模糊范數法評估納米添加劑潤滑脂摩擦試驗數據

張林，李鵬，張軍

(洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039)

在目前的摩擦學試驗中，經常遇到數據個數很少的情況，如果采用經典統計理論進行分析，則可靠性較低，如何正確處理是一個難題。而乏信息理論在很多小樣本、概率分布未知的試驗數據的評估中優勢比較明顯，可靠度和準確度也較高。運用非統計理論對樣本數據的評估和預報已應用于航空領域[1-2]，并發揮了不可估量的作用。這里，結合添加納米粒子潤滑脂的小樣本摩擦試驗數據，介紹模糊集合理論對小樣本試驗數據的評估。

1 試驗及數據

試驗方法及試驗條件見文獻[3]，試驗數據見圖1。

圖1 9種潤滑脂摩擦力數據

2 評估方法

2.1 模糊范數法

模糊范數法是以隸屬函數和范數的數學概念為基礎，建立經驗概率密度函數，進而對系統總體屬性參數進行評估的一種本征融合方法，可以獲得新信息的最終解。

將每組摩擦數據x從小到大排序，以研究其內在特性，新的數據序列xi為

xi≤xi+1，i=1,2…,n;

(1)

定義差值序列為

di=di(xi)=xi+1-xi≥0。

(2)

差值di越小，數據的分布越密集；否則越稀疏。用如下線性隸屬函數描述系統總體的概率密度函數

(3)

(4)

(5)

式中:mi為分布因子。

設最大分布因子為mmax，與其對應的xi為Xv，序列號i為v。若有多個重復的mmax，則Xv和v可以由算數平均值確定。

設

f1i(xi)=mi,i=1,2,…,v;

(6)

f2i(xi)=mi,i=v,v+1,…,n。

(7)

用兩個多項式分別逼近離散值f1i(xi)和f2i(xi)，就可以得到f1和f2。

(8)

(9)

式中：X0為摩擦數據真值；l為多項式階次，l=1,2,…,L。

設

r1i=f1(xi)-f1i(xi),i=1,2,…,v;

(10)

r2i=f2(xi)-f2i(xi),i=v,v+1,…,n。

(11)

定義最大模范數

(12)

對于al，有

(13)

對于bl，有

(14)

可以確定系數al和bl，進而得到隸屬函數f1(x)和f2(x)。

(13)和(14)式的約束條件分別為

(15)

(16)

摩擦數據的真值X0是未知的，在經典統計學上，它可以用數學期望表示。考慮到小樣本問題，這里用最大隸屬度值表示真值X0，即

X0≈x|f(x)=1=Xv。

(17)

根據模糊集合理論，一個系統的屬性從真到假變化有一個過渡區間，即

(18)

式中：G(x)為系統總體屬性變化的特征函數；q為水平，q∈[0，1]；q*為最優水平。

設摩擦數據參數的變化區間為[xL,xU]，在區間內x是可用的，特征值為1(真)；而在區間外x是不可用的，特征值為0(假)。選擇水平q=q*分別滿足

min|f1(x)-q|時，

x=xL;

(19)

min|f2(x)-q|時，

x=xU。

(20)

以此求出摩擦數據的變化區間[xL，xU]。

2.2 經驗概率密度函數與置信水平

系統總體屬性參數的經驗概率密度函數可以用隸屬函數表示為

(21)

置信水平P為

(22)

(22)式必須滿足

0≤P≤1。

(23)

由(22)式可知，P受q和L的影響。若要求P為某一常數，如P=95%或P=99%或P=100%，則可以調節q和L來滿足此要求。此外，因小樣本數據個數很少，故L值一般是很小的，如L=1，2或3。

在實際計算中，一般給定P，優選L=3，再調節q以滿足P，就可以得到在P置信水平下的區間評估結果[xL,xU]。

3 評估結果及理論分析

取L=3，置信水平分別為90%，95%和99%，運用模糊范數法建立數學模型，對試驗數據進行評估，L=3時數據的分析結果可靠性較高，但計算相對復雜，可以借助計算機編程實現。在3種置信水平下，運用模糊范數理論對摩擦力的數據進行評估，結果見表1、表2和表3。

表1 置信水平為90%的摩擦力數據評估結果 N

表2 置信水平為95%的摩擦力數據評估結果 N

表3 置信水平為99%的摩擦力數據評估結果 N

無論是滾動摩擦還是滑動摩擦，其摩擦力隨時間在一定區間波動。一般情況下，摩擦力變大，磨損加劇，壽命就會變短；相反，摩擦力變小，磨損會減小，壽命就會延長。 而更重要的是摩擦力的波動區間，摩擦力在一個區間內波動，如果其波動范圍小，說明摩擦均勻，機器運轉平穩，壽命會更長。從3種置信水平下評估的試驗數據可以看出，同種添加劑的摩擦力數據波動區間都是隨著添加量的增加先減小后增大，在某個添加比例時達到一個最小值，即存在一最佳添加比例，而不同的材料該最佳添加比例是不同的。從數據中還發現含0.5%納米氧化鋯的潤滑脂的摩擦力數據的波動區間和均值在3種置信水平下都是最小的，說明本試驗中氧化鋯粒子在此比例時能夠有效地降低摩擦磨損，延長軸承的使用壽命。

4 結論

(1)納米銅在此種潤滑脂中作為添加劑減摩效果不明顯；而納米氧化鋯納米粒子作為此種脂添加劑的減摩效果明顯。

(2)在選用的銅及氧化鋯納米粒子作為添加劑時，其摩擦力隨著納米粒子添加量的增加都是先減小后增大，并且在某一添加量下存在一個最小值，不同材料的最小值是不同的。

(3)在90%，95%和99%的3種置信區間下，含0.5%納米氧化鋯粒子的潤滑脂的摩擦力數據均最小，說明在該添加量時，減摩效果最好，可以有效地降低摩擦，減小磨損，進而延長軸承的使用壽命。