基于最小一乘準則的GM(1,1)模型邊值分析

劉衛鋒，何 霞

（鄭州航空工業管理學院 數理系，鄭州 450015）

0 引言

由GM(1,1)模型的白化微分方程可知，GM(1,1)模型的精度與參數a,u有著極大的關系，為此，文獻[1-6]對如何確定a,u作了研究.而文獻[7]通過對生成序列預測值x(1)(k)，原始序列預測值x(0)(k)的表達式進行分析，發現邊值條件的處理直接關系到預測效果，從而給出了邊值修正形式x(1)(1)=x(0)(1)+b，其中b為修正項.同時給出了使用均方誤差和最小準則確定邊值修正的計算方法，即

準則Ⅰ 選取b，使得生成序列新預測值的誤差在最小二乘意義下最小，即

準則Ⅱ 選取b，使得原始序列新預測值的誤差在最小二乘意義下最小，即

顯然這兩個準則皆使用最小二乘準則來確定邊值修正項b，但是文獻[8]指出，在最小二乘準則下，異常數據的誤差會得到放大，從使得穩健性較差，并且在理論上加以證明，這說明了文獻[7]中確定邊值修正項的兩個方法并不是理想的準則。

為此，本文提出將上述基于最小二乘的兩個準則改為穩健性較好的最小一乘準則，從而得到基于最小一乘準則的確定邊值修正項的灰色GM(1,1)模型.同時，本文給出了基于最小一乘準則的確定邊值修正項的LINGO程序，從而使得計算極易實現.最后，本文的計算實例表明，基于最小一乘準則求解邊值修正項的可行性與有效性，從而拓展了灰色GM(1,1)模型的適用范圍。

1 基于最小一乘的邊值修正項確定

1.1 邊值修正項確定準則

針對生成序列和原始序列，選取穩健性較好的最小一乘準則來確定邊值修正項.

準則1選取b，使得生成序列新預測值的誤差在最小一乘意義下最小，即

準則2選取b，使得原始序列新預測值的誤差在最小一乘意義下最小，即

1.2 邊值修正項確定的LINGO程序

盡管利用最小一乘準則確定邊值修正項具有較好的穩健性，但是求解最小一乘問題確實一個難點，為此，我們使用LINGO程序來確定邊值修正項.

基于準則1的LINGO程序：

2 計算實例

仍然選擇文獻[7]中全國電視機產量作為研究對象.原始數據為X(0)=(3.23,6.94,10.07,17.70,18.13,20.05,48.77,132.14,247.92,517.40,553.74)。

現根據準則1和準則2兩種情況來求解修正項b，進行GM(1,1)模型分析。

第一種情況，以準則1求出邊值修正項b=-27.04774，還原值為x(0)(k)=4.75039e0.482(k-1)。

第二種情況，以準則1求出邊值修正項b=-27.78898，還原值為x(0)(k)=4.46690e0.482(k-1)。

現將根據準則1和2得到的GM(1,1)模型計算結果與文獻[7]中根據準則Ⅰ和Ⅱ及傳統GM(1,1)模型的計算結果列入表1進行對比.

表1計算結果顯示，使用文中的兩個最小一乘準則得到的模型的平均相對誤差均比傳統GM(1,1)模型和兩個基于最小二乘準則建立的GM(1,1)模型大大降低，同時最大相對誤差也均比傳統GM(1,1)模型和兩個基于最小二乘準則建立的GM(1,1)模型有所降低，這說明了最小一乘準則確定邊值修正項比最小二乘準則有一定的優勢。

表1 模型計算結果比較

3 結語

(1)使用最小一乘準則計算灰色GM(1,1)模型的邊值修正項，建立了具有較好穩健性的灰色GM(1,1)模型，提高了灰色GM(1,1)模型的精度，拓廣了灰色GM(1,1)模型的適用范圍。

(2)給出了基于最小一乘準則的邊值修正項的LINGO程序，使得邊值修正項的求解易于實現。

(3)計算實例表明，基于最小一乘準則的邊值修正項的灰色GM(1,1)模型具有更高的精度，從而說明了最小一乘準則確定邊值修正項的可行性與有效性，同時也說明了最小一乘準則比最小二乘準則有一定的優勢。

[1]鄧聚龍.灰色系統理論教程[M].武漢：華中理工大學出版社，1990.

[2]劉思峰,黨耀國,方志耕等.灰色系統理論及其應用[M],北京:科學出版社，2010.

[3]莊恒揚.GM(1,1)建模機理與應用條件分析及其改進方法[J].系統工程理論方法應用.1993,2(3).

[4]羅榮桂，陳煒.灰色模型的一點改進及應用.系統工程理論與實踐.1988,8(2).

[5]穆勇.灰色預測模型參數估計的優化方法[J].青島大學學報.2003,16(3).

[6]田林亞,趙小飛,何習平.灰色模型GM(1,1)的穩健算法及其應用[J].吉首大學學報（自然科學版）2006,27(4).

[7]張輝,胡適耕.GM(1,1)模型的邊值分析[J].華中科技大學學報.2001,19(4).

[8]馮守平.全最小一乘法[J].安徽大學學報（自然科學版）.2009,33(3).