基于降階擴展卡爾曼濾波的永磁同步電動機無傳感器控制

李 宏，張 群，鄭 勇

(西北工業大學，陜西西安710072)

0引 言

永磁同步電動機因具有轉矩慣性比高、功率密度高、功率因數高、效率高等優點，得到了越來越廣泛的應用。在永磁電機的調速系統中，關鍵要得到永磁轉子的實時磁極位置。一般通過在電機轉子上安裝機械式傳感器，如光電編碼器或旋轉變壓器來測量轉子的位置，并提取轉子的速度信息［6］。然而傳感器的存在增加了系統的成本，不僅帶來機械安裝精度等問題，而且使系統的可靠性降低，在實際應用中并不理想。因此無機械傳感器的控制方法得到了越來越多的關注。

目前，永磁同步電動機的無速度傳感器調速方法可以大致分為以下兩類:

(1)在電機非線性模型上發展非線性方法和線性估算方法;

(2)在電機其它的特性上分析，如反電勢法、電流諧波法和注入諧波法。擴展卡爾曼濾波(EKF)就是建立在電機非線性模型基礎上的一種最優化非線性方法。該方法具有較強的抗噪聲能力，然而EKF算法階數高，對最小方差矩陣的繁重計算使之對處理芯片具有很高的要求，限制了其在實時控制系統中的應用。

本文提出了一種基于降階擴展卡爾曼濾波器(REKF)來預估轉子位置和速度的新算法，選取定子繞組在α、β軸的反電勢eα、eβ和轉速ω作為狀態變量，階數由4階降為3階，計算量明顯減少，算法更加簡單，在性能上則繼承了傳統EKF的優勢。

1擴展卡爾曼濾波器原理

卡爾曼濾波算法是一種線性最優遞推濾波算法，能夠在有隨機干擾和噪聲的情況下，以線性最小方差估計給出狀態變量的最優估計值。

永磁同步電動機在靜止α-β坐標系下的數學模型［3，5］:

其中:

上述數學模型中，系統狀態變量 x=［iαiβω θ］T，輸入變量 u=［uαuβ］T，輸出變量 z=［iαiβ］T，iα、iβ為 α、β 軸定子電流，Ls為相電感，Rs為相電阻，eα、eβ為定子繞組 α，β 軸反電勢，Ψ為永磁體磁鏈，ω為轉子角速度，θ為轉子位置，δ(t)為系統過程噪聲，μ(t)為系統測量噪聲，δ(t)、μ(t)協方差陣分別為Q、R。

對 f［x(t)］、h［x(t)］進行線性化處理可得雅克比矩陣:

設Δx(t)足夠小，得線性化方程:

設采樣周期為T，對式(4)進行離散化處理:

式中:Φ為狀態轉移矩陣，Φ(k)≈I+F(k)T。

于是得到下列5步卡爾曼濾波方程:

一步預測:

狀態估計:

一步預測均方差:

估計均方差陣:

增益:

2降階卡爾曼濾波器

擴展卡爾曼濾波器算法具有抑制噪聲干擾，提高狀態估計準確度的優點，但是其系統矩陣仍然是耦合的，且計算量較大，不利于實時性的運用。下面來討論一種降階卡爾曼濾波器，通過適當地選取狀態變量，簡化濾波器的結構，加快系統運行時間。

由永磁同步電動機數學模型可知，電機反電勢:

對 f［x(t)］、h［x(t)］進行線性化處理，可得雅克比矩陣:

設采樣周期為T，對式(13)進行離散化:

狀態轉移矩陣:

由式(11)可知，狀態變量 eα、eβ包含著轉子位置信息，因此只要得到 eα、eβ，即可解算出轉子位置θ。然而按照EKF算法，這個系統是一個無輸入信號的非線性系統，而且輸出量包含eα和eβ并不能直接觀測，需對式(1)進行適當處理。

由式(1)可得:

將式(17)近似離散化:

將式(18)代入式(17)，可得:

由此便可采用擴展卡爾曼方程進行狀態估計了。此時的擴展卡爾曼濾波器經過了降階處理，運算量大大降低。由于在估算過程中沒有用到電機的永磁體磁鏈Ψ，魯棒性更好。

與卡爾曼濾波式(1)～式(10)相比，降階卡爾曼方程結構大大簡化，在運算過程中占用更少的存儲空間，更易于數字化實現。

3仿真模型的建立及結果分析

圖1 無傳感器永磁同步電動機調速系統仿真模型

為了驗證這種基于降階擴展卡爾曼濾波算法的永磁同步電動機無傳感器控制的可行性和有效性，本文基于Matlab/Simulink平臺，建立了基于降階擴展卡爾曼濾波的永磁同步電動機無位置傳感器控制系統的仿真模型，仿真模型如圖1所示，永磁同步電動機采用id=0的矢量控制策略實現轉速和電流的雙閉環控制。電機參數如表1所示。

表1 仿真試驗用電機參數

采樣周期 T=1×10-6s，初始值取 x0=

根據上述降階擴展卡爾曼濾波算法，編寫Matlab函數，估算出狀態變量 eα、eβ、ω。轉子位置 θ可由下式得到:

當給定轉速nref=400 r/min時，空載起動，進入穩態后，在0．05 s時突加負載轉矩Te=10 N·m。圖2為降階卡爾曼濾波器輸出的反電勢波形。

圖3為降階卡爾曼濾波器估計的轉子轉速與實際轉速曲線。可以看出，采用降階擴展卡爾曼濾波器估算的轉子轉速對于實際轉速具有良好的跟蹤性能，負載突變時，亦能較快地跟蹤實際轉速。圖4給出了電機估計轉速與實際轉速之間的誤差，由圖可知，在電機高速運行時，轉速誤差很小，電機運行平穩。

圖5為估計的轉子位置曲線。仿真結果表明，降階擴展卡爾曼濾波算法對永磁同步電動機的位置估算精度較高，在初始暫態過程之后，能夠收斂到實際值，而且對負載轉矩擾動的魯棒性較強。

圖2 估計的反電勢波形

圖3 估計的轉速曲線

圖4 估計的轉子轉速誤差

圖5 估計的轉子位置曲線

4結 語

本文在分析了傳統擴展卡爾曼濾波器原理的基礎上，提出了一種基于降階擴展卡爾曼濾波算法的永磁同步電動機無速度傳感器控制方法，并通過Matlab/Simulink平臺，建立了控制系統的仿真模型，仿真試驗結果驗證了算法的有效性。新算法不僅延續了傳統擴展卡爾曼濾波算法的優勢，而且算法更加簡單，更易于數字化實現。

［1］ Kim Y H，Kook Y S．High Performance IPMSM Drives without Rotational Position Sensors Using Reduced-Order EKF［J］．IEEE Trans．on Energy Conversion，1999，14(4):868-873．

［2］ Wang W，Zhang M，Wu Q．Application of Reduced-Order extended Kalman Filter in permanent magnet synchronous motor sensorless regulating system［C］//International Conference on Digital Manufacturing and Automation．2010:271-274．

［3］ Zheng Z，Li Y，Fadel M．Sensorless Control of PMSM Based on Extended Kalman Filter［C］//European Conference on Power Electronics and Applications．2007:1-8．

［4］ 張敏．基于DSP的永磁同步電機無傳感器控制系統的研究［D］．南京:南京航空航天大學，2009．

［5］ 吳永前，李玉忍．擴展Kalman濾波在永磁同步電機無速度傳感器調速系統中的應用［J］．電氣傳動自動化，2001，23(6):3-6．

［6］ 阮毅，陳維鈞．運動控制系統［M］．北京:清華大學出版社，2006:230-241．