在數學教學中培養學生數學邏輯思維習慣

嚴亞娣

（中山市中等專業學校 廣東 中山528400）

在數學教學中培養學生數學邏輯思維習慣

嚴亞娣

（中山市中等專業學校 廣東 中山528400）

首先闡述了在職業中專培養學生數學邏輯思維能力的必要性，分析了數學知識講授與培養學生數學邏輯思維的關系。然后著重剖析了構建數學知識網絡對培養學生數學邏輯思維能力的作用以及激發學生的數學研究精神對培養學生數學邏輯思維習慣的意義。最后還討論了培養學生數學邏輯思維能力的教學心理和激勵機制。

數學；邏輯思維；能力；習慣；開拓創新

問題的緣起

學數學，部分中專學生容易陷入“現買現賣”的功利誤區，即希望學到或記住幾條數學公式，以便日后用來“代入”計算。這種學數學觀念的結果往往是對數學知識囫圇吞棗，浮光掠影，不求甚解，記不住，不會用，考試時勉強通過，考試后前功盡棄。這是任何一位數學教師都不愿見到的結果。

我們不要求學生都能成為某行業專家，但我們卻有責任讓每個中專生通過短短的幾年學習逐步成為創新的好手。創新，絕非標新立異，異想天開，更不能違反規律，主觀蠻行；創新，應是在嚴密的邏輯思維基礎上的開拓，在嚴密的科學精神指導下的變革。我們要培養創新型人才，首先就得培養學生的科學精神，培養他們的邏輯思維能力，培養他們學會分析事物，找到事物發展的客觀規律，再按規律進行開拓創新。創新是現代人一種不可或缺的素質。因此，學數學，絕不僅是學幾條數學公式、定理，以方便計算，更重要的是要通過對數學知識循序漸進的學習，逐步學會數學邏輯思維方法，形成邏輯思維習慣，并把這種思維方法用于日后的數學學習中，進而推廣到其他領域，作為創新的基礎。這種意義是遠遠超越于數學學習本身的。

數學知識是培養數學邏輯思維的載體

筆者認為，學習文化科學知識的目的不外是：擴大視野，開拓智力。無視野之擴大無以開拓智力，不開拓智力無以進一步擴大視野，前為載體，后為目的，相輔相成，不可分割，互為辯證統一體。因此，數學知識是培養數學邏輯思維的載體。也就是說，數學邏輯思維的培養必須通過學習數學知識，而學習數學知識的根本目的在于培養數學邏輯思維能力與習慣并反過來促進進一步學習數學知識。

知識與思維能力不能通過DNA得以遺傳。數學邏輯思維方法需要在循序漸進地學習數學的過程中不斷總結，才能逐步領悟、掌握和形成習慣。而數學邏輯思維模式形成后則不僅能促進對數學知識學習的深入，更可以開拓和發展新的數學知識。數學史上這種先例是不可勝數的。其中一個突出的例子是笛卡兒創立直角坐標系，把變量與變量的關系幾何化。后來的數學家們沿著笛卡兒這種邏輯思維的路子，把變量的關系研究得越來越深入細致，并開拓出了函數、解析幾何、微積分等數學分支，繼而又把這種邏輯思維方法推廣到諸如化學、物理、天文、地理、生物乃至經濟、社會各個領域，引來了人類文明的一次巨大飛躍。

學生必須在數學知識的學習中學會數學邏輯思維方法，逐步形成數學邏輯思維習慣，這樣才有可能成為創新型人才，這已是毋庸置疑的結論。為此，數學教師在教學中，除了要把數學知識傳授給學生外，還要對學生揭示在這些數學知識中隱含著的數學家們的邏輯思維方法，讓學生領悟、掌握、形成習慣、會運用。在講授數學概念、定理、公式時要這樣做，在解例題、習題時，更要引導學生通過分析，運用邏輯思維方法，找到問題解決的切入口，最后得到合乎邏輯的解法，并鼓勵學生在邏輯思維的基礎上，另辟蹊徑，創新解法。

如高中三角中角度單位弧度制的引進，一般只重視單位的定義、弧度制與度分秒單位制的換算等。教師不妨提出這樣的問題：為什么角度單位要用弧度制？其實，弧度制把角度變成了實數，那么，三角函數與角度之間的關系就變成了兩個實數集合的映射關系了。這才是采用弧度制的根本理由。

又如一道簡單的不等式題：

可見，小問題也可以寓于數學邏輯思維方法的應用中，這是我們在教學上不可忽視的。

構建數學知識網絡是培養學生數學邏輯思維能力的重要手段

現今數學課本中的內容，集中外古今數學家研究之大成。數學知識縱連成線，橫聯成面，形成一個嚴密的網絡體系，各知識點如同一個個網結點，彼此按一定的邏輯關系聯系著并不斷向外延伸。然而飯只能一口一口吃，課也只有一節一節上，分章分節使知識明晰化，條理化，但也容易割裂各知識點的邏輯聯系。每個孤立的知識點猶如一捧明珠，學生手掬時往往也有部分散落在地。教師有責任“在授珠的同時也給學生一根可以把珠子穿起來的紅線”。所以，數學教師不僅要把數學知識教給學生，還應引導學生構建數學知識網絡，以便讓學生牽一點而動全體，在數學領域縱橫捭闔，融會貫通。為了引導學生構建知識網絡，可以采用如下幾個辦法：

（一）在教學中注意數學知識點的縱向聯系

在單元講授的開始，先介紹本單元的知識線索，讓學生明確學什么，順序如何，要求怎樣，重點在哪。例如，函數是高中數學的重頭戲，不妨一開始就給出函數大單元的知識線索：函數的定義和表示（解析法、列表法、圖像法）→函數的性質（函數值、定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性、分段性等）→各初等函數（正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數）。重點在運用函數性質研究二次函數、指數函數、對數函數、三角函數及其圖像。

在講授某一數學定理、公式時，不能只要求學生“背熟、默出”，而要讓學生習慣于運用數學的邏輯思維，環環緊扣，步步說理，弄清公式定理的來龍去脈，即怎樣來，意義怎樣，如何應用，最后在理解的基礎上記憶、運用。

等比數列前n項和公式的推證用到了數列求和的一個重要方法——錯項差法，可引導學生推證。

經過推證，學生既清楚了公式的來源、意義，易于記憶結果，也從中學到了求數列前n項和的一種方法。

（二）在教學中，重視數學知識的橫向聯系

知識點的橫向聯系，是指數學不同單元知識間的聯系，即所謂綜合性。加強知識點的橫向聯系，是構建知識網絡的重要環節。

例如，在初等函數教學中，我們應讓學生做到把變量、函數、圖像、方程、不等式交織在一起，形成一個鮮明的網絡體系，這樣，將會收到使學生對數學融會貫通、運用自如的效果。

例如一道簡單的不等式題：x2-2x-3＞0，求解。

設變量x，y，建立函數y=x2-2x-3

求二次方程x2-2x-3=0的判別式Δ=（-2）2-4·1·（-3）=16＞0

求二次方程x2-2x-3=0的根x1=-1，x2=3

畫出y=x2-2x-3的函數圖像（圖略）

原不等式x2-2x-3＞0，即y＞0，圖像在x軸上方部分對應的x的范圍，即為不等式x2-2x-3＞0的解集。

由此，直接寫出原不等式的解集為{x|x＜-1或x＞3}。

（三）注重知識的歸納與對比

人類智慧的提升，文明的發展，不在于單純的勞動，而在于勞動實踐后的反思和總結，以及在反思和總結基礎上的開拓。學習一個單元，一個知識點，乃至做一道數學題后，教師都要引導學生進行歸納與總結，讓學生形成習慣。歸納，就是要整理知識，整理思路，整理方法，強化思維的邏輯性。除用提綱式歸納外，可以在必要時應用表格。例如把圓錐曲線（包括橢圓、雙曲線、拋物線）的標準方程、幾何參數、圖像等編列成表格是常用的歸納方法。其他數學知識，也可以做一些嘗試。

另一個行之有效的方法就是對比。對比，也就是把兩種相關聯的數學知識的異同點進行比較，借以明晰概念，區分思路，鞏固記憶。筆者曾嘗試把“指數函數性質”與“對數函數性質”對比授課，也曾嘗試把“圖形法”與“坐標法”對比進行向量單元的教學，均收到效率高、學生掌握好的效果。

（四）有意識地引導學生逐步學會數學知識總結

知識總結，開始不妨由教師做，逐步引導學生自行總結，再放手讓學生自己做。學生一旦形成了總結習慣，是終身受用的。

努力激發學生數學研究精神是培養學生數學邏輯思維習慣的關鍵

諸如前述，邏輯思維能力是一種素質，是成為創新型人才的基礎。數學研究精神，也就是要多思，從多種角度去思考，分析和解決數學問題，并在這基礎上生發、開拓、創新，形成數學邏輯思維習慣。不可諱言，中專學生比較缺乏數學研究精神。功利性地學數學固然不能培養數學邏輯思維能力；題海戰術使學生忙于應付，結果是懂的重復做，不懂的仍不懂，也難以引發學生的數學研究精神。有時，精選的少量簡單數學題，引導學生多角度分析，一題多解，多變，解題后反思和總結，卻是引發學生研究精神、形成數學邏輯思維習慣的有效手段。

比如簡單的參數不等式ax+b＞0（a，b∈R），求關于x的解集。

這是沒有研究參數a，b的正、負、0所致。

正確解法是：ax+b＞0，由同解性質知ax＞-b成立接著要引導學生討論a和b

當a=0時，即0x＞-b，左邊必恒為0

當b＞0時，0＞負數，x∈R

當b≤0時，0＞正數，或0＞0，x∈?

可設置思考題：可否用圖像法解？如何解？

且A∩C≠?，B∩C=?，求實數a的值

本題的邏輯思維路線應是：

1.解出A，B：

2.利用交集條件求C的部分元素

3.把x=3代入C求a

至此好像解完了，但漏去了檢查結果是否符合條件，故有：

4.把a代回C檢驗

不符合條件B∩C=?，故舍去

符合題設條件，綜上得a=-2。

培養學生的數學邏輯思維習慣的教學心理和激勵機制

培養學生的數學邏輯思維習慣是一項系統工程，除上述方面外，還需從學生的數學學習心理著手，適當設置使學生自覺養成數學邏輯思維習慣的激勵機制。為此，在教學上應做到：

（一）循序漸進，復舊引新，化繁為簡，化難為易，化抽象為具體，使學生易切入，明其理，可操作

學習，首先要有興趣，有了興趣，才能有注意，才能產生求知欲與學習的熱情。中專學生學數學的最大障礙在于對數學的“畏難”心理。上述做法正是針對這種心理的重要方法。破除了“畏難”心理障礙，學生對數學發生了興趣，進而才會“樂學”數學。

課本的內容，經過專家的審定，已是十分嚴密。然而教師的教學是一種再創造，教師應從具體學習者的實際出發，在大綱及教材統制下，合理調整教學方法，以使所教內容為學生易懂、會用。

例如，現行中等職業教育《數學》（基礎模塊）中，對函數是這樣定義的：“在某一變化過程中有兩個變量x和y，設變量的取值范圍為數集D，如對于D內的每一個x值，按照某個對應法則f，y都有唯一確定的值與它對應，那么，把x叫做自變量，把y叫做x的函數，數集D叫做函數的定義域”。

這定義對于沒有介紹“映射”概念的教材系統來說，應該說是完整與嚴密的。但從學生角度去想，這樣的定義不易學，不易懂，不易記，更不好操作。教師很有必要把它分解開來，再讓學生在理解的基礎上記憶。筆者認為可作如下分解：（1）函數是兩個變量間的關系，即變量x通過某種變換f變換為變量y，記作（2）當變量x取某一可能數值時，變量y有且僅有一個數值與之對應 （即在直角坐標上有且僅有一個對應點）；（3）x稱為自變量，y稱為x的函數，記作y=f（x）；（4）y=f（x）的具體解析式稱為函數解析式或函數方程式；（5）當x取某一可能數值x=a時，對應的y值 （可從代入具體函數式中求出）稱為x=a時的函數值，記作：y=f（a）；（6）使函數式有意義的自變量x的取值范圍稱為函數的定義域；（7）在函數的定義域范圍內，函數y的取值范圍稱為函數的值域；（8）函數的定義域與值域可用區間符號表示。

在以上各點中穿插適當的例子，再回頭讀課本的定義，學生就明白易懂了。

（二）精選例題、習題

一題多變，逐步引導，由淺至深，由單一到綜合要精選例題、習題，掌握好“習題有一定思考性又是大多數學生可解的”這個分寸，讓學生有學習的成就感。不要追求高深難題，也不要用題海壓迫學生學習。

（三）做好經常性的總結

一單元、一節課授畢要總結，一題解完也要梳理思路，對比正誤，明晰方法，讓學生有法可依，有路可循，有念可懸，有境可拓。

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G710

A

1672-5727（2011）11-0106-03

嚴亞娣（1961—），女，湖北武漢人，中山市中等專業學校教師，中學高級教師，研究方向為中職數學教學。