拋物線兩弦端點處切線性質的進一步拓展

●(陜西電子工業學校 陜西寶雞 721001)

拋物線兩弦端點處切線性質的進一步拓展

●張東倉(陜西電子工業學校 陜西寶雞 721001)

文獻[1]中提到拋物線兩弦端點處切線具有3個有趣的性質，筆者認為這3個性質還可以做進一步拓展，即對其作相應的修正，這樣更能揭示拋物線的魅人之處！

文獻[1]中定理1如下：

定理1如圖1，設P是拋物線y2=2px(p>0)上任一點(除去頂點)，弦PP1，PP2(或其延長線)分別過點M1(-m,0)，M2(m,0)，分別以P1,P2為切點的切線交于點P′，則點P在x軸上，且xPxP′=-m2.

圖1

圖2

筆者認為該定理中提到的點M1和M2關于原點對稱，如果不對稱，即經過拋物線上任意一點P的2條弦的端點P1，P2的切線交點P′還會在x軸上并且亦滿足類似定理的結論嗎？帶著這樣的思考，筆者對其進行了推證，發現文獻[1]中提到的定理只是本文修正后定理的特殊情形而已.現對文獻[1]中的3個定理做如下修正(不妨分別稱為定理1′,2′,3′)，并進行推證.

1 對文獻[1]中定理1的修正

定理1′ 如圖2，設P是拋物線y2=2px(p>0)上任一點(除去頂點)，弦PP1，PP2(或其延長線)分別過點M1(c1,0)，M2(c2,0)，分別以P1,P2為切點的切線交于點P′，則P′滿足

xP·xP′=c1·c2,yP·yP′=-p(c1+c2).

(很明顯，當點M1與M2關于頂點對稱時，c1與c2互為相反數，文獻[1]中定理1自然成立.)

證明設P(x0,y0)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，則點P1,P2處的切線方程分別為

y1y=p(x+x1)，y2y=p(x+x2)，

又點P,P1,M1共線，得

同理由P,P2,M2共線，得

由式(1)與式(2),可得

xPxP′=c1c2,yPyP′=-p(c1+c2).

2 對文獻[1]中定理2的修正

定理2′ 條件如定理1′，如圖3，則

(點M為P1P2的中點)；

(3)xP′=-xM′(點M′為P1P2與x軸的交點).

特別地，當P1P2恒過拋物線的焦點時，點P1,P2處的切線交點始終在拋物線的準線上.

很明顯，當點M1與M2關于頂點對稱時，c1與c2互為相反數，則yP1與yP2互為相反數，文獻[1]中定理2自然成立.

利用角公式可得

從而

圖3

圖4

3 對文獻[1]中定理3的修正

文獻[1]定理3如下：如圖4，拋物線y2=2px(p>0)的2條弦A1B1與A2B2(或其延長線)分別過點M1(-m,0)，M2(m,0).A1，A2處的切線交于點P，B1,B2處的切線交于點P′，則xP·xP′=-m2.與文獻[1]中定理1,2的修正類似，現對文獻[1]中定理3做如下修正，并進行推證.

定理3′ 拋物線y2=2px(p>0)的2條弦A1B1與A2B2(或其延長線)分別過點M1(c1,0)，M2(c2,0).A1，A2處的切線交于點P，B1，B2處的切線交于點P′，則

xPxP′=c1c2.

(很明顯，當點M1與M2關于頂點對稱時，c1與c2互為相反數，文獻[1]中定理3自然成立.)

證明設A1(xA1，yA1)，B1(xB1，yB1)，A2(xA2，yA2)，B2(xB2，yB2).因為A1,B1,M1共線，所以

yA1yB1=-2pc1.

同理由A2，B2，M2共線可得

yA2yB2=-2pc2.

與定理1′證明類似，可知

同理可得

[1] 李青林，周園.拋物線兩弦端點處切線的有趣性質[J].數學通訊，2008(23):21.