地價增長率的GM(1,1)預測模型

閆海波，陳敬良

（上海理工大學管理學院，上海200093）

1 地價增長率與GM(1,1)建模

1.1 地價增長率

房價問題是當前理論和現實的熱點問題。而地價是房價的核心構成要素。從某種意義上講，房價問題就是地價問題。房價的增長率幾乎是地價增長率的遞推與映射。地價增長率對于國家宏觀經濟政策、企業的戰略決策、民眾理財方式的選擇，都是較重要的數據；特別是近期來，我國經濟已呈現較明顯的通脹形勢下，更受到人們普遍關注。因此，研究地價及其變化規律，具有一定的理論和現實意義。

地價增長率主要反映地價水平的變化程度，使用簡單的統計學方法，計算公式為：地價增長率(%)=（當期平均地價－前一期平均地價)÷前一期平均地價×100%。

1.2 GM(1,1)預測模型

GM(1,1)預測模型是以灰色系統理論為基礎，通過原始數據的處理和灰色模型的建立,對系統的未來狀態作出科學的定量預測的一種方法；目前較為成熟的預測方法已超過200種，各種不同的預測方法有其所適用的特定對象,不存在一種普遍“最好”的預測方法。之所以采用GM(1,1)模型是基于以下二個方面的考量：第一，目前的預測方法多以數理統計為基礎，對樣本量有較高的要求。市場經濟條件下地價增長率只有短短三十年的數據，不滿足大樣本數理統計的要求。而GM(1.1)模型則對數據要求較低，可以完成小樣本條件下的預測，理論上講，GM(1,1)只要求4個數據便可以完成建模與預測，這是其他統計方法不可比擬的；第二,計算量相對較小,普通電腦即可完成計算；第三，經過檢驗，地價增長率的預測值與實現情況擬合度較高，方法較為實用。

2 GM(1,1)模型的建模原理

GM(1,1)中的前一個1，實際是n=1，即1階導數，后一個1是指一個變量。因此用GM(1,1)模型來預測地價增長率，是針對時間序列建模，是一個微分、差分和指數兼容的模型。地價增長率灰色模型GM(1,1)建模條件如下：

(1)地價增長率的原始數列是等時間序列，即Δk=Δkt-Δkt-1=1(為常數，表示時間間隔)

(2)GM(1,1)模型，當k≥4時,具有延展性。

(3)原始數列為非負序列。

首先給定原始數據：x(0)(k),k=1,2,…,n，為每年地價增長率的數據序列，記為：

x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…x(0)(n))，對x(0)做累加生成（I-AGO）：

于是有生成序列：

由x(1)建立白化微分方程：

此為GM(1,1)模型的實質。其中，a、b稱為發展系數和灰色作用量。設為向量參數，=(a,b)T

可用最小二乘法取得。

其中，B是由1-AGO的緊鄰均值生成的矩陣，其結構如下：

而YN等于原始序列的轉秩。

白化形式微分方程的時間響應函數即為預測函數[1]：

x(1)(k+1)=(x(1)(1)-b/u)eak+b/a，其中k=1,2,…,n

灰色模型GM(1,1)的預測結果的精度可用“殘差大小檢驗法”檢驗。

設x(0)(k)為每年實際的地價增長率，x(1)(k)為根據GM(1,1)模型預測的地價增長率，則E(k)為相對誤差。

3 地價增長率的GM(1,1)模型的建模過程

經濟數據的變化常常具有周期性,因此數據量并非越大越好,根據地價增長率數據的變化特點，采用GM(1,1)殘差修正模型進行預測，能夠取得較好的預測結果。以2001年為基期，2002年至2008年的全國地價增長率統計如表1所示。x（(0)(k)是原始數據列，x（(1)(k)為累加之后的數據列。

表1 地價增長率數據

由圖1可知，地價增值率的原始數列毫無規律，異常離散，而累加之后卻呈現出類似S型增長的規律性。也就是說，累加生產使得數據變得有規律，削弱了隨機性，從而使得預測變得可能。由公式（5）(6)計算得出：

圖1 原始數列與累加數列

最終的時間響應函數x(1)(k+1)=(x(0)(1)-b/a)e-ak+b/a=(4.39-5.51/0.04)e-0.01k-5.51/0.01;

根據此函數,預測2002年～2008年土地增長率的預測值和實際值比較結果如表2所示，其中，x1(0)(k)為預測值。

表2 初步預測結果

由表2可知，殘差較大，預測精度不盡滿意。進而考慮殘差的GM(1,1)模型，對原模型進行修正。

所謂殘差GM(1,1)模型，就是對殘差進行建模，生成時間響應函數，從而形成對原響應函數的修正。殘差模型一般只注意修正預測原點附近的數，而不要求修正所有的數。2008年為預測原點，可取2005年～2008年的殘差進行二次GM(1,1)建模。

此時，殘差GM(1,1)模型中的a=-0.3806,b=1.9835;

時間響應函數為

q1(1)(k+1)=(q(0)(1)-b/a)e-ak+b/a=(1.44+1.9835/0.3806)e0.3806k+1.9835/0.3806

對上式取導數，得q1(0)(k+1)=0.3806*(1.44+1.9835/0.3806)e0.3806k=6.65e0.03806k。

對x(1)(k+1)求導數，得x1(0)(k+1)=-0.01*(4.39-5.51/0.04)e-0.01k=1.336e-0.01k

綜合以上兩式，得修正之后的模型為:

x(1)(k+1)=1.336e-0.01k-β(k-4)6.65e0.03806k

根據此模型，在預測點2008年以后的2年，地價增長率分別為5.87%,7.83%。

實際的地價增長率為5.05%，8.8%（2010年前三個季度）。預測結果可以接受。

4 結論

根據模型的預測結果，全國綜合地價增長率將在2012年超過10%，而事實上在2010年第3季度，商業用地地價增長率已經超過了10%。地價不可避免的增長趨勢無疑會傳導到房價。地價增長率數據是經濟系統各部門相互作用的結果，因此數據本身就能夠解釋自己和經濟系統?；诨疑碚摰腉M(1,1)預測模型預測了地價增長率，與現實擬合度較好。

[1] 鄧聚龍.灰色系統基本方法[M].武漢:華中科技大學出版社,1988,(40).

[2] 凌學文,李樹剛,任海峰.GM(1,1)模型在市場需求預測中的應用[J].西安科技學院學報,2003,(12).

[3] 鄭榮臻.企業商品交易價格指數的GM(1.1)預測模型[J].時代金融,2008,(7).