由“教材”到“學材”的創新構想

●甘 霖 (中峰鎮中心學校 湖北竹溪 442300) ●魏祖成 (竹溪縣教研室 湖北竹溪 442300)

數學例題、習題課教學是數學教學的重要組成部分，是學生理解、掌握和應用數學概念、法則、性質、定理的必要過程，是學生感悟數學思想方法、發展數學思維、培養創新意識和實踐能力的必要過程.在初中數學例題、習題教學中，教師要根據學生需要，對教材中的“例題、習題資源”進行有效處理和二度開發，這好似大廚將“家常小炒”加工成“滿漢全席”，色、香、味俱全才能讓人吃得輕松、愉快.如何將“家常小炒”做成新鮮、可口、讓學生愛不釋手、垂涎欲滴的“滿漢全席”?這就需要教師在鉆研教材上下足功夫，充分理解教材例題、習題的設計意圖，加以組合、整理、補充、延伸、拓展和變式，設計出學生喜歡的數學習題，培養學生內在的數學情感和智慧.

1 加一點“誘餌”，激發學習興趣

人本主義教育家羅杰斯說過，真實的問題情境和活動是最能引起態度和個性情緒的學習方式.結合教材例題、習題的基本內容，配上一些符合學生特征的教學情景，使學生的情緒受到感染，利用情感對認知學習的引導作用，驅動、誘導學生的學習動機.

案例1 人教版數學七年級下冊第26頁第6題第(2)小題：如圖1所示，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+ACE+∠CEF = ______度.

在教學時可創設情境，巧加“誘餌”——會跳舞的平行線，即將一根橡皮筋系在AB，EF同側的2個端點上，手拿橡皮筋，改變手勢和步伐，可得如下變式：

(1)勇往直前，勢不可擋.如圖2所示，AB∥EF，求證：∠ACE=∠A+∠E.

(2)平移一步，靈動跳躍.如圖3所示，AB∥EF，求證：∠CAB=∠C+∠E.

(3)進而則移，婀娜多姿.如圖4所示，AB∥EF，求證：∠E=∠A+∠C.

(4)前進兩步，姿勢優美.如圖5所示，AB∥EF，求證：∠1+∠2=∠BCF-∠BDF.

(5)連續跳動，夢幻變化.

①如圖6所示，AB∥EF，求證：∠1+∠2+……+∠n=(n-1)×180°;

②如圖7所示，AB∥EF，求證：∠1+∠3=∠2+∠4;

③如圖8所示，AB∥EF，根據②的證明猜想你發現了什么結論?

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

以上5個變式，通過創設問題情境，對課本習題進行創新再探，在保留原題設的前提下，重新創設問題情景，添加情景“誘餌”，將問題逐步引申、挖掘，深化題目的豐富內涵，對培養學生的學習興趣大有裨益.

2 改一點“口味”，培養數學情感

蛋糕有香草、抹茶、紅豆等多種口味，讓人意猶味盡、回味無窮.同樣地，在學習中學生喜歡多種不同“口味”的習題.教師在教學中要創造性地改編、引申教材中的例題、習題，給例題、習題換新顏，改口味，讓學生在解題過程中體驗挑戰思維帶來的喜悅，培養數學情感.

案例2 人教版數學九年級下冊第32頁第6題：如圖9所示，用一段長30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18 m，求矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少?

這是一道二次函數綜合應用題，蘊涵了方程、函數及數學建模思想.從題目所給的條件、求解的結論、實際的情景、不同的方案等方面去歸納總結，可改編和設計出不同的問題，做到一題多變，既培養了學生運用各種思想方法解題的能力，又建立了知識之間的聯系，有利于激發學生的學習興趣和勇于探索的個性品質.對于該題可作如下“口味”的改變，編制出讓學生“愛吃”的好題.

圖9

圖10

(1)墻長有無限制.

例1 如圖10所示，有長為24 m的籬笆，一面利用墻(墻的最大可利用長度a為10 m)，圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃.設花圃的寬AB為x m，面積為S m2.

①求S與x的函數關系式.

②如果要圍成面積為45 m2的花圃，AB的長是多少.

③能圍成面積比45 m2更大的花圃嗎?如果能，請求出最大面積，并說明圍法;如果不能，請說明理由.

例2 利用一面墻(墻的長度不超過45 m)，用80 m長的籬笆圍一個矩形場地.①怎樣圍才能使矩形場地的面積為750 m2;

②能否使所圍矩形場地的面積為810 m2，為什么?

(2)中間有無隔欄.

例3 要建一個長方形的養雞場，雞場的一邊靠墻(墻長足夠長)，如果用50 m長的籬笆圍成中間有一道籬笆(長度為x m)的養雞場.

①要使雞場的面積最大，雞場的長應為多少;

②如果中間有n(n＞1)道籬笆隔墻，要使雞場的面積最大，雞場的長應為多少;

③比較①②的結果，你能得到什么結論?

(3)面數是否變化.

例4 如圖11所示，用長為18 m的籬笆(虛線部分)，2面靠墻圍成矩形苗圃.

① 設矩形的一邊長為x m，面積為y m2，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍;

②當x為何值時，所圍苗圃的面積最大，最大面積是多少?

(4)形狀發生改變.

例5 如圖12所示，某學校在綠化校園時計劃利用矩形場地的一角，怎么利用邊緣2邊(不考慮第三邊AB)才能使所建花圃的面積最大，并求出最大面積(精確到1 m2).

(5)設計最佳方案.

例6 某校數學研究性學習小組準備設計一種高為60 cm的簡易廢紙箱，廢紙箱的一面利用墻，放置在地面上，利用地面作底，其他的面用一張邊長為60 cm的正方形硬紙板圍成.經研究發現：由于廢紙箱的高是確定的，所以廢紙箱的橫截面圖形面積越大，則它的容積越大.

圖11

圖12

①該小組通過多次嘗試，最終選定3個簡便且易操作的截面圖形(見表1)，根據這截面圖形面積y cm2與x cm(見表1截面圖形所示)的函數關系式繪制出圖像，請你根據有關信息，在表1中空白處填上適當的數(式)，并完成y取最大值時的設計示意圖.

②在研究性學習小組展示研究成果時，小華同學指出：圖中“底角為60°的等腰梯形”的圖像與其他2個圖像比較，還缺少一部分，應該補畫.你認為他的說法正確嗎?請簡要說明理由.

表1 橫截面圖形與函數關系式

(6)容積能否最大.

例7 某農戶計劃用現有的一面墻修4面墻，建造如圖13所示的長方形水池，培育不同品種的魚苗，他已備足可以修高為1.5 m、長為18 m的墻的材料準備施工，設圖中與現有一面墻垂直的3面墻的長度都為x m，即AD=EF=BC=x m(不考慮墻的厚度).

①若想水池的總容積為36 m3，x應等于多少;

②求水池的總容積V與x的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍;

③若想使水池的總容積V最大，x應為多少，最大容積是多少?

圖13

3 變一點“花樣”，發展思維品質

教學中，靈活多變的習題設計，能使學生在思維過程中不斷接受智慧的挑戰，思維的深度和廣度得到提高.學生享受智慧帶來的成功和愉悅的同時，思維的靈活性和敏捷性得到發展，思維品質得以提升和飛躍，變一點“花樣”，設計出學生“跳一跳”就能摘得到的“桃子”.

案例3 人教版數學八年級下冊第110頁第7題：已知四邊形ABCD中，AD∥BC，點M是AD的中點且MB=MC.求證：四邊形ABCD是等腰梯形.

此題是一道“條件不充分”的習題，可引導學生尋找“充分條件”的同時，變一點“花樣”，作以下思維拓展：

思維拓展1將原題的條件改變，把“點M是上底的中點”變為“下底的中點”，挖掘內在聯系.

思維拓展2將特殊條件一般化，把“點M是梯形底邊上的中點”變為“梯形外部的點”，探究上述結論是否成立.

思維拓展3將特殊條件一般化，把“點M是梯形底邊上的中點”變為“梯形內部的點”，探究上述結論是否成立.

思維拓展4將結論和條件互換位置，把要證明的結論“等腰梯形”作為條件，探究新的結論，從而提高學生的應變能力.

思維拓展5變換條件和結論，把“底邊上的中點”變為“2個點”，2腰由“已知相等”變為“結論求證”，提高探索能力.

思維拓展6適當改變已知條件，探索新的結論，從而培養思維的發散性.

例8 已知梯形ABCD中，AD∥BC，點M是AD的中點，且MB=MC，點E是MB的中點，點F是MC的中點，點N是BC的中點.

(1)求證：四邊形MENF是菱形;

(2)當△MBC是什么三角形時，四邊形MENF是正方形，并猜想梯形的高與下底之間的數量關系.

思維拓展7變換題型，將證明題改為探索題，探索新的結論是否成立，從而培養思維的發散性.

例9 已知梯形ABCD中，AD∥BC，M是底邊AB上的點，給出下面3個論斷：①AB=CD;②AM=DM;③BM=CM.請你以其中的2個論斷作為條件，填入“已知”欄中，以一個論斷作為結論，填入“求證”欄中，使之成為一個正確的命題，并證明之.

已知在梯形ABCD中，AD∥BC，M是底邊BC上的點，_______________，求證：________________.

簡析 該題從所給的論斷入手，不斷變換題目的條件與結論，由淺入深，循序漸進，層層深化，既溝通了知識之間的聯系又訓練了發散思維.

符合題意的情形有3種情況，即①，②→③;①，③→②;②，③→①.

在教學時，如能在例題、習題的解答后做進一步深入研究，便能發現一些很有趣的新知識或好方法，使解答數學問題的過程變成探究、發現的過程，將思維變成流動、活躍的過程，可使學生時時處在一種愉快的探索知識的狀態中，從而充分調動學生的積極性，啟發學生的思維，提高學生的解題能力和探索能力.

4 增一點“配料”，提升數學能力

在例題、習題教學中，要對學生解題過程中可能出現的困難做充分估計.對于較難理解的知識點，要有針對性地做好鋪墊，使解題過程水到渠成.

案例4 人教版數學九年級上冊“證明三角形的中位線定理”的教學.

師：如圖14所示，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，則DE是△ABC的中位線.你能發現哪些結論?

師：如果要證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”這個命題，能把文字語言轉化為數學語言嗎?

師：很好，能證明嗎?

(一學生板演.)

師：還有不同的證法嗎?

生3：利用△ADE∽△ABC可證.

師：誰能簡述一下證明過程?

圖14

師：很不錯，還有不同的想法嗎?

師：很精彩，連老師也沒有想到用這種方法.

在以上的課堂教學中，教師不失時機地問了一下“還有不同的想法嗎”，增加了解題的“配料”，學生的精彩發言為整個課堂增加了亮色，這種證明三角形中位線定理的方法連教師都沒有想到!