歷法：一道難解的數學題

□ 李 鑒

人們常說，天文學是一門古老的學科，從人類有記載的第一幅圖示開始，就開始了對宇宙的探索，天文學的誕生和發展，伴隨了人類文明進步的整個進程。但是與簡練的牛頓三定律、漂亮的化學方程式和完美的幾何學公理相比，天文學留給我們的恐怕更多的是疑惑。沒錯，斗轉星移、四季更迭這些天文現象我們早已耳熟能詳，但這就是天文學嗎？它到底在哪些方面影響著我們的生活，誰又能對此說出個子丑寅卯呢？

其實，從你早上被鬧鐘叫醒到下班、放學直至準點睡覺這一天的作息中，已經不自覺地享受到了天文學為你提供的服務，那就是“授時”。我們日常所使用的時間，就是根據天體的運行來定義并服務于生活的，可以說“授時”是天文學最早并且最大的成就。而如何合理地安排年、月、日、時，完全依賴于天文學家們給出的歷法。

時間之秘

時間的單位起源于天文觀測。太陽、月亮、星辰的自然運動為人類提供了三個計量時間的單位——年、月、日，這里的“年”指的是“回歸年”（365.2422日，即地球連續兩次經過近日點的時間間隔，也可粗略地認為是地球的公轉周期），是季節變化的周期；“月”指的是“朔望月”（29.5306日），是月相盈虧的周期，即從滿月到下一個滿月所經歷的天數；“日”指“太陽日”（嚴格說是平太陽日），是晝夜交替（地球自轉）的周期，也就是一天的長度。三者之中，“日”是時間的基本單位，必須保證完整，不被分割。時、分、秒的長度都由“日”長確定。雖然現在的時間定義系統已經發生了變化（秒長已改為由原子時來定義），但時間的天文屬性并沒有改變，我們的手表時間仍然和地球的自轉保持同步。

每當整點鐘時，正在收聽廣播的收音機便會播出“嘟嘟”的響聲。人們便以此校對自己的鐘表的快慢。廣播電臺里的正確時間是哪里來的呢？它是由天文臺精密的鐘去控制的。那么天文臺又是怎樣知道這些精確的時間呢？我們知道，地球每天均勻轉動一次，因此，天上的星星每天東升西落一次。如果把地球當作一個大鐘，天空的星星就好比鐘面上表示鐘點的數字。星星的位置天文學家已經很好的測定過，也就是說這只天然鐘面上的鐘點數是很精確知道的。天文學家的望遠鏡就好比鐘面上的指針。在我們日常用的鐘上，是指針轉而鐘面不動，在這里看上去則是指針“不動”，“鐘面”在轉動。

當星星對準望遠鏡時，天文學家就知道正確的時間， 用這個時間去校正天文臺的鐘。 這樣天文學家就可隨時從天文臺的鐘面知道正確的時間．然后在每天一定時間，例如，整點時，通過電臺廣播出去，我們就可以去校對自己的鐘表，或供其他工作的需要。

歷法之秘

所謂歷法，就是如何方便地協調三種時間單位的方法，即安排年、月、日的法則。這個問題看似簡單，其實不然。我們知道，“日”是不可分割的，即一年需要包含整數日、整數月，一月也要包含整數日。但是前文提到的“回歸年”、“朔望月”的長度卻都不正好等于整數日，所以人們需要通過適當的數學處理來對年、月進行截斷，安排哪天是新年的第一天，哪天又是每月的第一天。別看這只是小學水平的數學題，在過去甚至直至今日都著實沒讓天文學家們少費腦筋。

古人最早使用的歷法，通常是以月亮圓缺周期為依據的太陰歷（例如古羅馬歷），一年包含十個歷月，月的日數分為30和31兩種，其中第1、3、5、8月為31天，其余均為30天，全年共304天。還有60余天不計在歷月之內，作為年末休息日。休息過后，以草木萌芽開始的祭神，算是第二年。顯然這種歷法很不精確，連一年到底有多少天都含混不清。后來羅馬的第二個國王努馬進行了歷法改革，把一年的長度平均下來取為355天，包含12個月，每四年增加兩個補充月。其實看上去這個立法已經很精確了，因為它的一年的平均長度為[4×355＋(22＋23)]／4＝366.25天，只比回歸年（365.2422）多了一天左右。然而就是這一天的誤差，在三十幾年后就會導致季節提前一個月！

北京故宮的太和殿前的日晷。日晷是古代的計時工具，根據太陽的影子而判斷當時的時間。這個日晷屬于赤道式，晷針指向北天極，晷面平行于地球赤道。在晷面的正反兩面刻劃出12個大格，每個大格代表兩個小時。當太陽光照在日晷上時，晷針的影子就會投向晷面，太陽由東向西移動，投向晷面的晷針影子也慢慢地由西向東移動。于是，移動著的晷針影子好像是現代鐘表的指針，晷面則是鐘表的表面，以此來顯示時刻。太和殿日晷與嘉量對稱，位於丹墀上，為正午儀的一種，代表天子以正時治國之意

直到公元前19年，儒略·凱撒成為羅馬的執政官，才發明了更加精確的儒略歷：把平年的長度取為365天，每隔三年置一閏年，閏年為366日，這樣平均一年的長度就是365.25日。每年分為12個月，單數月份為大月，每月31天；雙數月份為小月，每月30天；2月份在平年29天，閏年30天。從儒略歷實施開始，歷法終于走上正軌。令人郁悶的是，那些頒發歷書的祭司們，有本事從烏鴉的爭斗預卜吉兇，卻把改歷命令中的“每隔三年設一閏年”誤解為“每三年設一閏年”，導致歷法精度大大降低。這個錯誤直到公元前9 年才由羅馬皇帝奧古斯都下令改正過來。為了紀念他的這一功績，羅馬元老院通過決議，把儒略歷的第八月改稱為奧古斯都月（英文August的音譯，因為他在這個月里曾取得過巨大的軍事勝利）。但這個月是小月，羅馬人以單數為吉，而30天卻是個雙數，于是就從2月份拿出一天，加到奧古斯都月里，8月就變成 31天了。這樣原本很好記憶的、大小月交替的歷法，變成了今天我們使用的不規律歷法。

精于計算的讀者會發現，儒略歷也并不精確。它的一年的平均長度為365.25日，比真正的回歸年長了0.0078日。果然，到了16世紀末的時候，春分日提前10天就來到了。于是，1582年3月1日羅馬教皇格里髙歷不得不頒發改歷命令，規定春分日為3月21日，而且除了每四年置一閏月外，還規定“世紀年數”能被400整除的年才是閏年。如1700年盡管能被4整除，但不能被400整除，所以作為平年。這是格里歷，即今日世界上廣為通行的公歷。

農歷與“19年7閏”

我國古人發明的農歷，屬于陰陽合歷，是一種兼顧朔望月和回歸年兩種周期的歷法，精度非常高。農歷把朔日（即新月那天）定為每月的初一，根據先后兩次朔日之間所包含的日數確定每月的大小，大月30天，小月29天，這樣一年就是354天。這不是比回歸年短很多嗎？沒關系，每過幾年，農歷就會設置一個閏年，與公歷閏年不同的是，農歷的閏年不是僅比平年長一天，而是多了一個月！這個多出來的月稱為閏月，這一年就稱為農歷的閏年。

怎么設置這個閏月？這里就顯示出了我們祖先的偉大智慧。我們知道農歷一年中有24個節氣，其中12個是“節氣”，還有12個是“中氣”（兩個節氣之間）。這12個中氣的平均間隔是12.3683個朔望月，因此，經過若干月后，就會有一個月沒有中氣，人們把這個月份定為閏月，并把閏月看成前一月的重復。例如2009年，在五月對應夏至的下一個月中，由于沒有中氣，就被設置為閏五月。于是，2009年就是農歷的閏年，這一年中有一月、二月、五月、閏五月、七月、九月、十一月、十二月為大月，三月、四月、六月、八月、十月為小月，共有385天。

所謂24節氣，是根據太陽在黃道（地球繞日公轉的軌道，也就是太陽周年視運動的路線）上的位置及引起地面氣候演變的次序，將全年劃分為24個段落，每段相隔約半個月（15天），每一段叫做一個節氣。24節氣可能起源于我國戰國時期的黃河流域，以后不斷完善，到秦漢年間，二十四節氣已完全確立。公元前104年，由鄧平等制定的《太陽歷》正式把二十四節氣定為歷法，明確了二十四節氣的天文位置。

我們算一下就會發現，19個回歸年的日數與235個朔望月日數極為接近。即：19回歸年≈235個朔望月＝（19×12＋7）朔望月＝（12×12＋7×12＋7）朔望月＝12×12朔望月＋7×13朔望月＝12個平均小年＋7個平均大年＝19個農歷平均年。因此，在19年中安插7個閏月，就可以使農歷的平均年長接近回歸年。這就是我國最早應用的“十九年七閏法”。在同時用公歷和農歷計算生日的時候，大約每隔19年，公歷和農歷的生日就會重合在同一天。例如，1960年10月1日（農歷八月十一）出生，到1979年10月1日，農歷正好是八月十一。只是由于閏月的設置，有時候每隔19年，公歷和農歷會相差一兩天。因為農歷是我國的傳統歷法，人們接受程度高，因此，我國很多傳統節日多用農歷計算，如春節（正月初一）、元宵節（正月十五）、端午節（五月初五）、中秋節（八月十五）等。

公歷后話

公歷雖然已被廣為接受，但遠不完美。仔細一算，我們會發現公歷一年的長度平均是365.2425日，還是比回歸年長了0.0003日。經過3300多年后，公歷就會出現一日的誤差。到了公元5000年左右，如果那時仍用現行公歷的話，我們的后輩們將不得不考慮如何刪除這多出來的一天。

為了消除這個微小的誤差，許多追求完美的天文學家們可謂煞費苦心。據統計，他們林林總總共發表了147種新歷設計方案，其中最受人們推崇的是“世界歷”。它把一年分為四季，每季91日。每季的第一個月是大月（31日），其余兩個月是小月（30日）。每季都含完整的13個星期，每次新年和每一個季度都從星期日開始，歲歲不變。四季總數是364日，剩余的1日不編入任何月份和星期，放在歲末作為年終假日；如逢閏年，則將第二個號外日安插在6月末，是謂閏年假日。這樣一來，不僅每年的平均長度與回歸年長相當，而且連日期與星期的對應關系也都是固定不變的，這樣我們每當黃金周放假時，就不需要每年都根據當天是星期幾而調來調去了。如此結果，可謂皆大歡喜。

但是立法改革不僅屬于天文學的范疇，還是民俗、宗教、社會和經濟方面的綜合問題。改歷能否實施取決于公眾的接受程度。如果沒有某種契機，歷法改革雖是方案迭出，而實施卻毫無著落。因此，“世界歷”雖好，但我們短期內對它的實施還是不要期望過高了。

地球自轉、月球公轉、地球公轉導致了日、月、年，年、月都不可被日整除，導致了歷法的復雜化。