數學課程中應用意識的強化

河南省鄭州市商業技師學院 王曉紅

數學課程中應用意識的強化

河南省鄭州市商業技師學院 王曉紅

數學課程改革的思路之一就是數學課程應強化應用意識，允許非形式化，這是改革數學課程的關鍵之處。

一、數學課程中應用意識的發展現狀

事實上，數學課程中強化數學的應用意識早已成為發達國家的共識，而我國目前數學課程中數學應用意識十分淡薄，與世界數學課程發展的潮流極不合拍。面對新世紀的挑戰，重建的數學課程應該注意將民族的數學應用成果及時納入教育內容。在課程中及時增加反映在社會發展中的應用知識，并研究培養學生應用能力的對策，從而達到數學課程改革與社會進步相一致。數學課程中強化“應用”既是一個復雜問題，又是一個長期未能解決好的問題。“應用”在數學教育中有許多解釋，有些人為的非現實生活的例子，也可能有重要的教育價值，也可以培養學生應用數學的技能，不能一概否定。還有一類傳統的例子是過分“現實”的，如直接從職業中拿出來的簿記、稅收；聯系特殊地方工業的“三機一泵”。這就有一個“誰的現實”問題，這些例子只是社會的一些特殊需要，不足取。數學的重要性主要不在于這樣的“應用”，它不可能總是結合學生的“現實”。正如卡爾松（Carson）所言：“現實是主體和時間的函數，對我是現實的，對別人未必是現實的；在我兒時是現實的，現在不一定再是現實的了。”

前面說的都是“現實”例子用來為數學教學服務，當數學用來為現實服務時，即應用數學解決問題時，情況就完全不同了，它是用數學去描述、理解和解決學生熟悉的現實問題。這種問題不僅有社會意義，而且不局限于單一的教學，還要用到學生多方面的知識，在這方面英國數學課程設計中的課程交叉值得學習借鑒。所謂課程交叉就是在某學科教學過程中，突出該學科與現實生活以及其他學科的聯系。英國的數學課程交叉主要表現為：從現實生活題材中引入數學；加強數學與其他科目的聯系；打破傳統格局和學制限制，允許在數學課程中研究與數學有關的其他問題等。

二、數學課程中應用意識的落實

數學課程中強化“應用”意識。即在教材、教學、考試等方面增加應用數學的意識。具體可分為如下三個層次。

1. 用結論、用數學的現成公式，這是最低層次，人們最容易看到的地方。

2. 用方法，如方程的方法、圖表的方法、分析與綜合邏輯推理的方法等。

3. 用思想研討問題的一般過程，觀察、分析、試驗；從需要與可能兩個方面考慮問題；逐步逼近；分類與歸一；找特點、抓關鍵；從定性到定量等。通過用數學，學生才能理解知識、掌握知識；通過用數學，才能訓練學生的思維。

值得注意的是，與課程中強化數學的應用意識相關的一個問題就是允許非形式化。首先，應恰當掌握數學理論形式化的水平，加強對理論實質的闡述。筆者非常贊同“允許非形式化”的觀點，“不要把生動活潑的觀念淹沒在形式演繹的海洋里”，“非形式化的數學也是數學”。數學課程要從實際出發，從問題出發，開展知識的講述，最后落實到應用。例如，極限概念可以在小學圓面積公式、初中平面幾何中圓周率的近似值的求法、高中代數等比數列求和等處逐步孕伏，在學微積分時正式引入，只要不在形式化上過分要求，學生是不難接受并能加以運用的。其次，應恰當掌握對公式推導、恒等變形及計算的要求。隨著計算機的普及，21世紀對手工計算的要求大大降低。從增強用數學的意識講，也應降低對公式推導與恒等變形的要求，否則沒有時間來講應用。要充分利用幾何直觀、形象地加以說明，否則應用的重點難以突出，生動活潑的思維會淹沒在繁難的計算和公式推導中，增強用數學的意識就會落空，學生思維水平也不會提高，新內容的引入將障礙重重。

三、數學建模在數學課程中的應用

在此，筆者要強調的是，要使數學課程中應用意識的增強落到實處，一個重要的舉措就是數學課程應對數學建模給予極大的關注。數學模型是為了一定目的對現實原型作抽象、簡化后所得的數學結構，它是使用數學符號、數學式子以及數量關系對現實原型簡化的本質的描述。而對現實事物具體進行構造數學模型的過程被稱為數學建模。也就是說，數學建模一般應理解為問題解決的一個側面、一個類型。它解決的是一些非常實際的問題，要求學生能把實際問題歸納（或抽象）成數學模型（諸如方程、不等式等）加以解決。從數學的角度出發，數學建模是對所需研究的問題作一個模擬，舍去無關因素，保留其數學關系以形成某種數學結構。從更廣泛的意義上講，建模則是一種技術、一種方法、一種觀念。

數學課程內容應是數學科學內容的“教育投影”，數學應用范圍的不斷擴大，迫切要求數學課程作出反應。人們發現，這些應用都有一個共同點，就是把非數學問題抽象成數學問題，借助于數學方法獲得解決。因此，數學模型作為一門課程首先在一些大學數學系里被提倡。后來，人們又發現，傳統的中小學數學課本中的應用僅僅是把日常生活中的經濟、商業、貿易和手工業中的問題用一定程序表達，內容只涉及計數、四則運算和測量等，這種應用無論是方式還是內容，與數學在現實生活中的應用相比，相差甚遠。于是數學建模作為一種教學方式在中小學受到重視，讓學生通過“做數學”達到“學數學”的目的。

目前從世界范圍來看，各國課程標準都要求在各年級水平或多或少地含有數學建模內容，但各國的具體做法又存在著很大差異，主要有以下幾種：兩分法，多分法，混合法，課程內并入法，課程間并入法。

上述做法孰優孰劣，一般很難直接評判，只能據不同的情況采取不同的做法。現在有一種愿望：在中小學引進跨學科的、以社會為基礎的設計工作，在這種設計工作中，學生會看到數學如何才能夠應用到真正的“現實生活”問題上去，并且可望獲得進一步學習的動力。實際上關于數學建模的學習包括了各種水平的活動，現在有必要研究許多模型，明確“數學模型化”的確切意圖。20世紀的一個重大挑戰不僅是提供在學校能夠學的應用的實例，而且是更深入地研究各種類型應用的教育目的和正確性，所以學生如何應用數學必定是21世紀數學課程要解決的一個主要問題。