抓住基本圖形教學 提升數學思維水平

430079 華中師范大學教育學院 劉 輝

抓住基本圖形教學 提升數學思維水平

430079 華中師范大學教育學院 劉 輝

平面幾何是初中數學一個重要的內容模塊.初中數學的平面幾何內容以歐幾里德的《幾何原本》所建立的公理化體系為基礎，對于培養學生的邏輯推理能力、培養學生的理性思維、形成實事求是的態度有重要的作用.然而，現實情況下，一些學生感到幾何難學，或是學習效果不佳，畏懼幾何，繼而畏懼數學，甚至放棄數學學習.“對初中生來說，首先是幾何比代數難學，許多學生連“基本題”也做不好;其次是“兩極分化”……［1］，那么，怎么樣解決這些問題?

《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》在幾何內容的學習方面，要求學生“能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系”“利用直觀來進行思考”［2］.“平面幾何的教學，從某種意義上講，就是教會學生認識基本圖形的性質，引導學生運用基本圖形的方法去分析和解決問題，培養學生的邏輯思維和邏輯推理能力”［3］.抓住基本圖形的教學，有助于在學習過程中提升學生的思維水平.

1 基本圖形及基本圖形法的含義

1.1 基本圖形

關于基本圖形的含義，學界并沒有一個統一的界定，它不像一些基本的數學概念那樣嚴格清晰.只是在長期的教學實踐過程中，人們對基本圖形形成了一些相對穩固的約定與共同的認識.傅佑珊老師認為，“現行中學平面幾何課本中概念、定理、公理所對應的圖形都稱為基本圖形.”可以說，基本圖形是內容和形式的統一體.因為，每一個幾何概念、每一條幾何公理、定理及定理的推論都對應著一定的圖形.

基于此，平面幾何中的基本圖形有概念型基本圖形與定理型基本圖形(包括公理、定理的推論在內)之分.這兩大類型的基本圖形大致將教科書上平面幾何知識點包括在內了.還有一類也可作為平面幾何中的基本圖形，稱之為經驗型基本圖形.因為，以這一類基本圖形為基本構圖的幾何題會以相關的形式稍有變化地在學生的練習題中出現，有了相關的經驗型的基本圖形，能夠快速引領學生找到解題的方向.

具體說來，三種基本圖形的含義如下.

1.1.1 概念型基本圖形

即幾何概念所對應的圖形.直線、角、三角形、矩形、正方形、菱形，圓等.每一個幾何概念對應著一定的圖形.

1.1.2 定理型基本圖形

這一類基本圖形將公理、定理及推論對應的圖形包含在內，它們區別于概念型基本圖形之處的是，圖形的元素(如線段、角)之間有一定的數量上或空間位置上的相互關系.平面幾何中一般的定理分為性質定理與判定定理.一般是滿足一定的條件，才會有一定的結論.如兩直線平行，同位角相等(如圖1);角平分線上的點到角兩邊的距離相等(如圖2).一條定理、公理也對應著一定的圖形.

1.1.3 經驗型基本圖形

此類基本圖形是在教學過程中，或是學生的學習過程中遇到的，具有一定代表性的、典型的基本幾何圖形，是一個開放的系統，通常具有從經驗中積累的特點.教師在幾何教學過程中可以指導學生注意此類圖形所包含的幾何性質、結論的總結，如“母子相似三角形”(如圖3)、“射影定理”(如圖4)、“角平分線加平行線會有等腰三角形”(如圖5)等.每個人都可以在自己的經驗積累的基礎上進行總結，這樣的范例式圖形越豐富，學生學起幾何來也就越容易.一般綜合性較大、學生感到困難的幾何題，究其本質也就是一些基本圖形的疊加與組合.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

1.2 基本圖形法

基本圖形法，是指“在幾何圖形中分解或構造出起主要作用的基本圖形，通過這些基本圖形建立已知條件與要得出結論之間的聯系，以求得問題的解決.”

讓學生學會運用基本圖形法，對復雜的幾何圖形進行分解，從中抽出基本圖形出來，對于提高學生的幾何解題能力有著直接的促進作用.

2 基本圖形教學的運用

所謂抓基本圖形的教學，一是教師在幾何內容的教學過程中要以平面幾何中的基本圖形為出發點，讓學生以此為抓手，掌握基本的概念、定理、公理等基本知識，即知道有哪些知識可用;二是教學生會用基本圖形法，在紛繁復雜的幾何圖形中分解出基本圖形出來，化繁為簡，化難為易，即掌握知識該怎樣運用.

下面從知識表征、知識的掌握記憶、復雜圖形的分解等方面來研究基本圖形在教學中的運用.

2.1 運用基本圖形掌握數學概念

以“三線八角”為例，如圖6這一基本圖形之中包含了同位角、內錯角、同旁內角三個相關的概念.這三種角的共同特征都是由兩條直線被第三條直線所截而成的角，而角與角之間不同的位置關系也就造成了三類角的名稱的不同.有學生在學習這些概念時要么對于單獨的一種角的判斷錯誤，要么是對于這三類角的判斷互相混淆.在教學過程中，一般是一個一個地解決，先讓學生借助這幅圖，結合教師對概念的講解，依次理解同位角的含義、內錯角的含義、同旁內角的含義.分別學習三類角的概念之后，為檢驗他們是否真正掌握理解了三類角概念的含義，讓他們在一幅圖中指出同位角有哪些、內錯角有哪些、同旁內角有哪些.當學生能在一幅圖中清楚準確地分辨出三類角時，就表明學生對這三類角的概念含義已完全掌握了.

圖6

教科書上對幾可概念是用語言文字形式進行表征的，相對而言，概念型基本圖形對幾何概念以圖象形式進行的表征更為形象、直觀.從認知心理學的角度來看，幾何圖形作為一種視覺通道的信息，更容易在人的頭腦中形成表象，對于知識的表征以圖象的形式貯存.這種表征適合處于初中階段的學生的思維發展水平，使知識變得更易于理解和接受.相反，如果，不注重概念型基本圖形，而只關注于對文字進行解釋的角度來把握概念，那么，效果就會大打折扣.抓住概念型基本圖形，有助于促進學生對幾何概念的理解掌握，這為他們進一步學習幾何知識打下基礎.

2.2 運用基本圖形成良好的知識結構

以人教版九年級下冊的銳角三角函數這一章節知識為例.要想順利地解決解直角三角形的問題，理解掌握30°，45°，60°這三個特殊銳角的正弦值、余弦值及正切徝是必須過的第一關.有學生在學習這一章節的內容時，總是記不住，記錯或記混了.其實，只需要抓住兩個特殊的直角三角形，即等腰直角三角形與一個角是30°的直角三角形，它們三邊之比分別是1∶1∶，1∶∶2，再結合正弦、余弦、正切它們的定義，即對邊比斜邊、鄰邊比斜邊、對邊比鄰邊;就很容易地得出這三個特殊銳角的三角函數值了，在理解的基礎上記憶這些三角函數值也就沒什么困難了.

平面幾何知識主要是以陳述性知識的形式進行呈現的.在對陳述性知識進行學習過程中，記憶是必須的.后繼的學習將以前面掌握的知識為基礎，因此必須要保持記住一些知識塊.而從記憶的策略來講，零散的知識點形成的知識結構太過于分散，不利于形成知識模塊.運用基本圖形，結合相關的概念定義，有助于理清知識點之間的來龍去脈及相互關系.即不僅是促進學生對于知識的理解，而且有助于促進學生對知識的保持記憶，形成良好的知識結構.

2.3 運用基本圖形法，分析復雜的幾何圖形

在平行線的性質里有“兩直線平行，同旁內角互補”這一條.對應的基本圖形，如圖7比較簡單，屬于定理型基本圖形.在此基礎上，稍有變化形成圖8.這時四條線形成的三個角之和為360°，也不算難.

圖7

圖8

圖9中，x軸與y軸交于O點，AB交 y軸于 A點，DE交 x軸于 E點，AB∥DE，∠OAB與∠OED的角平分線交于P點，求∠P的度數.

分析 此題借助基本圖形圖8的基礎，從圖中分解出B-A-O-E-D這個圖，利用圖8的結論，

圖9

四邊形PAOE內角和為360°，

3 基本圖形教學中蘊含的數學思想方法

基本圖形法并不只是簡單地為了解決微觀層面的學生學習過程中的問題，這種方法蘊含了更高層面的數學思想方法.教師通過基本圖形法在教學中的運用，有助于向學生滲透數學思想方法，從而提升學生的數學思維水平.

3.1 數形結合思想

“數缺形時少直觀，形缺數時少精確”.這句話準確恰當地點明了數與形之間的重要聯系.在學習數學過程中培養學生形成數形結合的思想，有助于他們“數學化”地思考問題，即從數學的角度來看問題，具體到平面幾何知識上來說，更是少不了對圖形的關注.平面幾何本來就是以平面圖形的性質特征為主要研究內容的.此外，在幾何知識與代數知識相結合的地方，即既需要考查圖形間的相互位置關系，同時也需要關注圖形中的數量關系的時候，運用數形結合思想是很自然的了.如文中提到的銳角三角函數運用到解直角三角的相關問題時，就是一個典型的例子.

3.2 轉化、化歸的思想

數學知識體系是以一定的邏輯建立在基礎知識之上的.因而對后續知識的學習必須要以前面基礎知識的掌握為依托，否則，后續的學習無法進行.在遇到復雜問題時，我們總是盡量把它往已熟悉的內容上轉化、化歸.化未知為已知、化繁為簡、化難為易.

基本圖形法就是這樣一種方法，面對紛繁復雜的幾何圖形，從眾多的線條中分解、抽出基本圖形，是一項重要的幾何思維能力.分解、抽出基本圖形出來，尤其是經驗型基本圖形，即將任務難度進行分解，將不熟悉的轉化為已熟悉的，將復雜的任務化為簡單的任務的過程.

3.3 綜合法與分析法相結合的思想

這一思想是緊承轉化、化歸思想而來.運用基本圖形法從復雜的圖形線條中抽出基本圖形以后，任務難度就降低了，這是一種分析的方法.即要解決這個問題，需要先滿足什么條件;而要滿足這個條件，又必須先滿足什么條件，這樣一步步往前追蹤，追蹤到某一個基本圖形時，需要的條件滿足了.再按原路返回，倒過來推理，結合其他條件，進行證明或解答的過程，就是綜合法.基本圖形法在解決平面幾何的過程中，起到了連接分析法與綜合法的橋梁的作用.如果沒有基本圖形法的思路來找到熟悉的基本圖形，思維鏈可能就會斷開，繼而影響到問題的解決.而有了基本圖形作紐帶，再使綜合法與分析法相結合，問題就能得到很好的表征，解決起來也就簡單得多.運用基本圖形法解決問題的過程中，包含了綜合法與分析法相結合的過程.

1 張奠宙.平面幾何教學的回顧與前瞻［J］.數學教學，2005，5

2 葉堯城，向鶴梅主編.全日制義務教育課程標準(修訂稿)教師讀本［M］.武漢：華中師范大學出版社，2003，6.

3 傅佑珊.淺談平面幾何圖形的基本教學［J］.數學通報，1993，5

4 傅佑珊.平面幾何基本圖形的方法與教學實踐［J］.北京教育學院學報，1997，2

20110822)