考慮泊松比的固體發動機裝藥貯存壽命預估①

職世君，孫 冰，張建偉

(北京航空航天大學宇航學院，北京 100191)

0 引言

固體火箭發動機的壽命預估一直是設計和使用部門特別關注的問題，固體發動機裝藥結構壽命是影響發動機壽命的重要因素，國內外對此展開了大量試驗和理論研究。其中，利用加速老化試驗法或長期貯存試驗法確定推進劑的相關力學性能參數，再結合裝藥的結構完整性分析，對固體發動機裝藥結構壽命進行預估的方法［1－2］應用較廣泛。由于在發動機的貯存過程中，固體推進劑發生了化學老化和物理老化，使得固體推進劑的力學性能發生了較大變化［3－5］。因此，在對發動機裝藥進行結構完整性分析時，固體推進劑老化參數的選取顯得十分重要。因為發動機裝藥的有限元計算結果主要受推進劑的松弛模量和泊松比的影響。其中，泊松比的微小變化會對藥柱內部危險部位的應力、應變產生較大影響［6－7］。所以，在考慮推進劑老化松弛模量變化的同時，不能忽略泊松比的影響，這樣才更符合實際情況。

本文根據Wash理論及彈性力學公式，推導了固體推進劑初始泊松比與空穴率的關系，利用推進劑空穴率的貯存試驗結果［8］，近似得到了初始泊松比的變化規律。根據加速老化法得到推進劑瞬時模量及最大延伸率的貯存變化規律，結合有限元計算方法，預估了常溫貯存下發動機裝藥結構壽命。

1 推進劑泊松比與空穴率的關系

假設固體推進劑為各向同性材料，小孔隙在推進劑內均勻分布，從細觀尺度上認為，推進劑由若干個含1個小孔隙的立方體組成，取其中1個立方體為代表性體積單元進行分析，單元的空穴率與推進劑相等，如圖1所示。

圖1 固體推進劑代表性體積單元Fig.1 Representative volume element of solid propellant

固體推進劑為時域相關性材料，在受載時，其松弛模量為隨時間變化的函數。當t=0時，即推進劑受載的瞬間，可將推進劑作為彈性體求解。由于推進劑空穴率較小，所以不考慮孔隙間的相互影響和小孔隙內部壓強，為求解小孔附近的徑向位移，可把問題簡化為壁厚很大的空心球(a?b)。當代表性體積單元受壓力載荷時，則孔隙附近瞬時徑向位移為

式中 λ和μ為拉梅常數。

式中 E0為瞬時模量;ν0為瞬時泊松比。

由 a?b，可得

令r=a，可得孔隙半徑的變化Δa為

孔隙體積的變化ΔV'為

將式(4)代入式(5)，可得

則

式中 Em、νm分別為推進劑基質的瞬時模量和瞬時泊松比。

根據 Wash 公式［9］:

式中 βeff為推進劑的等效壓縮系數;βm為推進劑基質的壓縮系數。

式中 K為體積模量;E為彈性模量;ν為泊松比。

則式(8)可轉化為

即

在對發動機進行結構仿真時，固體推進劑采用的是線性積分本構方程。固體推進劑粘彈泊松比是隨時間變化的函數，從初始值隨時間逐漸增長，最后達到接近0.5的平衡值［7］。假設固體推進劑的瞬時體積模量主要受空穴率的影響，即認為推進劑基質參數Km0和νm0為常數，根據固體推進劑的瞬時泊松比公式:

將式(12)代入式(13)，可得泊松比與空穴率的關系式:

為近似反映固體推進劑泊松比隨老化時間的變化規律，空穴率采用文獻［8］中老化試驗數值，由于推進劑為近似不可壓縮材料，未老化時泊松比較大，因此近似取此時的泊松比為固體推進劑基質泊松比，即νm0=0.499。固體推進劑泊松比隨老化年限的變化規律如圖2所示。從圖2中可看出，隨固體推進劑老化年限的增加，泊松比逐漸下降，且下降速率逐漸增加。這與固體推進劑在貯存過程中空穴率不斷增加，且增長速率逐漸增大是對應的。

2 加速老化試驗數據處理

根據航天工業標準QJ 2328A—2005，用于數據處理的3個老化數學模型分別為

式中 P為固體推進劑某一老化時刻的性能參數;P0為初始性能參數;K為與溫度相關的性能變化速率;t為老化時間。

圖2 固體推進劑泊松比隨老化時間的變化曲線Fig.2 Variation of Poisson＇s ratio vs aging time

在固體發動機的貯存過程中，藥柱的老化主要是由于粘結劑的氧化交聯及降解斷鏈影響，從整體來看，由于粘結劑的氧化交聯作用在推進劑貯存過程中占主導地位，因此固體推進劑隨貯存時間逐漸變硬，導致了固體推進劑最大延伸率的下降及松弛模量的增加。

2.1 最大延伸率

根據最大延伸率的試驗數據分布，采用式(17)對試驗數據進行處理，結合Arrhenius公式:

可得

對試驗數據進行擬合，可得

式中 A為表觀頻率因子;Ea為表觀活化能;R為玻爾茲曼常數。

2.2 松弛模量

在有限元計算時，推進劑松弛模量是以Prony級數給出:

式中 E0為推進劑的瞬時模量;E∞為平衡模量;α1=

由于Prony級數的表征參數較多，擬合Prony級數往往需大量的松弛試驗，若擬合不同貯存時間的推進劑Prony級數，則試驗成本很高。假設推進劑隨時間的松弛特征參數，即式(21)中的αi及τi基本不變，以E0的變化來反映固體推進劑老化時Prony級數的變化規律。E0的老化數學模型選用式(16)，結合Arrhenius公式，可得

對試驗數據進行擬合，可得

結合未貯存時推進劑的Prony級數:

則可知，在貯存溫度為25°C時，不同貯存年限的推進劑Prony級數曲線如圖3所示。

圖3 不同貯存時間推進劑Prony級數曲線Fig.3 Prony series of propellant with different storage time

3 有限元計算及結果分析

3.1 有限元計算模型

某發動機主要由金屬殼體、絕熱層和推進劑組成。藥柱為六角星形，根據對稱性取發動機1/12建模，采用六面體單元對發動機模型進行網格劃分。其中，發動機藥柱網格模型如圖4所示。

在計算中，主要考慮了發動機所經歷的3個載荷工況:固化降溫、彈射和點火發射。其中，固化降溫時，藥柱經歷40 h，從零應力溫度60°C降到20°C。然后，在25°C環境下貯存并發射，該發動機采用保溫彈射方式進行發射。彈射時，發動機尾部發射筒與尾罩之間瞬間產生高壓氣體，使發動機產生約10 gn的加速度載荷。點火時，發動機受內壓載荷作用，壓力峰值為6 MPa，由于發動機推力作用，發動機同時受約5 gn的軸向加速度載荷。

圖4 某固體發動機藥柱三維有限元模型Fig.4 Three dimension finite element model of a SRM grain

3.2 計算結果分析

分別對未貯存至貯存15 a間不同貯存年限的發動機進行三維粘彈性有限元計算。在固化降溫過程，采用發動機出廠的材料參數;在彈射過程及發動機點火過程，采用相應貯存年限的材料老化參數。

圖5是有限元模擬發動機貯存0、5、10、15 a后在點火發射工況下發動機的等效應變分布。由圖5可見，在發動機貯存過程中，藥柱的老化對發動機等效應變的分布規律影響不大，裝藥的危險點位于發動機前封頭附近，即圖中A點處。統計算例中不同貯存年限發動機危險點的最大Von-Mises等效應變。由于推進劑的泊松比接近 0.5，可認為 εVon與 εm近似相等［1］，將裝藥最大等效應變隨貯存時間的變化曲線與最大延伸率的變化曲線進行對比，如圖6所示。另外，為對比考慮泊松比變化與未考慮泊松比變化的計算結果，將發動機藥柱老化過程中泊松比設為定值，對發動機進行了有限元計算。

圖5 不同貯存年限發動機等效應變Fig.5 Von-Mises strain of SRM with different storage time

圖6 常溫貯存下發動機裝藥壽命預估Fig.6 Storage life prediction for SRM in normal temperature

從圖6可看出，考慮推進劑老化泊松比變化時，裝藥危險點的最大等效應變隨貯存時間的增加而增加，未貯存時為11.68%，貯存15 a后變為14.92%。未考慮泊松比變化時，裝藥危險點的最大等效應變隨貯存時間的增加而減小，貯存15 a后變為6.59%。可見，固體推進劑泊松比在貯存過程中雖然只發生了微小變化，但對計算結果影響較大，考慮與未考慮泊松比變化時的計算結果有明顯差異。

由于制造技術、貯存環境載荷及推進劑細微顆粒分布的隨機性，推進劑的最大延伸率、松弛模量等特征參數有一定的不確定性，且隨貯存年限的增加，離散性越來越大［10］。因此，在預估裝藥結構壽命時，需取一定的安全系數，本文取安全系數為1.3，結合圖6可知，發動機裝藥結構壽命為14.2 a。

4 結論

(1)分析推導了固體推進劑小孔隙空穴率與初始泊松比的關系，得到了固體推進劑泊松比隨貯存時間的變化規律，即固體推進劑初始泊松比隨貯存時間的增長而逐漸減小。在發動機的結構完整性分析中，考慮了泊松比隨推進劑老化的變化，更符合實際情況。

(2)根據加速老化試驗數據及航天工業標準，得到了推進劑最大延伸率和瞬時模量隨貯存時間的變化規律。由于固體推進劑粘結劑的氧化交聯作用，使得推進劑在貯存過程中，其最大延伸率逐漸下降，松弛模量逐漸增大。

(3)在推進劑瞬時模量和瞬時泊松比的綜合作用下，裝藥危險點的最大等效應變隨貯存年限的增加而增大，而未考慮泊松比的最大等效應變呈逐年下降趨勢。考慮與未考慮泊松比變化的計算結果存在明顯差異。取安全系數為1.3時，該發動機裝藥的貯存壽命為 14.2 a。

［1］袁端才，唐國金，李海陽，等.基于加速老化與三維粘彈性有限元分析的固體導彈發動機壽命預估［J］.兵工學報，2006，27(4):685-689.

［2］邢耀國，馬銀民，董可海.用長期貯存定期檢測法預測藥柱使用壽命［J］.推進技術，1999，20(5):39-43.

［3］Christiansen A G，Layton L H and Carpenter R L.HTPB propellant aging［J］.J.Spacecraft，1981，18(3):211-215.

［4］Kivity M，Hartman G，Achlama A M.Aging of HTPB propellant［R］.AIAA 2005-3802.

［5］Gary L.Solid propellant aging kinetics［R］.AIAA 2009-5423.

［6］趙伯華.固體推進劑粘彈泊松比的研究［J］.北京理工大學學報，1994，14(1):87-90.

［7］郝松林.高填充復合推進劑的初始粘彈泊松比［J］.固體火箭技術，1996，19(4):46-50.

［8］沈庭芳，趙伯華.固體推進劑空穴損傷的理論與實驗分析［J］.推進技術，2002，23(1):71-73.

［9］陳颙，黃庭芳.巖石物理學［M］.北京:北京大學出版社，2001.

［10］高鳴，徐廷學.固體火箭發動機藥柱可靠性及壽命預估研究［J］.固體火箭技術，2008，31(3):220-240.