混合磁懸浮系統的H∞控制器設計

喬 芳，林小玲

(上海大學，上海200072)

0 引 言

近年來，磁懸浮技術被廣泛地用于各種實際的應用領域。但由于磁懸浮系統中存在著許多不確定性因素，因此強魯棒控制器的設計成為新的研究熱點。在眾多的魯棒控制理論中，魯棒H∞控制被認為是魯棒性最強的控制方法之一，魯棒H∞控制包含了傳統控制方法與現代控制方法的優點，有很強的魯棒性及抗干擾能力，但是在進行設計時需要根據實際系統合理地選擇加權函數，而魯棒穩定性和魯棒性能的加權函數的選擇卻依賴于設計者的經驗，至今無規律可循［1－4］。

本文針對混合磁懸浮系統，設計了H∞控制器，其仿真結果表明系統具有很好的穩定性和魯棒性。

1 混合磁懸浮控制系統的模型

1.1 控制系統結構

混合磁懸浮控制系統的結構圖如圖1所示，此系統由永磁體、電磁鐵、線圈、電流及位置傳感器、控制器、功放及懸浮體等部分構成。永磁鐵產生的磁場作為系統的偏置磁場，電磁鐵線圈通以驅動電流后產生的磁場作為系統的控制磁場。系統工作時，通過獲得的電流和位移反饋來控制線圈電流的大小和方向，以達到控制電磁力的大小和方向，從而使電磁力與懸浮體的重力平衡，最終使系統穩定。

圖1 混合磁懸浮實驗系統結構

1.2 混合磁懸浮系統的數學模型

對圖1的混合磁懸浮系統中的混合勵磁電磁鐵做如下假定:

(1)磁路中鐵磁材料的磁導率無窮大，磁勢均勻地分布在氣隙和永磁鐵上;

(2)忽略電磁線圈和永磁鐵的漏磁通;

(3)假定懸浮體作用面的剛度系數無窮大，不考慮懸浮體本身的彈性振動和動態形變，其受力僅為豎直方向上的磁吸力、重力和外界擾動力;

對如圖1所示的混合磁懸浮系統建立線圈電壓平衡方程和懸浮物垂直方向運動方程，所得方程為非線性方程，難以精確地求出方程解。采用傳統基于標稱點線性化模型設計方法，可得線性化方程組:

式中:m為懸浮質量;fd為外部干擾力;Δu、Δi分別為電磁鐵電壓和電流相對平衡點的增量;ky為氣隙y(t)變化單位值時，磁力的變化值;ki為線圈電流i(t)變化單位值時，磁力的變化值;L0為混合磁鐵在平衡點處的電感。

對式(1)進行Laplace變換，可得:

本文采用電流控制模型，將懸浮氣隙作為電流的函數，驅動環節視為跟隨性能很好的電流源，由式(2)可得系統電流控制模型:

該系統，m=1.225 kg，平衡位置取為 y=17 mm，平衡時靜態電流i0=0。由此得系統的開環傳遞函數:

由此得出，開環控制時此系統有一個極點位于復平面的右半平面，即開環系統控制時是不能達到穩定的，須引入反饋控制。

2 魯棒H∞控制器設計

2.1 魯棒H∞控制器設計分析

H∞控制器設計是一種依賴于模型的設計方法。進行H∞控制器的設計時，首先必須建立被控對象的數學模型，然后將該模型化為H∞標準控制問題所對應的增廣被控對象的模型，最后，按照H∞標準控制問題的求解方法設計控制器。在實際應用中，許多控制問題均可轉化成魯棒H∞控制問題，如魯棒穩定性、跟蹤、干擾抑制等。H∞控制的目的就是要求使得系統的外界干擾到系統的可控輸出在范數意義下控制在一定的水平。實際應用中，標準H∞問題即是在系統中以加權函數去影響閉環系統的某些性能，使得設計的控制器具有魯棒性。如圖2所示。

圖2 標準H∞控制問題

圖2中，r為輸入，u為控制輸入，z為評價輸出(即可控輸出)，y為系統輸出，K為控制器，G為廣義受控對象。廣義受控對象是在被控對象基礎上進行加權增廣得到的，即G不僅包含實際系統的模型函數，還包含為滿足系統性能而引入的加權函數。

而H∞混合靈敏度優化法恰是一種多變量魯棒控制器設計的有效方法，此方法是指閉環控制系統性能可以通過合理地選取權函數來達到，靈敏度函數表示了由干擾輸入d到系統輸出y的傳遞函數，同時也是從參考輸入r到系統偏差e的傳遞函數，它反映了系統對輸出端擾動的抑制性能，是一項重要的性能指標。顯然，靈敏度越小越好。進行控制器設計時，為了保證控制系統的魯棒性，一般都將魯棒H∞控制問題轉化為混合靈敏度問題進行計算，控制系統如圖3所示［3］。

圖3 混合靈敏度問題的標準框架

圖3中:G(s)為開環傳遞函數;K(s)為H∞控制器;r、e、u、d、z、y 及 n 分別為輸入、誤差信號、控制量、干擾量、評價系統輸出、系統輸出及噪聲。W1(s)、W2(s)和W3(s)分別為系統的性能權、控制器輸出權，魯棒權。它們分別決定了系統的抗干擾能力、參數攝動的范數界和系統的魯棒穩定性。從參考輸入r到e，u和y的閉環傳遞函數分別為:

式中:S和T分別為控制系統的靈敏度函數和補靈敏度函數。對于混合磁懸浮控制系統，將預先設定的懸浮體的平衡位置作為輸入量，r和u作為控制器量，誤差信號和懸浮體的偏移位置量作為廣義被控對象的輸出。對于圖3的控制系統的魯棒H∞混合靈敏度問題的標準框架:

其中，廣義受控對象及其狀態表達式:

由式(6)構成的閉環傳遞函數陣:

混合磁懸浮控制系統的魯棒H∞混合靈敏度設計即尋找有理函數控制器K，使閉環控制系統穩定，且‖P‖∞最小。設最小值為γ0，但是通常比較難找到準確解，所以一般采用準最優解，即找一個穩定的控制器 K，使‖P‖∞=γ≥γ0。故有:

或

這就使混合磁懸浮控制系統的控制器設計問題轉換成了混合靈敏度控制的設計問題。

2.2 權函數陣的設計選擇

H∞控制器的設計實際上是對靈敏度函數S、R和T的加權函數W1(s)、W2(s)和W3(s)的選擇過程。加權函數選擇合適與否決定了系統性能的優劣。本文加權函數的選取遵循如下規則［3－7］:

(1)遵循魯棒控制第一定理

靈敏度加權函數W1(s)應滿足:

補靈敏度函數T是系統輸出與參考輸入之間的傳遞函數矩陣，補靈敏度加權函數W3(jω)應滿足:［T(jω)］是 T(jω)的奇異值，W3(s)是系統所期望的復合干擾的幅值。

(2)階次要求

在滿足魯棒第一定理不等式(10)和式(11)的條件下，應盡量選擇低階次的權函數，通常選擇一階函數。

(3)W1、W2的截止頻率

W1截止頻率應選擇在低頻段，以保證控制系統有良好的低頻跟蹤能力。W3截止頻率應該向高頻段偏移，從而過濾掉外界的復合干擾。

(4)W1、W3的幅值特性

在保證整個控制系統穩定的前提下，靈敏度加權因子W1要求在低頻段增益大，高頻段的增益為零即可。補靈敏度加權因子W3在低頻段要求增益很小，在高頻段增益要大。

依據以上設計原則，經過反復實驗本文選取加權函數如下:

通過Matlab魯棒控制工具箱，結合式(4)和式(12)，最終求得到系統H∞控制器:

圖4 奇異值曲線

3 系統仿真

根據以上分析，借助Matlab的 Simulink工具箱，建立混合磁懸浮控制系統的仿真模型，控制器K采用S－Function編寫，仿真模型如圖5所示。

圖5 磁懸浮系統的H∞控制器仿真框圖

將H∞控制器用于混合磁懸浮控制系統的仿真，與傳統的PID控制器仿真進行比較，仿真結果如圖6所示。

圖6 H∞控制器控制時的仿真波形

從圖6中可以看出，采用PID控制，系統的超調量約為19%，系統的穩定時間約在2.5 s，而采用H∞控制，系統的超調量不到5%，穩定時間在0.6 s左右，另外系統的上升時間也比PID控制的要小。可見，H∞控制的系統性能明顯優于PID控制。

4 結 語

本文對現有的混合磁懸浮控制系統，設計了混合磁懸浮系統的H∞控制器，并進行了仿真研究，且與傳統的PID控制方法進行了仿真比較。結果表明:基于H∞的魯棒控制器明顯優于傳統PID控制器的控制性能，這為今后對魯棒H∞控制方法的研究與設計起到了很好的參考借鑒作用。

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