橢圓的“姊妹橢圓”與“姊妹圓”及其性質

●姜坤崇 (楊浦區彰武路同濟新村224號甲 上海 200092)

性質1 如圖1，設P是橢圓E1上的任意一點，E1在點P處的切線交橢圓E于點A，B，橢圓 E 在點 A，B 處的切線交于點 Q，記 kOA，kOB分別

為直線OA，OB(O為E的中心，以下同)的斜率，則

圖1

(2)點 Q 在 E2上，且∠AQB=90°;

(3)AB⊥PQ.

證明設 P(x0，y0)，Q(x'，y')，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由點 P 在 E1上知

切線AB的方程為

兩邊同除以x2，可得

(2)由AQ，BQ分別為橢圓E過點A，B的切線知其方程分別為

由點Q(x'，y')分別在2條切線上得

從而橢圓E的切點弦AB的方程為

又知AB的方程為式(2)，由直線重合的條件可得

這表明點Q在E2上.以下證明∠AQB=90°.

(3)當 x0y0≠0 時，由式(5)，式(6)得

當x0y0=0時，不難證明亦有AB⊥PQ，此處從略.

性質2 如圖2，設P是橢圓E上的任意一點，過點P引橢圓E1的2條切線，切點分別為 A，B，直線 PA，PB分別交橢圓E于另一點C，D.記 kPA，kPB分別為直線PA，PB 的斜率，則

(1)點 C，O，D 共線;

圖2

證明(1)當點P不在2條坐標軸上時，直線OP的斜率存在且不為0.因為直線PC，PD分別切橢圓E1于點A，B，故由性質1的結論知

從而點C，O，D共線.

當點P在y軸上時，不妨設點P為(0，b)，此時由性質1的證明過程知2條切線PA，PB的方程為±bx+ay-ab=0，從而點C，D在 x軸上，故點C，O，D 共線.

同理可證，當點P在x軸上時，亦有點C，O，D共線.

(2)設 P(x0，y0)，C(x1，y1)，則

由第(1)小題的結論可知點 C，O，D共線，于是D(-x1，-y1).

證明設 P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

圖3

切線AB的方程為

上式整理后2邊同除以x2，得

性質4 如圖4，設P是圓E2上的任意一點，過點P引橢圓E的2條切線，切點分別為 A，B.記kOA，kOB分別為直線 OA，OB 的斜率，則

圖4

(1)∠APB=90°;

(2)直線AB與橢圓E1相切，設切點為Q，有AB⊥PQ;

證明(1)當點P不在2條坐標軸上時，直線OP的斜率存在且不為0.設直線PA，PB分別交E2于點C，D，由于PC，PD分別和橢圓E相切于A，B，故由性質3的結論得

于是kOC=kOD，即 CD過中心 O，CD為圓 E2的直徑，從而∠APB=∠CPD=90°.

(2)設 P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

由PA，PB為橢圓E過A，B所引的2條切線知其方程分別為

由P分別在2條切線上得

從而橢圓E的切點弦AB的方程為

當y0≠0時，由式(10)得

代入E1的方程整理得(用到式(9))

設關于x的二次方程(11)根的判別式為Δ，注意到式(9)，有

從而直線AB與橢圓E1相切.設切點為Q(x'，y')，則由方程(11)、(10)及式(9)可得

(3)當 x0≠ ±a 時，y0≠ ±b，由第(2)小題的證明過程可知

又由第(1)小題的結論知∠APB=90°，所以

當x0=±a時，不妨設x0=a，則y0= ±b，此時過點P所引橢圓E的2條切線方程為x=a，y=b(或y=-b)，2個切點在 2條坐標軸上，顯然∠AOB=90°.

［1］ 姜坤崇.相似橢圓的性質又探［J］.數學通訊(下半月)，2011(4)：36-37.