隨機系數SETAR模型的應用

莫達隆,宋立新

（1.賀州學院，廣西 賀州542800；2.大連理工大學，遼寧大連 116024）

0 引言

門限自回歸模型TAR是Tong.H于1978年提出來的,此后Tong和Lim(1980年)又給出了自激發門限自回歸模型SETAR。由于SETAR模型能根據自變量的變化，選擇不同的線性模型，這種選擇轉換被稱之為機制轉換。正是這種機制轉換特征恰好描述了現實生活的大量現象,如經濟、金融、氣候等領域的現象,這些領域的數據受多種因素影響，觀測值序列呈現跳躍性的變化，使得SETAR模型在這些領域的數據分析中得到廣泛應用。

正如SETAR模型應用者的研究發現,SETAR模型是利用門限空間來改進線性逼近,現實生活的各種系統卻充滿著時變性,要提高預測的準確性,預測系統模型的回歸系數也應該時常得到更新。本文提出隨機系數SETAR模型及其應用，并假設其回歸系數是一個隨機時間變化的隨機系數，給出了回歸系數的估計方法.實證研究證明,所建立的模型能更準確地擬合現實數據序列,為拓展SETAR模型的應用提供了一種新的方法。

1 隨機系數SETAR模型

設

把(3)式寫成向量形式:

其中,Y是觀測值xt,t=p+1,p+2,…,n,

1.1 模型識別和估計

設xt,t=1,…,n是依時間順序排列的n個觀測值，現要估計參數A,d，確定階數p和分割{ }Rj.具體步驟如下：

步驟一，假設階數p和分割{ }Rj已知.根據觀測值xt,t=1,…,n給出A的條件最小二乘估計（CLSE），即極小化如下的殘差平方和：

記A的CLSE值為，則

但由(3)式可知，模型(4)是一個異方差模型，宜用加權最小二乘法對模型(4)的系數A進行估計，加權最小二乘估計為

其中,D=diag(dp+1,dp+2,…,dn)是權矩陣

具體計算權矩陣D時，可用模型（4）的CLSE估計的殘差估計量作為對角線元素來構造權矩陣D的初步估計。dt是隨時間變化的，經過權矩陣D的作用有可能尚未把異方差的因素去掉，可重復地對模型(4)進行加權最小二乘法估計,迭代到模型的殘差平方和穩定為止。

步驟二，估計Ri.固定d，關于R極小化，可先根據數據序列直觀分析，預先確定一些門限候選值，在這些值處比較最優殘差平方和Qn(A)的大小，取使得Qn(A)最小的候選值作為。例如,先將數據序列從小到大重新排列，以位于數據量0.25，0.35，0.45，0.55，0.65和0.75分位數處的xt的取值作為門限候選值。

步驟三,關于d極小化,估計d.對每個固定d，先對j=1,2,…,l，極小化（4）式，然后選擇使得（5）式達到最小。

1.2 隨機系數SETAR的統計檢驗

隨機系數SETAR的統計檢驗包括三個方面:

(1)殘差的常規檢驗.如殘差的獨立性、正態性和等方差性檢驗。

(2)非線性檢驗。這里應用廣義似然比檢驗方法,該方法假設檢驗問題是：

H0:a1i=a2i=…=ali,i=0,1,2,...,p

H1:a1i,a2i,…ali,.i=0,1,2,…,p不全相等。

構造其統計量為：

2 實例分析

2.1 數據獲取和初步分析

取廣西外經貿2005年1月－2010年4月的出口數據為例分析之(見表1，數據來源：廣西商務之窗http://guangxi.mofcom.gov.cn/.統計數據中的進出口數據，單位：萬美元)。其中,取2005年1月～2009年12月的出口數據作為分析數據,2010年1月～4月為預測用的數據。（所用統計軟件為eviws和R語言，自行編程）

為初步觀察數據的平穩性，作廣西累計出口月金額數據序列圖和相關函數圖。由此可以判斷：廣西累計出口月金額數據序列有明顯長期趨勢，因是月度數據，很有可能存在季節趨勢。可計算其季節指數，若存在季節趨勢可先剔除季節趨勢，再通過單位根（ADF）檢驗其平穩性，并確定長期趨勢是確定性趨勢還是隨機性趨勢，從而選擇適當方法剔除長期趨勢即可得到一平穩序列。

表1

剔除季節趨勢的方法有季節差分、計算季節指數再消除季節因素等方法，因為該原始序列的容量較少(n=64)，如果用季節差分消除季節因素，勢必會缺失相當多的數據。所以通過計算季節指數消除季節因素的方法剔除季節變動。用移動平均法，得廣西累計出口月金額數據的季節指數表(見表2)：

根據季節指數發現，原序列有季節趨勢，在上半年和下半年稍有變化.可剔除季節趨勢，設剔除原序列中的季節因素后的序列為{Zt}。

2.2 對序列{Zt}進行ADF檢驗，確定序列均勢類型

經嘗試，有如下結果：（見圖1，見圖2）

圖1、圖2顯示：檢驗t統計量值是-0.491272,大于顯著水平為5%和10%的臨界值，同時時間項T的t統計量小于臨界值，可斷定序列{Zt}存在單位根，是具有隨機性趨勢的時間序列，對其零均值化，得到的新序列設為{Yt}。因序列{Yt}是具有隨機性趨勢的時間序列，要通過差分的方法來消除隨機性趨勢。

表2

圖1

圖2

經嘗試，對{Yt}兩階差分（仍設為序列{Yt}）后進行ADF檢驗，檢驗t統計量值是-8.906645,小于顯著水平為5%和10%的臨界值，時間項T的t統計量也小于臨界值，表明序列{Yt}是平穩的，滯后項m=2，可初步估計序列{Yt}有滯后項為3的自回歸模型。

2.3 利用ARMA(q,p)模型建模

利用Pandit-Wu建模方法對序列{Yt}擬合AR(1)、ARMA(3,1)、ARMA(5,3)、ARMA(4,3)、ARMA(2,1)等模型進行對比選擇。

擬合相關結果如下（見表3）：

表3

綜合表3的各項因素，ARMA(5,4)是一個最佳的模型，模型形式如下：

2.4 利用隨機系數SETAR模型建模

根據上文的單位根檢驗可初步確定階數為p=3,序列有季節趨勢且在上半年和下半年稍有變化，可暫取第18個序列數據Y18=-78作為門限值r，d=2(1≤d≤p),由式(6)得到系數A的初步估計

現要進行異方差檢驗，作模型的殘差圖和標準殘差圖，從這兩個殘差圖可明顯看出殘差呈異方差分布，可利用加權最小二乘法估計模型(4)的系數A。先抽取模型(4)的殘差估計量，定義權矩陣D為再由式(6)得系數A的加權最小二乘估計D-1Y。經迭代，A最佳的結果是：

先固定d=2，因數據序列是月度數據，且根據3.1節分析發現數據有兩個季度的季節趨勢，便取第18、24、36、42個數據作為門限候選值，分別極小化(5)式，發現當r=2872時，式(5)最小，故暫取r=2872.固定r=2872，分別對d=1、2、3時極小化式(5)，發現當d=2時，式(5)最小，故取d=2。上述過程用表4來表示：

表4

從表4中可看出，r=2872,d=2時殘差平方和最小。因此可建立如下模型

2.5 對模型(9)的統計檢驗

首先,做殘差的常規檢驗.模型解決了異方差問題，現對殘差的獨立性和正態性進行檢驗，結果有：W=0.9776,P-Value=0.4043。滿足正態性檢驗。

然后，進行非線性檢驗.采用廣義似然比檢驗，有如下結果：

該值遠遠大于水平0.1%的臨界值27.20[4],拒絕H0假設,即線性模型的假設不成立.

最后,對系數進行顯著性檢驗。

R語言編程計算結果如下：

上述結果表明，除了當r＞2872時，xt-3的系數不顯著外，其他系數的P值均小于0.05，所以應該是非常顯著的。相關系數的平方為0.9651，關于F分布的P值也大大小于0.05，也非常顯著。因此可以認為模型通過了檢驗。

2.6 預測

用ARMA(5,4)模型和隨機系數SETAR模型預測2010年第一季度的廣西出口金額數據的對比，如下表：

表6

表7

從表6、表7可看出：隨機系數SETAR模型無論是擬合程度還是預測結果都要比ARMA(5,4)模型好。

3 結論

本文提出了隨機系數SETAR模型回歸系數估計的方法，并利用隨機系數SETAR模型對一個月度數據進行建模，拓展了SETAR模型的應用范疇，同時還建立了ARMA模型進行比較研究.結果證明隨機系數SETAR模型在具有非線性性質的數據序列建模中有較大優勢。

[1] 范劍青,姚琦偉.陳敏譯.非線性時間序列-建模、預報及應用[M].北京：高等教育出版社,2005.

[2] 安鴻志,陳敏.非線性時間序列[M].上海：上海科學技術出版社,1998.

[3] 袁軍.SETAR模型在GDP預測中的應用[J].統計與決策,2007,(5).

[4] 王黎明等.應用時間序列分析[M].上海：復旦大學出版社,2009.

[5] 王振龍等.應用時間序列分析[M].北京：科學出版社,2007.

[6] 趙松山.關于時變參數建模的研究[J].東北財經大學學報,2002,(9).

[7] 李書進，李文華.基于自適應卡爾曼濾波的時變結構參數估計[J].廣西大學學報(自然科學版),2004,(6).

[8] 胡琨.基于時變參數模型的創新環境影響研究[J].科技管理研究，2010,(1).

[9] 王宏禹,邱天爽.線性離散系統[M].北京:國防工業出版社,2008.

[10] 韓志剛.多層進階方法及其應用[M].北京:科學出版社,1989.