一種基于ESO的導彈魯棒自動駕駛儀設計方法①

董飛垚，雷虎民，邵 雷，張金鵬

(1.空軍工程大學導彈學院，三原 713800;2.中國空空導彈研究院，洛陽 471009)

0 引言

針對飛行器控制過程中存在的干擾和未建模特性，近年來，國內外學者展開了廣泛研究［1－7］。文獻［1］基于增益調度思想設計了飛機的一種自動駕駛儀，但針對高速飛行器，采用該方法系統的快速性和魯棒性變得較差;文獻［2］依據H∞控制理論設計的導彈魯棒自動駕駛儀具有很好的魯棒穩定性能，但是其控制器形式過于復雜，限制了其實際工程應用;文獻［3］采用最優控制來保證系統的快速性和魯棒性，但是反饋所需的狀態量在實際工程中并不都能獲得;文獻［4］通過設計一種基于滑模理論的干擾觀測器來增強系統的魯棒性，但其控制律設計中需要已知系統不確定性的上界，保守性很大，且容易引起控制量的飽和問題。擴張狀態觀測器(ESO)是將系統中含有的非線性動態、模型不確定性及外界擾動等都視為擴張狀態加以觀測，其本身并不依賴于生成擾動的具體模型，也不需要直接去測量其作用，是通用的擾動觀測器［8］。

本文提出了一種基于擴張狀態觀測器的導彈滾轉自動駕駛儀設計方法，保證導彈在大機動和強干擾下具有較好的動態性能和強魯棒性。

1 非線性擴張狀態觀測器

考慮如下一類n階SISO非線性系統:

式中 x=［x1x2… xn］T表示系統的狀態;?(x)和g(x)為已知標量函數;Δ?(x)、Δg(x)和w表示未知不確定性和外界擾動;u為控制輸入;y為系統輸出。

定義d=Δ?(x)+Δg(x)+w為作用于系統的復合干擾，并將其作為系統(1)的一個擴張狀態xn+1，則系統(1)可擴展為n+1階系統:

針對上述系統，采用如下非線性觀測器(NESO):

可見，只要βi和gi選擇恰當，狀態估計值就能精確逼近實際值xi，即→xi。所以gi的選擇極其關鍵，目前大多采用如下帶有線性區的非光滑函數［9］:

其中，0 ＜μi＜1，i=1，2，…，n+1，δ＞0 為 gi切換的閾值。可以看出，函數 gi的一個重要特性是當誤差較小時，gi有較大值，相反當誤差較大時，gi具有較小值。

2 模型描述

導彈滾轉通道控制系統由速率陀螺、舵機和控制算法等組成。其中速率陀螺用來測量導彈的滾轉角速率，進而通過積分獲得滾轉角，舵機用來響應由控制算法生成的副翼偏角指令，形成副翼偏角，產生相應滾轉力矩，抑制和消除彈體滾轉。

舵機一般可用二階模型來描述:

式中 δx和δxc分別為副翼偏角和副翼偏角指令;ωA和ζA分別為舵機的自然頻率和阻尼。

根據文獻［10］，不考慮俯仰、偏航和滾轉通道耦合情況，導彈滾轉通道的剛體數學模型可寫成:

式中 γ為導彈輸出滾轉角;Kδ為導彈副翼效率系數;Kdx和Tdx分別為導彈滾轉傳遞系數和滾轉時間常數。

聯立式(5)和式(6)，可得從副翼偏角指令δxc到導彈滾轉角γ的傳遞函數:

式中 b=KδKdxω/Tdx，a0=0，a1= ω/Tdx，a2=(Tdxω+2ωAζA)/Tdx;a3=(1+2ωAζATdx)/Tdx。

考慮到空氣動力系數的不確定性，ai(i=1，2，3，4)和b并不能精確獲得，所以 ai=ai0+Δa，b=b0+Δb，其中ai0和b0表示所對應系數的標稱值，Δa和Δb表示相應的不確定性。此外，為了后續仿真驗證，給出彈性彈體和速率陀螺的模型，分別為G1(s)和G2(s):

以上模型參數的取值如表1所示，表中det為等效外界擾動。

表1 各模型參數數值表Table 1 Value of parameters in each model

3 控制算法設計及穩定性分析

為便于分析和設計，將式(7)寫成如下形式:

式中 x=［x1x2x3x4］T表示系統狀態;uc=δx為控制輸入;yp=γ為系統輸出;Bd為干擾輸入匹配矩陣;ds=φ－Δa1x1－Δa2x2－Δa3x3－Δa4x4+Δbu，表示作用于系統的復合干擾，φ為外界擾動;Ap、Bp和Cp分別為系統矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣。

Ap、Bp、Bd和 Cp表達式如下:

同式(2)，若將ds作為系統的一個擴張狀態x5，則式(10)可擴展為

其中: xpk= ［x1x2x3x4x5］T

容易判斷(Ap，Bp，Cp)可控可觀測，根據文獻［11］，若被控系統可控可觀測，用狀態觀測器估計值形成狀態反饋時，其系統的狀態反饋設計和觀測器設計可分別獨立進行。所以可先進行系統的控制算法設計。

3.1 控制算法

本文基于ESO所設計的控制算法包含兩部分，分別是針對標稱系統的最優控制項uc1和針對系統復合干擾的補償項uc2。

針對標稱系統，采用線性二次型調節器(LQR)進行控制，設計控制信號uc1，使得目標函數J取得最小值，J通常取如下形式:

式中 Q和R為所選擇的加權矩陣和加權系數。

Q陣所有元素均非負，R為大于0的實數，分別取Q 和 R 為［12］

通過求解代數Riccati方程:

便可得J取得最小值的解:

控制信號中干擾補償項uc2取

將uc=uc1+uc2代入式(10)可得

所以uc能保證系統(10)對外界擾動和自身未建模動態具有強魯棒性。

依據文獻［13］，當系統存在未知干擾和未建模動態時，利用觀測狀態設計的控制系統，其性能要優于直接利用系統實際狀態所設計的控制系統。而且在導彈的實際飛行過程中，xp和ds并不能直接獲取。為此引入ESO完成對系統狀態的估計并將估計狀態值用于狀態反饋。

結合式(3)和式(11)，取 gi(eo1)=eo1，得

式中 Hk=［β1β2β3β4β5］為待確定的觀測增益向量，通過式(17)可完成對系統狀態的估計。

3.2 穩定性分析

如上節所述，因彈性或外界擾動帶來的偏差，可在控制信號中加以補償。根據式(17)所估計狀態，控制算法為

將式(17)代入式(8)得

聯立式(18)和式(19)得

由式(20)可看出，其系統矩陣為三角塊矩陣，故其特征值僅由主對角線上各矩陣塊的特征值決定，即由Ap－BpK和Apk－HkCpk的特征值決定。

根據上節的分析，Ap－BpK的特征值均具有負實部，所以若Apk－HkCpk的特征值具有負實部，則系統(20)漸近穩定。

由以上分析可知，保證系統穩定的前提是矩陣Apk－HkCpk的特征值具有負實部，而矩陣Apk－HkCpk的特征值可任意配置的前提是(Apk，Cpk)可觀測。

下面證明(Apk，Cpk)亦可觀測。

證明:定義 ei，i=1，2，…，5 為第 i行元素為 1，其他行元素均為0的列向量，則Apk和Cpk可分別表示為

式中 z1和z2分別為的第4列和第5列。

可觀測性判定矩陣V如下所示:

不難發現，rank(V)=5，故(Apk，Cpk)可觀測。

由于(Apk，Cpk)可觀測，故矩陣 Apk－HkCpk特征值可任意配置。Hk陣參數的選取應遵循觀測器響應速度比狀態反饋系統的響應速度快的原則［8］。不難求解，依據控制算法式(14)，標稱系統的極點被配置在－30，－202，－104.24±j182.91。由于其主導極點為－30，所以將矩陣Apk－HkCpk特征值配置在－45，便可得到觀測矩陣Hk。

4 仿真結果及分析

為了便于驗證本文所設計的控制算法的優越性，分別在以下3種情形下進行仿真:情形一為標稱狀態;情形二為僅考慮彈性干擾;情形三為同時考慮彈性干擾、外界擾動和陀螺的動態特性。仿真中模型參數取表1中的數值，系統初始狀態設為:xp0=［5° 0 0 0］，仿真結果見圖1～圖4。

針對標稱系統，利用系統的實際狀態進行反饋，采用LQR控制，系統具有良好的動態性能，消除5°初始滾轉角所需調節時間不大于0.15 s，且副翼偏角小于其最大容許值，如圖1(a)所示;但考慮彈性干擾時，若仍采用LQR控制，系統將不穩定，如圖1(b)所示。

基于Luenberger全維狀態觀測器(LO)對系統狀態估計，并將估計值用于LQR控制中，當僅考慮彈性干擾時，系統漸近穩定，如圖2(a)所示;但若同時考慮彈性干擾和外界擾動的情況下，基于LO狀態觀測器的LQR控制不但不能消除初始滾轉角，反而使其增大到超過10°，如圖2(b)所示。

圖1 采用LQR時γ和δx變化曲線Fig.1 Curves of γ and δxwith LQR

圖2 采用LQR+LO時γ和δx變化曲線Fig.2 Curves of γ and δxwith LQR+LO

圖3 情形三下采用LQR+ESO時γ和δx變化曲線Fig.3 Curves of γ and δxwith LQR+ESO in No.3 condition

圖4 情形三下ESO系統狀態估計值與實際值比較圖Fig.4 Comparison between estimated value with ESO and actual value in No.3 condition

圖3和圖4為同時考慮彈性干擾、外界擾動和陀螺的動態特性情況下的部分輸出曲線，可看出，ESO狀態觀測器能準確估計系統的實際狀態和復合干擾，基于ESO估計狀態的控制算法能消除彈性和外界擾動等因素帶來的影響，保證滾轉角在最短時間內收斂于零，且副翼偏角在其最大容許值以下。此外，在情形三下，取表1中模型參數40%的攝動值，基于ESO估計狀態的所設計的LQR控制算法同樣具有較好的控制效果，但由于篇幅所限，這里未能給出相應曲線。

5 結論

本文設計了一種基于ESO的導彈滾轉魯棒自動駕駛儀設計方法。仿真結果表明，在同時考慮彈性干擾、外界擾動和陀螺動態特性的情況下，所設計ESO狀態觀測器能準確估計系統的狀態及干擾，控制算法能消除復合干擾帶來的影響，具有良好的動態特性和強魯棒性，從而克服了傳統設計方法的缺陷，能保證導彈在高機動和強干擾下滾轉通道的快速穩定。

［1］Lee C H，Shin M H，Chung M J.A design of gain-scheduled control for a linear parameter varing system:an application to flight control［J］.Control Engineering Practice，2001，32(9):11-12.

［2］Tan F，Duan G R，Zhao L J.Robust controller design for autopilot of a BTT missile［C］//Proc.of the 6th World Congress on Intelligent Control and Automation.2006(21-23):6358-6362.

［3］Kumaresan N，Balasubramaniam P.Optimal control for stochastic linear quadratic singular system using neural networks［J］.Journal of Process Control，2009，19(7):482-488.

［4］Hall C E，Shtessel Y B.Sliding mode disturbance observerbased control for a reusable launch vehicle［C］//AIAA Guidance Navigation and Control Conference and Exhibit.Reston:AIAA，2005:1-26.

［5］White B A，Bruyere L，Tsourdos A.Missile autopilot design using quasi-Lpv polynomial eigenstructure assignment［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2007，43(4):1472-1483.

［6］Batool Labibi，Horacio J M，Chen T W.Decentralized robust output feedback control for control affine nonlinear interconnected systems ［J］.Journal of Process Control，2009，19(3):865-878.

［7］Trottemant E J，Scherer C W，Weiss M，et al.Robust missile feedback control strategies［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2010，33(6):1837-1846.

［8］韓京清.自抗擾控制技術［M］.北京:國防工業出版社，2008:183-197.

［9］Gao Z Q，Huang Y，Han J Q.An alternative paradigm for control system design［C］//Proceedings of IEEE Conference on Control and Decision.Orlando，2001:4578-4585.

［10］錢杏芳.導彈飛行力學［M］.北京:北京理工大學出版社，2008:248-255.

［11］胡壽松.自動控制原理［M］.北京:科學出版社，2005:489-491.

［12］Nesline F W，Wells B H，Zarchan，P.Combined optimal classical approach to robust missile autopilot design［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，1981，4(3):316-322.

［13］Zaks S H，Brehove J D，Corless，M J.Control of uncertain systems with unmolded actuator and sensor dynamics and incomplete state information ［J］.IEEE Transcations on Systems.Man and Cybernetics，1989，19(2):241-257.