。其中，對(duì)于數(shù)學(xué)模型的解答，可以采用解方程、畫圖形、優(yōu)化方法、數(shù)值計(jì)算、統(tǒng)計(jì)分析等各種數(shù)學(xué)方法，特別是數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù) （如MATLAB、LINGO、MAPLE、SPASS、SAS數(shù)學(xué)軟件和C語(yǔ)言等）。用“蟻群算法”進(jìn)行數(shù)學(xué)模型（主要是優(yōu)化模型和規(guī)劃模型）的求解越來(lái)越多地受到廣大學(xué)者的青睞。例如，2010年“高教杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽”的D題——對(duì)學(xué)生宿舍設(shè)計(jì)方案的評(píng)價(jià)，完全可以先根據(jù)要求建立一個(gè)優(yōu)化模型，然后采用“蟻群算法”進(jìn)行求解（具體步驟同案例1）。

以上幾點(diǎn)只是對(duì)在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“蟻群算法”的初步探討，還需要作進(jìn)一步研究和實(shí)踐。隨著社會(huì)的進(jìn)步和科技的發(fā)展，“蟻群算法”將會(huì)成為運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具之一（如用“蟻群算法”進(jìn)行火車車輛調(diào)度、電力系統(tǒng)優(yōu)化、故障分析等），也終將會(huì)越來(lái)越多地滲透到高職教育教學(xué)中。

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（本文責(zé)任編輯：王恒）

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1672-5727（2011）10-0100-02

張玉蘭（1982—），女，江蘇鹽城人，碩士，南京鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，主要從事運(yùn)籌學(xué)與控制論、高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)建模的教學(xué)與教改工作。