斜拉橋穩定性分析的主梁有限元模型探討

黃智華，鄧平躍，張大偉，張 鵬

(1.上海浦東建筑設計研究院有限公司，上海201204;2.西南交通大學 土木工程學院，四川成都 610031)

隨著斜拉橋跨度的不斷增大，穩定安全性越來越突出。預應力混凝土斜拉橋大量采用懸臂施工，充分利用了斜拉索的豎向分力，使得斜拉橋的主梁彎矩減小，可以做得較為纖細。但是由于主梁和塔都承受較大的壓力，因此有必要對其施工階段進行穩定分析。

針對重慶地維長江公路大橋，在施工到最大雙懸臂時結構的整體穩定性進行分析。該橋跨徑組合為141 m+345 m+141 m，雙塔雙索面漂浮體系預應力混凝土斜拉橋。主梁采用雙主肋結構形式，梁高1.9 m，寬為15 m，如圖1。橫隔板間距一般為8 m。索塔采用墩塔固接型式，斜拉索在主梁上錨固于梁肋中間。本文取該最大雙選臂狀態分析。這時，兩個懸臂長度均為107 m，塔中橫梁有臨時支座支承主梁梁肋。

圖1 主梁截面Fig.1 Sectional view of the main girder

結構問題的研究現在主要分為3種方法，即傳統的理論分析、結構實驗、及計算力學 方法。有限元作為一種計算力學方法，已經在結構計算中取得了很大的成功。筆者應用有限元軟件ANSYS計算結構的特征值穩定安全系數。在結構達到隨遇平衡狀態時，節點位移矩陣由{δ}變為{δ}+{Δδ}，結構平衡方程也能滿足，這時有［1］:

式中:［KD］為結構總體彈性剛度矩陣;［KG］為結構總體幾何剛度矩陣;λ為結構穩定安全系數。

這就是結構穩定計算的安全系數的特征方程式。分析該方程，λ與［KD］和［KG］有關。［KG］除了與構件幾何特征有關外，還與初始軸力N有關，也就是與結構受力有關。［KD］就只與結構剛度有關。因此，在有限元計算中，如何模擬好結構的剛度，是至關重要的問題。筆者通過考察結構在荷載作用下的特征值計算結果，來分析模型對于其剛度的模擬特點。工程問題一般考慮結構的最低階的特征值才有意義，同時由于在某種荷載作用下，容易激發結構某種剛度弱點而先發生相應屈曲。因此為了討論問題方便和有針對性，選取相同荷載作用下，各主要屈曲形態的最低階特征值作為分析對象。這些主要屈曲形態包括主塔1階屈曲，主梁1階豎向彎曲屈曲，主梁1階扭轉屈曲。特別是后面2種模態，與主梁剛度密切相關，因此作為重點考察對象。

1 有限元模型

斜拉橋主梁受到斜拉索的彈性支撐，為了模擬好其剛度已經與斜拉索的連接，一般雙索面斜拉橋的主梁梁單元模型主要有單主梁模型、雙主梁模型、三主梁模型等［2］。還可以采用更為精確的板殼單元或實體單元模型。實體單元比簡化的梁單元模型更符合實際情況，但是，這種模型由于單元數量大，特別是在進行非線性分析時，由于過于消耗機時使得求解變得困難。而使用簡化的梁單元模型則能克服這一困難。因此有必要研究使用何種簡化模型更能符合結構特性。

對于地維長江大橋的最大雙懸臂狀態，主塔采用梁單元beam188，該單元建立在Timoshenko梁理論上，考慮了剪切變形，為包括3個平動和3個轉動自由度的三維有限應變不帶中間節點的梁單元。斜拉索采用只能受拉不能受壓的link10單元。陳幼平，等［2］指出，主梁可以離散為單主梁帶剛性短懸臂的魚骨式模型，雙主梁模型，用剛性橫梁或實際的橫梁連接。在斜拉橋穩定分析中，由于結構的穩定性與結構的剛度密切相關。對于主塔和斜索，模型不變，對于主梁通過選取幾種不同的模型，比較其特征值屈曲分析結果，即可得出各自剛度模擬的特點。為了使結果便于比較，取重力荷載為實際的16.2倍，這樣，特征值穩定安全系數即為得出的結果乘以16.2

1.1 實體單元模型

為了較為準確的模擬結構的剛度，采用實體單元最好分析結構的穩定性，在ANSYS里，選用帶中間節點的solid92四面體單元。該單元有10個節點，每個節點有3個方向的平動自由度。由于是四面體單元，能適應形狀不太規則網格的劃分。帶中間節點的單元，由于內部應力不是常量，因此可以較好的適應結構的變化的應力場，用比較少的單元就可以獲得較好的成果，但是卻帶來計算時間的增加［3］。為了獲得精度和計算時間的協調，劃分了91 000多個單元進行計算。這時結構的單元劃分見圖2。

圖2 主梁采用實體單元時的結構有限元Fig.2 Unit structure of main beam with solid finite element

圖3 1階面內彎曲失穩Fig.3 Plane bending instability of first-tread main beam

經過求解，得出其特征值見表1，其中塔和主梁的1階特征值分別為1.08和3.79。分別對應塔的面內屈曲和主梁面內屈曲(圖3)，主梁扭轉屈曲時1階特征值為4.76(圖4)。

圖4 主梁1階扭轉失穩Fig.4 Instability with the first-tread main beam torsion

表1 實體單元特征值計算結果Tab.1 Calculation results of eigenvalue of solid elements

1.2 單主梁模型

單主梁模型是用位于扭轉中心的空間梁單元模擬，將主梁的抗彎、抗扭剛度都集中在這組梁單元上，主梁和斜拉索的聯系通過主梁伸出的準剛性梁單元的連接來模擬，即為俗稱的“魚骨”模型［2］。項海帆［4］認為這種模型適合于扭轉剛度較大的閉口箱梁斷面。但在實際中，很多開口截面也采用這種模型，例如，Wilson，等［5］研究的雙主肋截面采用的也是這種模型，由于約束扭轉等原因，扭轉剛度較難模擬。筆者采用beam188單元，帶翹曲自由度，包括3個平動和3個轉動在內，一共7個自由度，且帶中間節點。利用剛度很大的單元來模擬伸出的剛臂。計算結果見表2。

表2 單主梁模型特征值計算結果Tab.2 Calculation results of single-girder model eigenvalue

與實體單元計算結果相比，其大部分特征值結果的特點相似，因此限于篇幅，僅列出主要考察的屈曲模態。塔屈曲1階特征值相差極小，主梁屈曲1階特征值為4.22，比實體單元計算結果大11.3%，扭轉1階特征值為8.60，比實體單元計算結果大81%。這表明，對于主梁的豎向剛度，單主梁模型的豎向剛度比實際略大，但在工程上仍能滿足要求，對于主梁的扭轉剛度，則模擬得過大。

另外，該模型還存在一個特征值為1.28的梁側向擺動，兩塔柱反向縱向彎曲的屈曲模態。這個是較為特殊的，因此選用該模型應較為謹慎，出現這種模態是不正常的。

1.3 雙主梁模型，橫向剛性連接

雙主梁模型，將主梁截面的剛度平均分配在兩縱梁上，對于本文的雙主肋主梁，一般較為合適［6］，Nazmy，等［7-8］成功的將該模型應用到大跨斜拉橋的非線性地震反應分析中。但是這種模型主要問題在于兩縱梁橫向連接的模擬，一般有2種方式模擬，即剛性橫梁或實際橫梁連接［2］。對于這2種方式，分別做了有限元模型。

和單主梁模型一樣，采用帶翹曲自由度和中間節點的beam188單元模擬。對于其橫向剛性連接，和單主梁一樣，采用剛度極大的單元模擬。

計算結果列于表3，由于結果和實體單元基本上相似，僅列出主要模態的。可以看出，除了沒有單主梁模型多出來的梁塔側彎模態外，其屈曲模態和特征值和單主梁模型很相近。和實體單元比較，主要屈曲模態是一樣的，就不再列出其圖。塔面內彎特征值相差極小，主梁1階面內彎特征值偏大5%，在工程許可的范圍內，主梁1階扭轉特征值偏大76.7%，表明和單主梁模型一樣，扭轉剛度模擬過大。

表3 雙主梁剛性橫梁特征值計算結果Tab.3 Calculation results of double-girder rigid beam eigenvalue

1.4 雙主梁模型，實際橫梁連接

將橫梁剛度改為實際的，即采用橫隔板剛度，這時的計算結果大不相同(表4)。塔面內和梁面內彎兩種屈曲模態和實體元相比，相差很小。但是，其彎扭屈曲特征值太小，說明用實際橫梁連接，對于扭轉剛度模擬是錯誤的，比實際情況小了很多。從模型上理解，原來是橋面和橫隔板共同形成橫向連接剛度，但是采用雙主梁，忽略了橋面板提供的橫向剛度，但是這項剛度非常大，因此這種連接方式不可取。

表4 雙主梁實際橫梁特征值計算結果Tab.4 Calculation results of the beam eigenvalue of double-girder

1.5 雙主梁模型、等效橫向連接

上述兩種傳統的雙主梁模型，對于側彎剛度和扭轉剛度模擬不準［2，9］。雙主肋混凝土橋，縱向有雙主肋，橫向有橫隔板來支承橋面板，可看作一種梁板結構，因此可以采用梁格理論來分析。該理論將分散在每一區段的彎曲剛度和抗扭剛度集中于最鄰近的等效梁格內，實際結構的縱向剛度集中于縱向梁格構件內，而橫向剛度則集中于橫向梁格構件內。對于梁格有橫隔板，且間距不大時［10］:

EIx=E×(T形截面對x軸的慣性矩)

GJx=G×(隔板抗扭慣性矩+bh3/6)

其中:b為梁格代表的板寬;h為板的厚度;bh3/6項是考慮T形截面的翼緣的抗扭慣矩的。一般狹長矩形截面的抗扭剛度為bh3/6，因此建模時可以考慮取實際的隔板寬度的1/2來等效抗扭剛度。

用雙主梁模型，由于在考慮橫向連接時，剛性橫梁連接則放大了剛度，實際橫梁連接則縮小了剛度。故根據梁格理論，采用稱為等效剛度的橫梁來模擬橫向連接。該等效橫梁是一T梁，翼緣為橋面板，腹板為橫隔板，為了用beam188單元計算剛度的方便，翼緣寬度考慮2種情況:一種為橫隔板間距b，另一種為b/2。前種方式主要是考慮到抗彎剛度的模擬，后者則是為了抗扭剛度的模擬。讀者也可以自己按照上述原理計算抗彎和抗扭剛度。表5列出了塔面內彎、梁面內彎和梁扭轉的1階計算結果。

表5 塔面內彎、梁面內彎和梁扭轉的1階計算結果Tab.5 Calculation results of first-tread eigenvalue of tower bend，beam bend and beam twist

對于翼緣寬度為b的情況，主梁1階彎曲屈曲特征值比實體單元法的大了1.6%，而主梁1階扭轉特征值則大了4.4%。對于翼緣寬度為b/2的情況，主梁1階彎曲屈曲特征值則大了1.5%，其1階扭轉特征值則大了4.0%。說明這兩種方式對于模擬主梁的剛度是非常合適的。

比較發現，翼緣寬度為b和b/2兩種方式區別不大，翼緣寬度為b/2的對于剛度模擬的略小，但是它們都是滿足要求的。

因此，在實際空間分析簡化計算中，根據梁格理論，采用等效剛度的橫向連接是非常可靠的，其剛度介于實際橫梁和剛性橫梁之間，克服了前者過柔后者過剛的弱點，較為真實的模擬了結構的剛度。其模型比較簡便，比實體單元計算量小很多，精度可以達到要求。該方法值得推廣。

1.6 殼單元模型

可以采用包括平面變形和板彎曲變形的殼單元來模擬主梁。橋面板和橫隔板均較薄，單元選取較為方便。對于主肋，由于高度和寬度均較大，高為1.9 m，標注段肋寬為1.6 m，因此一般薄殼單元已不實用。將肋寬方向取為殼單元厚度方向，這樣殼的厚度為1.6 m。選用shell181單元分析，該單元能適應從薄到中厚的板殼單元。且該單元為有限應變殼單元，每個單元有4個節點，每個節點有6個自由度，包括3個平動和3個轉動自由度。采用完全積分，這樣面內有2×2個積分點。其主要模態計算結果如表6。

表6 殼單元特征值計算結果Tab.6 Calculation results of shell element eigenvalue

和前面幾種單元一樣，其塔面內彎和實體單元結果相差無幾，主梁面內1階屈曲特征值比實體單元大了7.6%，而主梁1階扭轉屈曲特征值比實體單元小了2.9%。故板殼單元模擬得較好。

2 結語

斜拉橋整體穩定性分析中，采用簡化模型可以大大減少計算量，但是也容易由此帶來誤差甚至錯誤。筆者分別將幾種常用的簡化模型與實體單元模型計算結果作對比，并提出了一種新的雙主梁模型。主要得出了如下結論:

1)單主梁模型和雙主梁剛性橫向連接模型對于主梁的豎向抗彎剛度略偏大，能滿足工程要求。主要缺點在于對于抗扭剛度模擬過大。

2)雙主梁實際橫向連接模型是過低地模擬了橫向連接，其抗扭剛度的模擬存在很大問題。

3)利用梁格理論，采用等效剛度的橫向連接的有限元模型與實體單元模型計算結果差別很小，值得推廣使用。特別是在非線性計算中，由于實體單元計算量過大，不得不采用量單元模型時，采用這種模型既節省機時，又能很好的模擬結構剛度分布特性。

［1］李國豪.橋梁結構穩定與振動［M］.修訂版.北京:中國鐵道出版社，2002:99-101.

［2］陳幼平，周宏業.斜拉橋的動力分析模型［J］.中國鐵道學報，1995，16(1):79-83.CHEN You-ping，ZHOU Hong-ye.Modelling of cable-stayed bridges for dynamic analysis［J］.China Railway Society，1995，16(1):79-83.

［3］朱伯芳.有限單元法原理與應用［M］.2版.北京:中國水利水電出版社，1998:92-95.

［4］項海帆.高等橋梁結構理論［M］.北京:人民交通出版社，2001:294-295.

［5］Wilson J C，Graveue W.Modelling of a cable-stayed bridges for computer for dynamic analysis［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1991(2):20-22.

［6］REN Wei-xin，PENG Xue-lin.Baseline finite element modeling of a large span cable-stayed bridge through field ambient vibration test［J］.Computers and Structures，2005，83:536-550.

［7］Nazmy A S，Abdel-Ghaffar A M.Nonlinear earthquake response analysis of long-span cable-stayed bridges:theroy［J］.Earthquake Engineering ＆ Structunal Dynnamics，1990，19(1):45-62.

［8］Nazmy A S，Abdel-Ghaffar A M.Nonlinear earthquake response analysis of long-span cable-stayed bridges:applications［J］.Earthquake Engineering ＆ Structural Dynamics，1990，19(1):63-76.

［9］蘇成，韓大建，王樂文.大跨度斜拉橋三維有限元動力模型的建立［J］.華南理工大學學報:自然科學版，1999，27(11):51-56.SU Cheng，HAN Da-jian，WANG Le-wen.The establishment of 3-D finite element dynamic models for long-span cable-stayed bridges［J］.South China University of Technology:Natural Science，1999，27(11):51-56.

［10］戴公連，李德建.橋梁結構空間分析設計方法與應用［M］.北京:人民交通出版社，2001:26-29.