帶落角約束的自適應比例制導律①

張 旭，雷虎民，曾 華，肖增博，葉繼坤

(空軍工程大學導彈學院，三原 713800)

0 引言

制導律的設計是制導武器實現精確制導的關鍵技術。許多對地制導武器在命中目標時，不僅希望得到最小的脫靶量，還希望命中目標時彈體姿態最佳，從而使戰斗部能夠充分發揮最大效能，取得最佳毀傷效果［1－2］。Kim M 等［3］在 1973 年就推導了一種彈道導彈攻擊地面目標的帶有落角約束的最優制導律，它對有關期望姿態角的彈目幾何關系方程進行了線性化，但因非線性彈目幾何關系方程是在慣性坐標系中設計的，當導彈以較大的姿態角攻擊機動目標時，文中所給出的線性化結果不能保證導彈能有效命中目標。文獻［4］設計了一種基于落角約束的全向制導律，但僅對前向攻擊和垂直攻擊進行了仿真，且導彈發射時的姿態角對落角誤差影響很大。文獻［5］設計了一種帶攻擊時間和攻擊角度約束的變結構制導律，但其制導律形式過于復雜。文獻［6］設計了一種對攻擊角度非直接控制的偏置比例制導律，但只能對靜止目標表現出優良特性，在攻擊機動目標時落角誤差很大。

本文給出一種帶有落角約束的自適應比例制導律，該制導律通過對導航系數的自適應調整實現對機動目標的有效攔截，與帶落角約束的傳統比例導引法相比，它不僅可滿足終端攻擊角約束，而且可實現全向攻擊。

1 數學模型與問題描述

1.1 導彈的數學模型

(1)運動學模型［7］

式中 vm、θm、am分別為導彈速度、方向角和法向加速度;xm、ym分別為導彈橫向和縱向坐標。

(2)實際模型［8］

其中，阻力模型為

式中 T和D分別為導彈的發動機推力和阻力;D0為零升阻力;Di為誘導阻力;m為導彈質量;g為重力加速度;CD0和K分別為零升力阻力系數和誘導阻力系數;Ar為展弦比;e為效率因子;ρ為大氣密度;S為參考面積;Q為來流的動壓頭。

1.2 導彈-目標的相對運動模型及問題描述

為便于推導證明以說明設計思想，本文考慮攔截平面內的彈目相對運動，如圖1所示。

圖1 彈目相對運動關系Fig.1 Relative motion geometry of missile and target

圖1中，將導彈和目標均視為質點，分別用M和T表示，它們的連線(LOS)為視線;R為彈目距離;q為視線角;vm和vt分別為導彈和目標的速度;θm和θt分別為導彈和目標的方向角;am為導彈法向加速度;θmf為導彈終端攻擊角。

傳統比例導引法的定義如下:

對式(14)求積分，可得

由圖1可知，沿著和垂直于LOS的相對速度分別為

為了攔截到目標，垂直于視線的相對速度vθ應當在末端趨向于零，即

由式(17)、式(18)可得終端視線角qf:

其中，p為目標速度與導彈速度的比值，即

由式(15)和式(20)可得導航系數N的表達式:

由于希望導彈以任意角度命中目標，故攻擊角θmf∈［－π，0］。經典比例導引法［9］(N≥3)可以一定的攻擊角度準確命中目標，但無法實現對地目標的全向攔截，因此本文提出了一種自適應比例制導律，以期在導彈攻擊目標的過程中，通過對N進行自適應調整就可實現對機動目標帶落角約束的攔截。

2 帶落角約束的自適應比例制導律設計

2.1 基于運動學模型的自適應比例制導律設計

針對上述經典比例導引法無法實現對地目標進行全向攔截的問題，本節提出了自適應比例制導律，如圖2所示。在導彈飛行初始階段，導航系數N是彈目初始幾何關系的函數，當導彈到達點2時切換到經典比例導引(N=3)，從而實現對目標的有效攔截。

假設目標在地面上運動，且θt0=0，重寫式(21)，可得

對式(22)求解，可得終端方向角θmf，當N→∞時，θmf=θ0+arcsin( －psinθ0)。令 N=3，對式(22)進行簡化，可得

由于N→∞僅是一種特殊情況，故有

圖2 自適應比例導引示意圖Fig.2 Adaptive proportional navigation

由圖2可知，在導彈發射時刻，使用比例導引法可獲得的攻擊角度如陰影1所示;當導彈到達點2后，可獲得的攻擊角度變為陰影2所示的區域;自適應比例導引的目的就是逐漸把導彈引向點3，這樣可獲得的攻擊角度變為陰影3所示的區域，把所有陰影區域聯合起來，就可得 θmf∈［－π，0］，這個結論將在后面的定理中進行證明。

由圖2還可知，自適應比例制導律使導彈從點1飛往點3，若導彈轉至比例導引(N=3)，則θmf=－π。令 θt=0，θmf= －π，根據式(19)，可得 qf= －π，將該值代入式(21)，可得在點3處的方向角:

令θm=0和q=－2π/3，以便在攔截終端滿足式(25)。這樣，為了實現對機動目標的攔截，即導彈從(q，θm)=(0，θm0)(見圖 2 點 1)到(q，θm)=( －2π/3，0)(見圖2點3)，可得導航系數N:

由式(14)和式(26)可得導彈的指令加速度:

根據以上推導，有下列自適應比例導引定理:

定理1:在自適應比例導引彈道上，視線角速率始終小于零，即

根據式(27)，有

式(28)對時間進行積分，可得

對機動目標，令 θt=0，有

將式(29)代入式(30)，可得

在對地攻擊過程中，q∈［－2π/3，0］，θm0∈(0，π)，p≤1，將其代入式(31)，可得

把式(32)代入式(31)，可得

定理2:在自適應比例導引彈道上，導彈的終端攻擊角可覆蓋所有角度，即

式(35)對q求微分，可得

式(37)對q求微分，化簡可得

式(29)對q求微分，可得在自適應比例導引彈道上:

將式(39)代入式(38)，可得

根據式(36)和式(40)，可得

在自適應比例導引彈道的初始點(見圖2點1)，θ=0，根據式(35)，可得:u2(q=0)=0，它在導彈攻擊目標時是最大的可能攻擊角，故

在自適應比例導引彈道的終端，有q=－2π/3，θm=0，q和θm在這個點上滿足式(37)，因此:

它在導彈攻擊目標時是最小的可能攻擊角，故

根據式(41)、式(42)、式(44)，可得

由定理1、2可知，對于在區間［－π，0］內的任意角度，在自適應比例導引彈道上都存在一個點使N≥3，從而達到期望的攻擊角度。本文給出的自適應比例制導律當滿足式(21)的N＜3時，使用式(27)所給出的指令加速度，當N≥3時，N就取值為3。因此本文所提出的自適應比例制導律可歸納如下:

式中 ts是式(θmf－θm)/(qf－q)的值增加至3的時刻，定義為轉換時間。

qf由下式給出:

2.2 基于實際模型的自適應比例制導律設計

根據文獻［8］所給出的導彈實際模型，在導彈發射后前1.5 s，導彈一直處于自主制導狀態，此時N=0;當t=1.5 s時，導彈助推段工作結束，因此式(24)可修正如下:

式中 θmc和qmc分別是助推段結束時導彈的方向角和視線角。

由式(52)可知，在導彈飛行過程中，彈目速度比p不斷變化，從而引起qf的不斷變化，這樣對于實際模型而言，(θmf－θm)/(qf－q)的值會減小甚至小于最小值2(1+p)［10］。因此，在導航系數N的選取上，必須包含其允許最小值。考慮重力因素的影響，修正后的自適應比例制導律如下所示:

3 仿真驗證

為體現所給自適應比例制導律的基本性能及其實際應用價值，首先對導彈空-地攻擊的運動學模型進行了仿真，并對不同攻擊角度進行了對比分析;然后針對垂直俯沖攻擊的實際作戰情形，對導彈地-地攻擊的實際模型進行了仿真分析。仿真中指令更新周期為5 ms，并考慮自動駕駛儀一階環節為

式中 τ為時間常數;ama為導彈加速度。

3.1 運動學模型

假設空-地導彈攻擊機動目標，導彈初始位置為xm=0 m，ym=5 000 m，速度 vm=300 m/s，極限過載為±10g，時間常數 τ=0.2 s;目標初始位置為 xt=5 000 m，yt=0 m，速度 vt=100 m/s，導彈初始發射角為30°，則視線角為 －45°。導彈分別以 qf= －45°、－60°、－90°、－150°的終端約束角進行攔截，目標在地面上做爬坡運動，加速度at=2 m/s2。仿真結果如圖3所示，4種情況的脫靶量幾乎為0，可忽略不計，攔截角度誤差分別為 0.19°、0.01°、0.02°、0.02°。

由圖3(a)可知，隨著設定的終端攻擊角θf(絕對值，下同)的不斷增大，彈道軌跡越來越高，尤其當θf＞90°時，導彈必須繞到目標的后方去才能達到預定的攻擊角度。因此，θf越大，飛行時間越長，彈道也越彎曲;同時，由圖3(a)、(d)可知，當彈目初始幾何關系滿足時，隨著θf的增大，導彈沿著初始彈道飛行的時間就越長，從而導致轉換時間ts也不斷增大，而當彈目初始幾何關系滿足時，導航系數緩慢減小，并在命中目標前8 s進行了自適應切換;當導航系數經過ts自適應切換之后，導彈的法向加速度就開始逐漸減小(見圖3(c))，并在碰撞點附近保持在零點附近的小范圍內，這種過載變化的優點是在導彈末制導前段充分利用自身機動能力，當彈目距離比較接近時過載迅速減小，從而保證了其較高的制導精度。

圖3 運動學模型仿真結果Fig.3 Simulation results of kinetics model

3.2 實際模型

假設地-地導彈攻擊機動目標，導彈初始位置為xm=0 m，ym=0 m，速度 vm=300 m/s，極限過載為±10 g，時間常數τ=0.2 s;目標初始位置為xt=5 000 m，yt=0 m，速度 vt=100 m/s，導彈初始發射角為 30°，則視線角為0°。考慮角度約束在實戰中的應用，令導彈對地面機動目標進行垂直俯沖攻擊，即θf=－90°，目標在地面上做爬坡運動，加速度at=2 m/s2。仿真結果如圖4所示。脫靶量為0.005 4 m，落角誤差為0.03°。

雖然導彈實際模型地-地攻擊與常速模型空對地攻擊差別比較大，但在制導特性上仍有相似之處。由圖4可知，彈道軌跡明顯分為拉起段和垂直俯沖攻擊段，在拉起段導彈高度不斷增大，在達到轉換條件之后導航系數進行自適應調整，隨后導彈高度開始降低，并進入垂直俯沖攻擊段。

導航系數N在助推段為0，之后增大為0.25，當t=16.34 s時，導彈飛行時間大于轉換時間，N增加至3，表現出明顯的自適應變化特性。當N=3時，導彈法向加速度迅速增大，但并沒有達到飽和，之后又逐漸減小，在導彈即將命中目標時接近于零。這使導彈在遠離目標時能夠充分利用自身的可用過載，而在攔截末端過載接近于零，大大減小了對執行機構的要求。同時，由圖4的導彈速度曲線和質量曲線可知，雖然在實際模型下導彈的質量、速度等參數都是時變的，但所設計的自適應比例制導律仍能以極小的落角誤差精確命中機動目標，充分表明該制導律可滿足實際作戰的要求，具有一定的工程應用價值。

圖4 實際模型仿真結果Fig.4 Simulation results of actual model

3.3 與帶落角約束的傳統比例導引法的比較

仿真中目標在地面上做沿著飛行彈道法向的正弦加速機動:at=atmaxsin(πt/4)，其中 atmax=2 m/s2，其他初始條件與3.1節完全相同，則帶落角約束的傳統比例導引法［9］所能得到的攻擊角度為范圍為

即 θf∈( －120°，－45°)。仿真結果如表1 表示。

表1 本文方法與傳統方法的仿真結果對比Table 1 Comparison between simulation results in methods of this thesis and tradition

由表1可知，基于落角約束的傳統比例導引法在其攻擊角度范圍內尚能以較小的脫靶量命中目標，但它只能針對靜止目標表現出較小的落角誤差，對于機動目標，所產生的落角誤差非常大;在其攻擊角度范圍之外，當θf=－45°時，N→∞，此時指令加速度趨于無窮，導彈已無法命中目標，當 θf= －150°時，N=1.71 ＜2，此時導彈雖然以很大的脫靶量和落角誤差命中目標，但其指令加速度在末端已趨于無窮大。因此，基于落角約束的傳統比例導引法既不能實現全向攻擊，又不能在其可攻擊角度范圍內實現對終端攻擊角的落角約束。

由表1還可知，基于落角約束的自適應比例制導律不僅可實現全向攻擊，而且能夠保證較小的脫靶量和落角誤差;同時，自適應比例制導律的攔截時間大于傳統比例導引法，這是因為其為了實現落角約束，必須把彈道抬高到一定高度，而抬高彈道勢必要花費更多的時間，雖然基于落角約束的傳統比例導引法彈道相對較低，但它對于機動目標基本上已經失去了落角約束的能力。

4 結束語

本文詳細推導了滿足終端落角約束的自適應比例制導律。該制導律設計了導航系數的自適應調整函數，與帶落角約束的傳統比例導引法相比，它不僅可實現對機動目標的全向攔截，而且能夠以較小的脫靶量和落角誤差精確命中目標;此外，自適應比例制導律還有一個優點，就是它不僅適用于導彈常速模型，而且對導彈實際模型也表現出優良的品質，滿足實戰要求，具有一定的工程應用價值。由于在制導律的設計及仿真中沒有考慮到量測數據中噪聲的影響，因此把制導信息獲取引入制導律設計將是下一步研究的主要方向。

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