錯題同樣值得研究

●(丹陽市教育局教研室 江蘇丹陽 212300)

錯題同樣值得研究

●王先進(jìn)(丹陽市教育局教研室 江蘇丹陽 212300)

在高三數(shù)學(xué)考試中有這樣一個(gè)題目：

1 3種解法竟然是同一結(jié)果

這里n-m=5,從而

解得

解法2圖示法.若公差取得最大值，則區(qū)間內(nèi)的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別無限接近區(qū)間的2個(gè)端點(diǎn)(如圖1)，此時(shí)區(qū)間內(nèi)含有5d，即

解得

若公差取得最小值，則區(qū)間內(nèi)的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別離2個(gè)端點(diǎn)最遠(yuǎn)(1個(gè)d)，或者說最小項(xiàng)的前一項(xiàng)與最大項(xiàng)的后一項(xiàng)分別落在區(qū)間的端點(diǎn)處(如圖2)，此時(shí)區(qū)間內(nèi)含有7d，即

解得

綜上所述，

圖1

圖2

解法3設(shè)落在區(qū)間內(nèi)的第1項(xiàng)為an,則最后一項(xiàng)為an+5，由題意得

解得

3種不同的解法，得出同一個(gè)結(jié)果，似乎應(yīng)該沒有什么問題了.

2 一個(gè)反例輕松推翻了結(jié)論

該題引起了一定的討論，源于一位教師提供的反例：

由

即

解得

2≤n≤8.

共有7項(xiàng)在該區(qū)間內(nèi)，說明該范圍不能滿足題意.為什么會出現(xiàn)這樣的情況？筆者進(jìn)行了一些思考.

3 這個(gè)錯誤答案是如何形成的

取值范圍，顧名思義，是取得到的值的集合.自然是不包括取不到的值，但也應(yīng)該包括所有能取到的值，即不能多，也不能少.由本題的題意，不難理解要求的取值范圍應(yīng)該是前面條件的充分必要條件.

從解法1看，不等式組應(yīng)該刻畫的是充分必要條件，但以后的各步都只能說是充分而不必要的了，即有可能擴(kuò)大了范圍.

從解法2看，取最小值時(shí)，若將每項(xiàng)左移一點(diǎn)，則完全有可能出現(xiàn)7項(xiàng)在區(qū)間內(nèi)，如圖3所示.

圖3

看來真正的范圍應(yīng)該是答案的一個(gè)子集，上述反例也說明了這一點(diǎn)，同時(shí)也說明原答案是錯誤的.

如圖3所示，左移一點(diǎn)還是右移一點(diǎn)與a1的值有關(guān)，而從上述的解題過程看與a1無關(guān)，這是令人難以信服的.

4 若a1是具體的值，答案是什么

作為原題的一種特殊情形，不妨先考慮以下的題目：

該問題的解答沒有想象的簡單，其思路是:先用d來表示最小項(xiàng)am和最大項(xiàng)an,再用“n-m=5”列出關(guān)于d的方程.難點(diǎn)在于由范圍來確定項(xiàng)數(shù)時(shí)涉及到取整.至于是否有其他簡潔解法不得而知，筆者做了多種嘗試，未果.解決該問題的思路如下：

(1)用d表示最小項(xiàng)am.

即

(2)用d表示最大項(xiàng)an.

由an<8,an+1≥8可得

以上[x]表示的x整數(shù)部分，x≥0.

(3)列出方程.

(4)解方程.

[18x]-[3x]=6.

由取整函數(shù)的性質(zhì),知

18x-1<[18x]≤18x,

-3x≤-[3x]<1-3x，

相加得

因此

即

6≤[18x]≤8,[3x]=1，

當(dāng)且僅當(dāng)[18x]=7,[3x]=1時(shí)，方程(1)成立.從而

7≤18x<8,1≤3x<2，

得

故

5 對這個(gè)題目的修正建議

上述解題過程中使用了取整函數(shù).雖然取整函數(shù)的性質(zhì)并不難，筆者也是在處理該問題時(shí)臨時(shí)歸納出來的，但這已經(jīng)超出了一般中學(xué)生的學(xué)習(xí)范圍，而且考試時(shí)往往不可能也不允許有很多時(shí)間去做摸索探究.考慮到中學(xué)生知識與能力的具體情況，筆者建議作如下簡化修正：

例3 已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=-1，若該數(shù)列恰有6項(xiàng)落在區(qū)間(-1，8)內(nèi)，則公差d的取值范圍為________．

這樣首項(xiàng)與區(qū)間左端點(diǎn)恰好重合，落在區(qū)間內(nèi)最小的一項(xiàng)就無需考慮，肯定是a2了，只要a7<8,a8≥8即可求出d的取值范圍.這種思路的實(shí)質(zhì)是，對于“恰有”、“有且只有”的某類問題，可以通過相鄰2項(xiàng)的范圍來刻畫，而此思路同樣可以遷移到其他題目，如：

例4 已知f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，若方程f(x)=0在區(qū)間[0,π]上有且只有3個(gè)解，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是________．