基于PDE解析解的潛艇艇型設計

肖杰雄，段宗武，陳 虹

(武漢第二船舶設計研究所，湖北 武漢 430064)

0 引言

偏微分方程(Particial Differential Equation，PDE)方法使用1組橢圓偏微分方程產生曲面，是由英國Leeds大學的Bloor等首先于20世紀80年代末將其作為1種曲面設計工具引入CAD領域的。其思想起源于將過渡面的構造問題看作是偏微分方程的邊值問題，而后發現使用該方法可以方便地構造大量實際問題中的曲面形體。Bloor等探索了PDE方法在過度曲面、自由曲面及N邊域曲面構造中的應用，同時也探索了這種方法在功能曲面設計中的應用。船體、飛機外形、螺旋槳葉片等外形都可以由PDE方法構造。PDE方法的重要特點是:曲面形態完全由邊界條件控制，而邊界條件的幾何意義非常直觀，控制曲面形狀所需的參量也較少［1］。

除了美觀、光順要求外，飛機、汽車、船只等形體的曲面設計還有一些功能要求，如流體動力學要求，在體積一定的條件下用料最省的要求等，這就是優化設計問題。這些形體的設計最終歸結為一些泛函的極值問題。這些泛函的自變量是形狀參數，形狀參數的多少直接關系到求泛函極值問題時計算量的大小。如前所述，偏微分方程曲面形狀完全由邊界條件確定，所需形狀參量較少，這一點對功能曲面的優化設計非常有利。Bloor等通過實例研究了用偏微分方程設計功能曲面的方法，如在固定體積下酒杯的設計、在最大散熱要求下散熱器的形狀設計以及船體形狀的最小波阻設計等，結果表明，這種方法是可行的。傳統的構造曲面的方法需要較多的參數，而PDE方法所產生的曲面自然光滑，且確定一張曲面只需要少量的參數。

1 偏微分方程(PDE)解析解

用偏微分方程構造曲面通常采用參數化的曲面表達式X(u，v)，參數(u，v)可以看作是平面區域Ω中的點，X可以視為由Ω到三維空間R3的映射X:Ω→R3。假設所求曲面X(u，v)滿足偏微分方程:

若要構造C0曲面，N的取值為1;若要構造C1曲面，N的取值為2，依此類推。要求解上述方程，必須給出≥2N個邊界條件，通常2N個邊界條件可以用如下的形式表示:

其中，f1(v)和f2N(v)分別為u=0和u=1的位置邊界條件;gi(v)可以是位置邊界條件，也可以是導數邊界條件，2種形式如下:

PDE生成的曲面形狀由邊界條件和所選擇的偏微分方程確定，PDE生成曲面具有如下特點［3］:

1)構造過渡面簡單易行，只需要給出過渡線并計算過渡線處的跨界導矢。

2)所得曲面自然光順，曲面由自由曲面的超越函數表示，而不是簡單的多項式。

3)確定1張曲面只需要少量參數，并且對設計者的數學背景要求較少，用戶只需要給出邊界曲線和導數就可以產生1張光順的曲面，因此用戶的輸入工作量較少。

4)可以通過修改邊界曲線和跨界導矢及方程的1個物理參數來調整曲面的形狀。

5)易于功能曲面設計。功能曲面設計最終歸結為一些泛函的極值問題。這些泛函的自變量是形狀參數，形狀參數的多少直接關系到求泛函極值問題時計算量的大小。PDE曲面形狀完全由邊界條件確定，所需形狀參數較少，從而可以降低計算耗費。

為了使用解析方法來求解方程(2)的解，進行如下假設:

1)(u，v)的取值范圍:

2)邊界條件對于變量v是周期函數:

3)所有的邊界條件函數是連續的。

基于上述假設，可以得到方程(2)的解析解為:

因為邊界條件都是連續的，且都是以2π為周期的周期函數，因此可以展開成傅立葉級數:

假設邊界條件展開為有限項(m項)，對于每一項n={1…m}，有下式:

其中:A(a，n)，B(a，n)都是2N ×2N 的矩陣。

目前在曲面造型中，國內外使用最為廣泛的PDE是采用如下的雙調和方程［4］:

其周期邊界條件為:

其中:u∈［0 1］，v∈［0 2π］。

其解析解為

其中:

值得指出的是:方程(12)中的偏微分算子表示了一種光滑過程，即曲面內任意點的函數值是其沿邊界的某種意義下的平均，所得曲面是邊界線之間的光滑過度，參數a控制著(u，v)這2個參數方向的相對光順率。

2 偏微分方程在潛艇艇型設計中的應用

由上節討論可知，使用PDE生成曲面的關鍵在于構造合適的位置邊界條件和導數邊界條件，當邊界條件確定時，曲面的方程也就惟一確定了。潛艇外型部分包括基本主艇體、指揮室圍殼以及圍殼舵、方向舵、升降舵、垂直翼和水平翼等，其幾何描述如圖1所示［5］。

2.1 潛艇主艇體的構造

潛艇主艇體的外形可用進流段、去流段、平行中體三段描述，在已知潛艇主艇體的基本信息(如進流段、去流段、平行中體的長度)和潛艇最大寬度等參數時，通過構造邊界條件，可采用PDE方法生成主艇體。

圖1 潛艇外形幾何描述Fig.1 Geometry description of submarine shape

1)對于進流段，給定邊界條件:

u=0對應的位置邊界條件為x=0，y=0，z=0，表示艇首，即原點;u=1時的位置邊界條件表示進流段與平行中體之間的橫截面，此時x=x0代表進流段的長度為x0，y2+z2=R2表示此截面為1個圓面，半徑為R，導數邊界條件有=0，可以保證進流段與平行中體的光滑過渡。

2)對于去流段，給定邊界條件:

同理分析，u=0的位置邊界條件為表示平行中體與去流段之間的橫截面，此時x=x1代表去流段起始位置，y2+z2=R2表示此截面為1個圓面，半徑為R;導數邊界條件有=0，可以保證平行中體與去流段的光滑過渡;u=1時的位置邊界條件x=x2，y=0，z=0，表示艇尾，即終點。取參數 a=2，a1=4，a2=20，a3=130，a4=30，a5=60，a6= － 10，R=4，x0=30，x1=75，x2=120，得到結果如圖2所示。

圖2 用PDE方法生成的潛艇主艇體形狀Fig.2 Using PDE method generated the surface of submarine body

2.2 指揮室圍殼的構造

指揮室圍殼的俯視面為一個翼型，給定圍殼的基本信息，如長度、最大寬度、頂點到最大寬度處的長度、圍殼高度等，可以通過構造合適的邊界條件生成指揮室圍殼，主要工作涉及翼型曲線的擬合，主艇體上過渡線的選取，倒數邊界條件的選取等問題。

指揮室圍殼在水平面上的投影為翼型曲線，可以用式(15)進行描述:

其中:Le為進流段長度，即頂點到最大寬度處的長度;Lk為去流段長度;L為總長;L=Le+Lk，r為最大半寬。

為了得到PDE的解析解，首先對x(v)的表達式進行傅立葉變化，使邊界條件的形式與標準解的形式相同，取展開項為8項，可得:

對于主艇體上的過渡線，即圍殼與主艇體的交線的選取問題，首先確定過渡線在水平面內的投影，其形狀仍為翼型，可以使用式(15)進行描述，由于過渡線又是主艇體上的1條曲線，因此滿足主艇體的參數方程，即y2+z2=R2，半徑R可以由x的值結合主艇體的方程得到。給定參數Lk=6，L=20，r=3，得到的指揮臺圍殼形狀如圖3所。

2.3 操縱面的構造

圖3 用PDE方法生成的指揮臺圍殼Fig.3 Using PDE method generated the surface of sail

操縱面由多個部件組成，包括圍殼舵、方向舵、升降舵以及垂直翼和水平翼等。每一部件均通過2個典型剖面確定其外形，典型剖面選用性能優良的標準對稱翼型。操縱面的構造都是類似的，此處以水平翼為例進行說明，翼型邊界的選取與處理方式如上節所述，關鍵在于操縱面與艇體之間的過渡面的設計，過渡面要求與艇體以及操縱面之間進行光滑過渡，構造過渡面只要確定2個面上的過渡線及其過渡線處的跨界導矢。

圖4 用PDE方法生成的水平翼Fig.4 Using PDE method generated the surface of horizontal wing

其他的操縱面構造方法都與水平翼的構造方法類似。將所有的操縱面與之相對應的過渡面都構造完成后，就可以得出有PDE方法生成的潛艇艇型，如圖5所示。

由此可以說明，通過構造一定的邊界條件，利用潛艇外型設計的基本信息，采用PDE方法，能快速生成潛艇的主艇體。

圖5 用PDE生成的潛艇艇型Fig.5 Using PDE method generated the surface of submarine

3 結語

本文主要闡述了四階橢圓偏微分方程的解析解法及其在自由曲面設計中的應用，初步探討了PDE方法在潛艇艇型設計中的應用，利用潛艇外型設計的基本信息，采用PDE方法，可以快速地進行潛艇外形設計。PDE方法是一種新的曲面造型技術，它在過渡面的構造，功能曲面的設計等方面具有潛在的優勢，但在理論和應用方面還有許多問題有待進一步的研究，接下來將考慮將PDE方法與優化艇體的水動力特性設計相結合，開展深一步的研究。

［1］MIG B，WILSON W J.Using partial differential equations to general free form surfaces［J］.Computer Aided design，1990，22(4):221 －234.

［2］UGAIL H.Methodofboundarybasedsmooth shape design，school of Informatics［J］.University of Bradford.

［3］丁正剛，張全伙.偏微分方程(PDE)曲面造型及其交互式曲面設計技術［D］.福州:華僑大學，2005.DING Zheng-gang，ZHANG Quan-huo.Partial differantial equation surface modeling and interactive design technology［D］.Fuzhou:Huaqiao University，2005.

［4］馬嶺，朱心雄.PDE造型方法在復雜曲面設計中的應用［J］.計算機學報，1998，(21):357 －362.MA Ling，ZHU Xin-xiong.Application of PDE method to free form surface design［J］.Chinese Journal Computers，1998，(21):357 －362.

［5］周春凱.參數化方法在潛艇外型三維設計中的應用［J］.中國造船，2008，29(3):154 －159.ZHUO Chun-ka.The three-dimension design of submarine form based on parametric method［J］.Shipbuildingof China，2008，29(3):154－159.