例談試題模型建構的演變性

224054 江蘇省鹽城市亭湖區永豐初中 唐耀庭

例談試題模型建構的演變性

224054 江蘇省鹽城市亭湖區永豐初中 唐耀庭

《全日制義務教育數學課程標準》強調：“讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展.”若將某些典型題圖變異發展，形成一組能易中求活求深求精，融課本例習題、中考題于其中的提高型系列訓練題組，則既能提高學生平時訓練及綜合復習的興趣，使學生積極投入解題活動，又能以點帶面，覆蓋一片，同時還能從變換中創設習題教學新情境，引導學生探索演練，廣開思路，拓展思維，培養思維靈活性和深刻性，提高解題能力，能使解某些數學題達到巧妙的境界，給人以賞心悅目的數學美的感受，本文以一道鹽城中考試題進行模型建構的演變探究，供同仁參考.

原題 (2011年鹽城)情境觀察 將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A'C'D，如圖1所示.將△A'C'D的頂點A'與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉，使點D，A(A')，B在同一條直線上，如圖2所示.觀察圖2可知：與BC相等的線段是______，∠CAC'= ______°.

圖1

圖2

問題探究 如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點 G，以 A為直角頂點，分別以AB，AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點 E，F作射線 GA的垂線，垂足分別為 P，Q.試探究EP與FQ之間的數量關系，并證明你的結論.

拓展延伸 如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB，AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線 GA交 EF于點 H.若AB=kAE，AC=kAF，試探究 HE與HF之間的數量關系，并說明理由.

圖3

1 試題賞析

1.1 正確的解題思路源于基礎知識、基本技能和數學思想方法的熟練掌握

進入新課改后，各地紛紛出現了問題情境型新題型.該題型背景新穎、設問巧妙，能有效考查學生的自學能力以及觀察分析、類比操作、抽象概括、數學歸納、語言表達等能力.本題的問題情境是通過操作積累，為學生提供了一個思維平臺——以構造“三角形、矩形”為載體結合“拼圖、旋轉、全等、相似”等知識解決問題.并由此提供了解決問題的方法.

第(3)問只是在問題情境的基礎上設置了一個臺階(將三角形變為矩形)，解此試題，必須把握住試題的核心，與問題探究相仿，只不過將全等改為相似，可以借助第(2)問構建的幾何模型：證出FQ=AG.再證Rt△EPH∽Rt△FQH，從而使得問題解決.使得實際問題數學化，數學問題形象化，體現了不同數學知識之間的相似性.本題考查的思想方法有：建模思想、轉化思想、數形結合思想.

1.2 試題高超的設計技巧和良好的思維策略

本題設問層層鋪墊，思維層次逐步遞升.第(1)問是對新建數學模型的再認識，第(2)問是對新建模型的靈活應用.這兩問幫助學生同化新建數學模型，為下一問題的解決作鋪墊.是思維層次上的一個跳躍，該問同時較好地考查了學生的思維策略：首先恰當地選用圖形解決問題;其次要觀察圖形，對復雜圖形要善于分解，弄清楚不同的構成要素(AB=kAE，AC=kAF);最后要大膽猜想，嚴謹論證，用相似知識解決問題(HE=HF)，啟發我們在今后得教學中要注重幾何模型的教學.

2 試題模型建構的演變探究

圖4

新課程強調：數學模型的應用價值，一方面，是從實際問題中抽象出遇到的問題，回歸到數學模型，通過解決數學問題，完成對數學問題的解答;另一方面，就是以數學的眼光，審視實際生活中數學模型的“原始狀態”，學以致用.使問題具有一定的探究空間.有鑒于此，筆者對此題做了如下演變.

2.1 模型探究1 改變條件，探究結論

例1 如圖5，圖6，以△ABC的邊AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABE和△ACF，M是BC的中點，請你探究線段EF與AM之間的數量關系.

圖5

圖6

解析 利用中點的中心對稱性，將△CAM繞點M順時針旋轉180°，構造平行四邊形證明

(1)如圖7，延長AM 至 N使MN=AM，(或將△CAM繞點 M順時針旋轉 180°得△BNM)連接 BN，CN則四邊形ABNC是平行四邊形，BN=AC，∠BAC+ ∠ABN=180°，

圖7

(2)如圖 8，延長 AM至N使MN=AM，連接 BN(或將△CAM繞點M順時針旋轉 180°得△BNM)則AC=BN，∠BAC+∠ABN=180°.

圖8

2.2 模型探究2 引申結論，步步深入

原題設不變，若連接BF，CE交于點P，則線段BF，CE有何位置關系?

解析 設BF，AE交于點Q.

如圖9，BF=CE且 BF⊥CE，

圖9

如圖10，BF=CE且BF⊥CE，

點評 將△ABE，△ACF繞A點任意旋轉一個角度，都存在BF=CE且BF⊥CE這一結論.

2.3 模型探究3 巧改條件，另立新意

例2 變換中點位置將△ABE，△ACF繞A點任意旋轉一個角度，取斜邊BE，CF的中點M，N，線段MN，AP又有何關系?

解析 如圖11.連接 MP，MA，NP，NA，

圖10

∴點M在線段AP的垂直平分線上，同理點N在線段AP的垂直平分線上，

∴線段MN垂直平分線段AP.

如圖12，連接 MP，MA，NP，NA，

∴點M在線段AP的垂直平分線上，同理點N在線段AP的垂直平分線上，

∴線段MN垂直平分線段AP.

圖11

圖12

2.4 模型探究4 強化條件，殊途同歸

例3 在圖9，圖10的基礎上，以AB，AC為邊作正方形ABFE，正方形ACGF，M，N分別是兩個正方形的中心，若正方形ABFE和正方形ACGF的面積分別為338及200，在旋轉過程中使得AP=10，求MN的長.

圖13

圖14

2.5 模型探究5 調換條件，使問題特殊化

(1)若⊙O'與⊙O外切于點 A(見圖15)，EA，BA的延長線分別交⊙O'于點C，F，連接CF，則△ACF是_________三角形;

(2)若⊙O'與⊙O相交于點 A，P(見圖 16)，連接EP，BP并延長分別交⊙O'于點C，F，請選擇下列兩個問題中的一個作答：

圖15

圖16

問題1 判斷△ACF的形狀，并證明你的結論;

問題2 判斷線段EC與BF的關系，并證明你的結論.我選擇問題_____，結論：__________________.

(3)若⊙O'與⊙O內切于點A(見圖17)，AE，AB分別交⊙O'于點 C，F，連接 CF，則△ACF 是_______三角形;

(4)若⊙O'與⊙O相交于點 A，P(見圖 18)，連接EP，BP并延長分別交⊙O'于點C，F，請選擇下列兩個問題中的一個作答：

問題1 判斷△ACF的形狀，并證明你的結論;

問題2 判斷線段EC與BF的關系，并證明你的結論.我選擇問題_____，結論：_____________________.

圖17

圖18

解析 (1)等腰直角

(2)問題1 △ACF是等腰直角三角形

證明 連接AE，AB，

問題2 連接AE，AB，∴ ∠EPB=∠FPC=90°，

2.6 模型探究6 變換形式，遷移深化

將三角形變為正方形設計得如下兩題

例5 如圖19，正方形ABCD中，E，F 分別是 AD，AB 的中點，過點A作AM⊥BE，交對角線BD于M，連接ME.探究ME與DF之間的位置關系并證明.

解析 ME⊥DF 將△ABE沿BA方向平移BA的長度，再繞點A順時針旋轉90°(或延長AM交DC于點H)得∠DHA=∠AEB，DH=AE，

圖19

例6 如圖20，若E，F分別是 AD，AB 上的點，且 AE=AF.過點A作AM⊥BE，交對角線BD于M，過點M作 MG⊥DF，交 AD于N，交BE的延長線于G.探究BG，AM，MG之間的數量關系并證明.

解析 BG=AM+MG 將△ABE沿BA方向平移BA的長度，再繞點A順時針旋轉90°(或延長AM交DC于點H)，

圖20

20110823)