渡槽模型實(shí)測(cè)模態(tài)合成的研究＊

李正農(nóng)，盧 劍，朱旭鵬，李繼孟，張盼盼

（1.湖南大學(xué) 建筑安全與節(jié)能教育部重點(diǎn)試驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410082；2.云南省設(shè)計(jì)院，云南 昆明 650032）

模態(tài)綜合技術(shù)又稱為子結(jié)構(gòu)法[1－3]，其基本思想是通過(guò)將結(jié)構(gòu)劃分為若干相對(duì)較小的子結(jié)構(gòu)，先分析子結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，然后將各子結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)通過(guò)界面協(xié)調(diào)條件合成為總體結(jié)構(gòu)的模態(tài)[4－5]，從而減少計(jì)算量.

在實(shí)際的工程中，很多結(jié)構(gòu)都具有對(duì)稱性，其振動(dòng)形式也具有對(duì)稱的性質(zhì)，在進(jìn)行模態(tài)實(shí)測(cè)及分析的時(shí)候，可以利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性來(lái)減少工作量以及工作成本[6].

本文利用結(jié)構(gòu)對(duì)稱性推導(dǎo)得出了一個(gè)簡(jiǎn)單易行的模態(tài)組合方法，即模態(tài)調(diào)整系數(shù)法.

1 模態(tài)分析的數(shù)學(xué)模型

將結(jié)構(gòu)離散化為若干自由度后，在物理坐標(biāo)系統(tǒng)中，N個(gè)自由度系統(tǒng)的方程為：

式（2）中α和β為比例常數(shù)，[C]稱為比例阻尼，[M]為質(zhì)量矩陣，[K]為剛度矩陣.進(jìn)行相同的變換，得：

式中 ｛φr｝為由 [M]｛｝＋[K]｛x｝＝0所確定的第r階 模態(tài)振型.將式（3）代入式（1）得：

式（4）左乘以 ｛φs｝T，并考慮到

cs可稱為模態(tài)阻尼系數(shù).于是式（4）變?yōu)椋?/p>

令f（t）＝ ｛F｝ejωt，則qs＝Qsejωt，代入式（5）

可以看出Qs相當(dāng)于一個(gè)質(zhì)量、剛度和阻尼分別為ms，ks，cs的單自由度系統(tǒng)在模態(tài)力Ps＝｛φs｝T｛F｝作用下的響應(yīng).

根據(jù)式（3），不考慮起始條件，可得位移響應(yīng)為：

式（7）即為具有比例阻尼的系統(tǒng)進(jìn)行響應(yīng)計(jì)算的模態(tài)模型.

2 組合系統(tǒng)的頻響特性的分析

圖1所示，兩部件系統(tǒng)在F1作用下在1點(diǎn)產(chǎn)生的位移為X1，連接點(diǎn)位2的位移為X2.

取分離體后，連接處的作用分別以力FⅠ2及FⅡ2來(lái)代替.對(duì)于部件Ⅰ，可得：

對(duì)于部件Ⅱ，可得：

在連接點(diǎn)，若以位移的方向?yàn)閰⒖挤较颍瑒t有：

于是由式（11）～（13）可得：

圖1 兩部件系統(tǒng)Fig.1 Two components system

式（11）的方程組共有3個(gè)方程，求解3個(gè)未知數(shù)，因此有唯一解.

3 兩部件系統(tǒng)振型組合推導(dǎo)

模態(tài)分析的一種方法是通過(guò)找出激勵(lì)點(diǎn)與各個(gè)測(cè)點(diǎn)之間的“頻響函數(shù)”（也叫傳函數(shù)），建立頻響函數(shù)矩陣來(lái)進(jìn)行分析.傳函數(shù)定義為：

其中H為傳函數(shù)，X為響應(yīng)，F(xiàn)為激勵(lì)力.式（12）即定義為i，j之間的傳函數(shù).其物理意義為：在j點(diǎn)作用單位力時(shí)，在i點(diǎn)所引起的響應(yīng).

在模態(tài)分析中假定系統(tǒng)是線性的.對(duì)于一個(gè)N自由度的線性系統(tǒng)，其位移響應(yīng)可以看成各階模態(tài)響應(yīng)的線性疊加，那么其傳函數(shù)同樣是展成N個(gè)單自由度系統(tǒng)的傳函數(shù)線性疊加，即：

其中kr，mr，cr，φr分別為第r階模態(tài)剛度、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)振型.從式（13）抽取任意一行和任一列為：

從式（14）和式（15）可見，位移傳函數(shù)矩陣[H]是對(duì)稱的，它的任一行或任一列均包含所有模態(tài)參數(shù)，而該行的第r階模態(tài)的傳函數(shù)值之比值，即為第r階模態(tài)振型.這一結(jié)論告訴我們，如果在結(jié)構(gòu)上的某一固定點(diǎn)第i點(diǎn)拾振，而輪流地激勵(lì)所有的點(diǎn)，即可求得傳函數(shù)矩陣的一行；如果在某一固定點(diǎn)第j點(diǎn)激振、而在其他各點(diǎn)拾振，即可求得傳函數(shù)矩陣的一列.兩種方法均可用來(lái)獲取傳函數(shù)[7].

下面以傳函數(shù)的任一列為例，[H]中的任一列包含全部模態(tài)參數(shù)，而該列的r階模態(tài)的傳函數(shù)之比值，即為r階模態(tài)振型.令代入式（15）整理得：

本文以一個(gè)5自由度系統(tǒng)為例（如圖2所示），推導(dǎo)兩部件系統(tǒng)的振型組合關(guān)系.5自由度系統(tǒng)分為兩個(gè)部件進(jìn)行實(shí)驗(yàn).第一部分為1，2，3三點(diǎn)所組成的部件Ⅰ，第二部分為由3，4，5三點(diǎn)所組成的部件Ⅱ，其中3點(diǎn)為兩個(gè)部件所共有的點(diǎn).假設(shè)部件Ⅰ以1點(diǎn)為參考點(diǎn)，部件Ⅱ以3點(diǎn)為參考點(diǎn)，整個(gè)系統(tǒng)的傳函數(shù)矩陣為：

其中每行和每列都包含有系統(tǒng)的全部模態(tài)信息，而且矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣，所以部件Ⅰ實(shí)驗(yàn)得到的是部件Ⅱ所得到的傳函數(shù)為如果想要得到系統(tǒng)的整體模態(tài)振型的話，就要得到傳函數(shù)矩陣的一行或者一列.根據(jù)式（12）的含義可知以上兩個(gè)部件所得到的傳函數(shù)是有關(guān)系的：

由式（18）～（20）可解得：

同理

由此可得到傳函數(shù)矩陣的一行，這樣也就得到了整個(gè)系統(tǒng)要分析模態(tài)的全部信息.

圖2 五自由度系統(tǒng)Fig.2 Five DOF system

對(duì)兩個(gè)部件分別進(jìn)行模態(tài)測(cè)試后，得到部件Ⅰ的振型為 [φ1Ⅰφ2Ⅰφ3Ⅰ]T，部件Ⅱ兩點(diǎn)的振型為[φ3Ⅱφ4Ⅱφ5Ⅱ]T.由于選擇的參考點(diǎn)不一樣.由式（16），（21），（22）得：

式中k＝rHⅡ33／rHⅠ31，φ為振型系數(shù)，r為第r階模態(tài).式（23）即為兩部件系統(tǒng)振型組合的推導(dǎo)公式，其意義可以從兩方面來(lái)解釋.第一，以其中一個(gè)部件的振型為基礎(chǔ)，另外一個(gè)部件的振型系數(shù)乘以系數(shù)k以后相組合就能得到系統(tǒng)的整體振型.第二，由于部件Ⅰ和部件Ⅱ有共同測(cè)點(diǎn)3，乘以系數(shù)k后能使兩個(gè)部件在3點(diǎn)的振型系數(shù)相同，滿足變形的協(xié)調(diào)條件，所以在分別知道兩個(gè)部件的振型之后，利用變形協(xié)調(diào)條件把某個(gè)部件乘以系數(shù)k后能得到整體振型.

4 實(shí) 例

4.1 模態(tài)實(shí)測(cè)概況

以一個(gè)樁－槽墩系統(tǒng)的模態(tài)實(shí)測(cè)及模態(tài)合成為例說(shuō)明本文的方法.具體的模型見圖3，其下部采用4根鋼管樁，鋼管內(nèi)徑147mm，鋼管樁的編號(hào)見圖6.4根樁采用重錘打入土中，在打入圖中前在①②兩根樁中分別貼有24個(gè)應(yīng)變片，③④樁中分別裝有13個(gè)土壓力計(jì).樁中線路錯(cuò)綜復(fù)雜，布置加速度傳感器的難度很大，而且可能對(duì)線路造成不可逆轉(zhuǎn)的損壞.所以為了完成實(shí)驗(yàn)，并對(duì)應(yīng)變片的損傷降到最低，本次實(shí)測(cè)只對(duì)一根樁進(jìn)行了模態(tài)測(cè)試，然后根據(jù)前面推導(dǎo)的理論把他還原成樁－槽墩整體模型，得到其整體自振特性.

圖3 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig.3 Test model

4.2 模型建立及模態(tài)分析

具體進(jìn)行了兩項(xiàng)實(shí)測(cè)，即上部結(jié)構(gòu)模態(tài)實(shí)測(cè)及樁的模態(tài)實(shí)測(cè).系統(tǒng)總體使用笛卡爾全局坐標(biāo)系.考慮結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性及樁模態(tài)存在軸對(duì)稱或點(diǎn)對(duì)稱，僅對(duì)一根樁進(jìn)行了測(cè)試，以減小實(shí)測(cè)的難度和工作量.其測(cè)點(diǎn)布置分別見圖4、圖5.組合以后的樁－槽墩整體模型見圖6.

圖4 樁測(cè)點(diǎn)布置Fig.4 The sensor arrangement of the pile

本文采用峰值法（PP）估計(jì)頻率[8]，并采取平均技術(shù)[9]處理試驗(yàn)數(shù)據(jù).模態(tài)測(cè)試采用武漢優(yōu)泰電子技術(shù)有限公司生產(chǎn)的UT3308動(dòng)態(tài)測(cè)試系統(tǒng)完成，模態(tài)參數(shù)的分析及識(shí)別由優(yōu)泰結(jié)構(gòu)與機(jī)械模態(tài)分析軟件完成.模態(tài)擬合方法采用頻域法中的實(shí)模態(tài)多自由度整體擬合方法.

圖5 上部結(jié)構(gòu)測(cè)點(diǎn)布置Fig.5 The sensor arrangement of the upper structure

圖6 樁－槽墩模型Fig.6 The pile－pier modal

4.3 實(shí)測(cè)結(jié)果

由于模態(tài)實(shí)測(cè)是分樁和上部結(jié)構(gòu)兩部分進(jìn)行的，而且僅對(duì)其中一根樁進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，故在進(jìn)行整體模態(tài)分析時(shí)，分別建立單樁模型，槽墩模型以及樁－槽墩整體模型，見圖4、圖5及圖6.單樁模型以及槽墩模型模態(tài)圖見圖7和圖8.而對(duì)于樁－槽墩模型，先把相應(yīng)的傳函數(shù)賦予各個(gè)測(cè)點(diǎn)，由于對(duì)稱性4根樁的傳函數(shù)都是一樣的，全為樁①的復(fù)制.對(duì)其識(shí)別出頻率以及相應(yīng)的振型之后，由于模態(tài)實(shí)驗(yàn)時(shí)樁與槽墩所選擇的參考點(diǎn)不同，要把這兩者模態(tài)統(tǒng)一起來(lái)，可以根據(jù)本文推導(dǎo)出來(lái)的理論，把單根樁的模態(tài)振型系數(shù)統(tǒng)一乘以系數(shù)k后振型組合，得到整體振型.具體結(jié)果見圖9.

樁的振型調(diào)整系數(shù)k見表1，單樁槽墩的實(shí)測(cè)頻率、組合后的整體結(jié)構(gòu)模態(tài)的頻率及有限元模態(tài)計(jì)算結(jié)果見表2.從表2可以看出在系統(tǒng)的自振頻率上試驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果基本一致.

圖7 樁模態(tài)圖Fig.7 Mode of pile

圖8 槽墩模態(tài)圖Fig.8 Mode of pier

圖9 樁－槽墩模態(tài)圖Fig.9 Mode of pile－pier

表1 振型調(diào)整系數(shù)kTab.1 Modal adjustment coefficientk

表2 樁與槽墩的自振頻率及組合后的頻率Tab.2 Natural frequency of the pile and pier and the combination structure Hz

5 結(jié) 論

通過(guò)以上的分析，可得到以下結(jié)論：

1）推導(dǎo)出了兩部件系統(tǒng)振型組合的簡(jiǎn)化理論，并將此理論應(yīng)用于具體的實(shí)測(cè)模態(tài)組合.

2）利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，簡(jiǎn)化模態(tài)測(cè)試的過(guò)程，減少了實(shí)測(cè)工作量及成本.

3）通過(guò)實(shí)測(cè)獲得了樁和槽墩各自的自振頻率和振型，進(jìn)而組合獲得了樁－槽墩系統(tǒng)的總體模態(tài)，并進(jìn)行了有限元計(jì)算理論，兩者基本吻合.

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