在學習功能關系時要關注的兩個關系

朱慶松

(揚州市邗江區公道中學,江蘇揚州 225119)

人類在認識能量的歷史過程中,建立了功的概念,因而功和能是兩個密切聯系的物理量.利用功能關系是解決物理問題的重要途徑之一.我們在學習功能關系時必須要理清兩個關系.

1 力做功多少與所選參考系的關系

由功的定義可知,力對物體所做的功等于力的大小,位移的大小,力與位移夾角的余弦這三者的乘積.力與參考系的選取無關,但位移與參考系的選取有關,選取不同的參考系,位移不同,因而力對物體做的功就不一樣.

例如,一物體在水平力F的作用下,沿力的方向在水平面上運動了一段位移s.如果選地面為參考系,F做的功為W=F?s,若選物體為參考系,則 F做的功為 W=0,如圖1所示.可見,一個力對物體是否做功,做功多少,取決于參考系的選取.為此,談力做功時,也必須指明參考系.

圖1

圖2

對一對相互作用力而言,其中一個力對物體做功多少雖與參考系的選取有關,但這對力做功的總和卻與參考系的選取無關.

例如,在光滑的水平桌面上,放一質量為 M的木板,一個質量為 m的木塊,以速度 v0在木板上滑動,如圖2所示.由于m、M間存在摩擦,當m在M上滑過s的距離時,M也在水平面上向前運動了L的距離.在此過程中,若以地面為參考系,則 M對m的摩擦力做功為W1=-f(s+L),m對M的摩擦力做功為W2=fL,總功 W=W1+W2=-fs;若以木板為參考系,則 M對m的摩擦力做功為W1′=-fs,m 對M 的摩擦力做功為 W2′=0,其總功 W′=W1′+W2′=-fs.與選地面為參考系的總功相同.

正是由于一對相互作用力做功的總和與參考系的選取無關,才為我們求解功能關系問題提供了方便.例如我們要研究一個系統的功能關系,如果系統內物體間無相對運動發生,那么無論系統內物體是否存在作用力(如彈力、靜摩擦力等),它們所做功的總和均為零,因而不用去考慮它們的做功情況;如果系統內物體間有相對運動發生,那么,系統內物體間的作用力所做功的總和不為零,但無論選什么物體為參考系,功的總和均等于作用力與兩物體的相對位移之乘積(注意:對于非保守力,如一對滑動摩擦力,這個功應為力與相對路程的乘積).

例1.如圖3所示,質量為M的水平木板靜止在光滑的水平地面上,板的左端放一質量為 m的鐵塊,現給鐵塊一水平向右的速度 v0,讓鐵塊開始運動,并與固定在木板另一端的輕彈簧相碰后返回,恰好又停在木板左端,求:

(1)整個過程中系統克服摩擦力做的功?

(2)若鐵塊與木板間的動摩擦因數為μ,則鐵塊對木板的相對位移的最大值是多少?

(3)系統的最大彈性勢能是多少?

圖3

解析:(1)系統在水平方向不受外力,因而動量守恒,由此可求得鐵塊滑到左端時系統的總動能.由動能定理可求得系統克服摩擦力做的功為

(2)由于整個運動過程摩擦力大小不變,因而鐵塊相對于木板位移最大時,克服摩擦力做的功,應為全程 Wf克的一半.設最大位移為 s,則

所以

(3)彈簧壓縮到最短時,木板、鐵塊的相對速度為零,此時彈簧壓縮的距離最大,彈性勢能也最大.系統的動能等于滑到左端時系統的動能,由能量守恒關系得,彈簧的最大勢能為

2 做功與能量轉化的關系

做功的過程就是能量的轉化過程,做了多少功就有多少能量發生了轉化.功是能量轉化的量度,學習中要明確,究竟是哪一個力對物體做了功,相應地物體的什么形式的能發生了轉化,轉化成了什么形式的能.

在高一階段,物理學中主要的功能關系有下列幾種:

(1)重力(或彈力)對物體做的功,等于重力勢能(或彈性勢能)增量的負值,即 W重=-ΔEp(或 W彈=-ΔEp).重力(或彈力)做正功,對應重力勢能(或彈性勢能)轉化為其他形式的能;重力(或彈力)做負功,對應其他形式的能轉化為重力勢能(或彈性勢能).

(2)合外力對物體所做的功,等于物體動能的增量,即W合=ΔEk(動能定理).合外力對物體做正功,對應其他形式的能轉化為物體的動能;合外力對物體做負功(或說物體克服合外力做功),對應物體的動能轉化為其他形式的能.

(3)除重力(或彈力)外,其他力對物體所做的功,等于物體機械能的增量,即 W其他=ΔE機(功能原理).其他力對物體做正功,對應其他形式的能轉化為機械能;其他力做負功,對應機械能轉化為其他形式的能.

(4)只有重力(或彈力)做功,而其他力做功之和為零,則物體的機械能不變,即ΔE機=0(機械能守恒),對應物體動能和重力勢能(或彈性勢能)的相互轉化.

(5)對相互作用力的做功情況:

①如果總和為零,說明相互作用的物體間無相對運動發生.這對力做功的結果,只是使機械能從一個物體轉移到另一個物體上,但系統的機械能不變,并沒有由于這對力做功而使系統的機械能與其他形式的能發生轉化.

②如果這對力做功的總和為正值,說明相互作用的兩物體間有相對運動發生.這對力做功的結果,除使一部分機械能從一個物體轉移到另一個物體上外,還有其他形式的能轉化為機械能(如炮彈炸裂、重核裂變等).

③如果這對力做功的總和為負值,說明相互作用的物體間也有相對運動發生.這對力做功的結果,除使一部分機械能從一個物體轉移到另一個物體上外,還有機械能轉化為其他形式的能.如一對滑動摩擦力做功,其總功為負值,大小為 W=-fs相對,做功的結果除使機械能在兩物體間轉移外,還有一部分轉化為內能(摩擦生熱).

例2.如圖4所示,傳送帶與水平地面間的傾角為θ=37°,從 A端到B端長度為s=16 m,傳送帶在電機帶動下始終以 v=10 m/s的速度逆時針運動,在傳送帶上 A端由靜止釋放一個質量為m=0.5 kg的可視為質點的小物體,它與傳送帶之間的動摩擦因數為μ=0.5,假設最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相同,g取10 m/s2,求:

(1)小物體從A到B所用的時間.

(2)在這段時間內不計輪軸處的摩擦,電動機消耗的能量是多少.

圖4

當速度達到10 m/s時,因物體受到的最大靜摩擦力f靜max=μ mgcosθ＜ mgsinθ,故物體繼 續向下加 速,則mgsinθ-f′=ma2,f′=μ mgcosθ,所以 a2=2 m/s2.

所以,小物體從A到B所用的時間為t=t1+t2=2 s.

(2)根據能量守恒,電動機消耗的能量和物體減少的重力勢能轉化成內能和物體的動能,有