基于卡爾曼濾波器的頻率源遠程校準技術研究

左建生，董 蓮，陸福敏，張樹生

（1.上海市計量測試技術研究院，上海 201203；2.中國計量學院機電學院，浙江 杭州 310018）

0 引 言

目前時間頻率源的遠距離校準成為研究的熱門問題，如何利用GPS共視法更好地實現遠距離的校準，數據處理和計算方法是提高精度關鍵步驟之一。GPS共視法就是在A、B兩地同時跟蹤同一顆衛星，在相同的時刻跟蹤相同的衛星，用相同的軟件處理方法處理數據，將兩地的GPSREF作為鐘差，從而得出A、B兩地的相對頻率偏差。但是在GPS接收機接收過程中，由于受到電離層、對流層、天線相位中心角、電纜、實驗室溫度環境[1]等一系列外在因素的影響，給校準結果帶來很大的誤差。如果直接根據做差擬合計算得出結果作為相對原子頻標頻率差，進而算出相對頻率漂移率和相對頻率準確度，會給實際結果帶來較大的影響。所以這就要求對鐘差數據進行濾波，盡量消除外在因素的影響。

目前國際上通常采用的是Vondrak濾波方法對鐘差數據進行濾波。該文在LabVIEW軟件平臺上實現了對鐘差數據的卡爾曼濾波，方法簡單易行，通過計算結果顯示濾波前與濾波后的曲線對比。結果表明，濾波后的曲線更平滑，結果更精確，更能接近實際結果。

1 基于鐘差數據的卡爾曼濾波模型

一般振蕩器的輸出信號可以描述為

式中：α——初始相位；

b——頻率偏移；

c——頻率老化系數；

ν（t）——原子鐘的噪聲[2-3]。

一般情況下，在太陽、大氣的擾動及接收機附近的強干擾影響下，來自GPS接收的鐘差比對數據中，由于GPS信號在傳輸過程中受電離層、對流層等的影響，鐘差數據是一個離散的數據序列，包含很強的噪聲，其allan方差可能是信號的幾倍甚至幾十倍，所以鐘差數據序列并不能真實反映實際性能指標。卡爾曼濾波（Kalman）算法是一個不斷預測和修正的過程，無需儲存大量的鐘差數據，當接收到新的觀測值時，它可以通過前一個采樣時間的估計值和觀測值來預測當前值。利用卡爾曼濾波選擇a、b、c 3個狀態建立常加速運動模型，假設狀態變量的概率近似服從均勻分布，用輸入為白噪聲的相關模型來表示。由于原子鐘差的運動特性，可以采用初始非零均值和修正瑞利分布的相關模型代替一般的濾波模型[4]，再進而對其離散。

離散動態系統[5-6]為

其中：

量測方程為

其中：

在共視比對系統中得到本地原子鐘間的鐘差REFGPS1，通過對異地接收機數據的可共視記錄的REFGPS2項作差，可得到含噪聲的鐘差數據序列。該連續數據序列中2個鐘差數據的時間間隔為一次全長共視的時間960 s[7]，其觀測量是含噪聲的鐘差數據，必須進行濾波處理才能提高比對精度。通過建立不變離散系統的狀態空間用式（2）和式（5）進行表述，確定初始狀態后，可進行遞推的方法得到狀態方程的解。假設在k時刻鐘差真實值用X（k）表示，其濾波值為X^（k/k）和X（k）的協方差矩陣為P（k/k），這樣濾波方程可表示如下：

Kalman濾波的狀態預測方程為

預測協方差矩陣為

量測預測值為

信息協方差矩陣為

增益矩陣為

狀態濾波值為

濾波協方差矩陣為

2 Kalman濾波器在LabVIEW中的實現

使用LabVIEW軟件設計的Kalman濾波器程序相對簡單、易懂[8]，既可實時觀測到讀取的鐘差數據序列，又可實時觀測到鐘差數據與濾波數據之間的對比。當鐘差數據偏差較大時，就用該時刻的Kalman濾波估計值來代替當前誤差較大的接收值[9-10]，從而給出更精確的相對頻率偏差、相對頻率漂移率、相對頻率穩定度以及相對頻率準確度等。

（1）從計算程序中讀取共星、共時情況下得到的鐘差數據序列。建立系統模型，對濾波參數進行設置。模型噪聲和觀測噪聲的協方差矩陣取值，應根據實際數據，進行嘗試比較[11]。經在程序中反復比較得出：當模型噪聲和觀測噪聲的協方差矩陣取值為 Q=[0.025]、R=[1]時，濾波效果是最好的，濾波值也是比較接近實際結果。

（2）對當前時刻的鐘差數據與濾波估計值進行比較，當鐘差數據偏差較大時，就用當前的濾波估計值來代替鐘差數值，這樣處理的數據更加準確。對濾波出來的數據再進行擬合計算，會得出更加準確的相對頻率漂移率。

（3）圖像顯示和數據保存，將原鐘差數據序列和對應的濾波估計值都顯示在圖像上，同時將數據保存到數據庫中。鐘差數據序列和濾波數據分別保存，方便校準方和被校準方查看數據、校準結果以及剔除的偏差數據。

圖1 卡爾曼濾波流程圖

Kalman濾波流程圖如圖1所示，程序設計如圖2所示。

圖2 卡爾曼濾波器程序

3 比對結果

2009年11月22日到12月22日的數據，與中國計量科學研究院進行了遠程氫原子校準的數據，用編的軟件對鐘差數據序列進行濾波，表1是部分原始鐘差數據序列濾波前與濾波后進行的對比。從表中1可以看到濾波后數據更加趨近實際值，剔除偏差較大的數據可以得到更加準確的鐘差數據，有利于得出更加準確的校準結果。

表1 濾波前后鐘差數據對比

在圖3中，虛線代表濾波前鐘差數據序列，實線為濾波后的鐘差數據序列。從圖3中，可以看到濾波之后的鐘差數據相對集中，波動不像原始鐘差數據那樣波動較大，從而使結果更加準確。

4 結束語

該文通過對卡爾曼濾波理論的深入研究，并結合時間頻率標準器在遠距離校準中存在的誤差問題，用LabVIEW軟件建立了Kalman濾波模型，通過對離散鐘差數據序列的處理和預測，更加準確地反應頻率源的性能。試驗數據表明，選擇參數合理，有效地降低了噪聲造成的誤差，從而提高了校準精度。

圖3 卡爾曼濾波圖

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