非線性索單元等效多體動力學模型研究

楊志軍 馮文賢 陳 新

廣東工業大學，廣州，510006

0 引言

纜索單元在工程領域有著廣泛的應用，如橋梁拉索、起重拉索、運輸索道等。纜索的運動方程為強非線性的偏微分方程，直接求解需要很大的計算量。很多文獻用有限元法來求解繩索在外力作用下偏離平衡位置時的變形應力及動態響應[1－4]。應用有限元法時，必須有足夠的約束條件，且不能發生剛體運動。繩索基本是柔性體，抗彎曲能力很小，在約束條件下繩索受外力時，沿繩索方向發生彈性變形，而沿法線方向運動卻不受繩索的彈性限制，易出現大變形情況，必須考慮幾何非線性。文獻[3-4]從多體理論出發，提出計算繩索動力學的有限段模型，這種方法將繩索離散成為一系列鉸接剛性繩段組成的多體系統，即用一系列具有不同幾何物理參數的剛性繩段近似無限自由度的繩索，應用多體理論求解[5]。有限段方法的有效性在于它可以近似模擬繩索的輪廓形狀，保持原有系統的質量分布特性，并可以采用多體系統中的剛體接觸模型，求解起重和索道過程中繩索與驅動輪之間的接觸關系。對于彈性索，李曉平等[6]在繩段間引入彈簧阻尼，并將多體運動力學和彈性力學相關理論結合起來，提出了采用鉸接彈性段組成的多體模型，對彈性的處理效果類似于考慮了幾何非線性的桿單元有限元法，可以處理繩索大范圍的運動響應。對于預張緊橋梁拉索，文獻[7]提出了非線性有限元模型，并在ABAQUS軟件中進行了仿真。

客運索道中的拉索同樣存在張力，由于工作過程中索道除了彈性變形，還需要做剛體運動，并與驅動輪進行接觸，屬于多體動力學范疇。ADAMS是多體動力學典型的仿真軟件，但它不支持柔索單元。因此本文根據預張力非線性索單元模型，推導出繩索之間的連接力，將繩索離散成直徑相等的圓柱小段，段之間用力連接。為了保證位移相容性，增加連接點扭矩和阻尼的聯系，防止突變角位移的突變。將等效模型在ADAMS中進行了仿真，并通過計算得出了預張力鋼絲繩的頻率、振幅與張力的關系，驗證了等效多體動力學模型的有效性。

胃切除術引起的體內神經-內分泌紊亂可導致繼發性PEI[8]。胃切除患者體內碳酸氫鹽和脂肪酶分泌顯著降低。胃部分切除患者 PEI的發生率約70%，全胃切除患者PEI發生率高達100%[9]。

1 非線性索單元模型

設索單元是單向受力構件，隨著應變的非線性增大，索力也呈非線性增大。在三維索單元計算中，坐標x、y、z和位移u、v、w 的變量表達式為[7]

式中，i、j均為節點編號。

應變公式為

結構運動方程為

索單元的質量矩陣為

收獲的薯塊，運輸前最好間隔一定時間使薯塊表面干燥后、再及時裝筐（一聲），裝筐時要輕拿輕放，避免薯皮大量擦傷或碰傷，不能及時運走的筐，應該用薯秧蓋嚴壓實，防止在陽光下暴曬而灼傷塊莖。

式中，S為截面面積；E為彈性模量；F0為初始張力。

二十而南游江、淮，上會稽，探禹穴，闚九疑，浮于沅、湘；北涉汶、泗，講業齊、魯之都，觀孔子之遺風，鄉射鄒、嶧；戹困鄱、薛、彭城，過梁、楚以歸。于是遷仕為郎中，奉使西征巴、蜀以南，南略邛、笮、昆明，還報命。

在總體坐標下，單元剛度陣為

通過引入彎曲剛度，建立的旋轉自由度的受力聯系，在線性（逐步加載）受載和運動范圍內，可以保證位移的相容性。

索單元的節點質量為

式中，L為索單元的長度。

法可依，有據可循。轉移支付立法也要跟上，進一步科學界定專項轉移支付和一般轉移支付的內涵，真正發揮專項轉移支付宏觀調控的作用，同時發揮一般性轉移支付彌補地方一般性公共支出的作用。推進轉移支付的立法能夠真正規范轉移支付制度，也能真正在財政資金轉移的過程中，將事權和支出責任下沉的渠道關閉。最后，還應及時探究并推進政府破產法，這是中央和地方財政關系重要的一環，地方財政發生重大危機，中央政府究竟怎么選擇？如何把中央不救助原則落到實處？只有破除地方政府對中央政府的依賴性，才能夠有效促進地方政府發債的合理性和規范性。■

式中，F為作用在結構上的外力；u為結構位移；M為總體剛度矩陣；K為總質量矩陣。

在不斷變化的索道中求解該運動方程，得到節點的位移值。

組織相容性抗原在角膜上皮細胞、基質及內皮細胞均有表達。WHITSETT等[7]的研究結果表明，在年輕人的角膜中，這些抗原含量較年長人多。而PALAY等[8]的研究發現，來自年輕人的角膜植片在用于成年人的角膜移植術與發生排斥反應有很大的相關性，以此間接說明，移植排斥可能與供受體的年齡相關。然而在本次研究中，沒有發現供受體年齡與角膜排斥概率有明顯相關性。同時，也有一些文獻認為供受體超過40歲，仍然是排斥發生的一個潛在危險因素[9]。

該單元模型已經被應用到有預緊力的荊州長江大橋斜拉橋的計算分析中，并證明了結果是可靠的[7]。在索道中，也存在有預緊力的鋼絲繩，鋼絲繩與繃輪、驅動輪、從動輪之間是通過摩擦進行傳動的，屬于多體動力學分析范疇。ADAMS是出色的多體動力學仿真軟件，但它沒有非線性索單元模型，因此需要根據非線性索單元模型進行等效多體動力學建模。

2 等效多體動力學模型

根據單元位移法，可以求出x、y、z三個方向的等效剛度。在ADAMS中，彈性連接是小位移假設，不適合于索單元等大變形問題。但ADAMS提供通用力連接，其中類軸襯選項可以模擬彈性連接，只需給出連接力的方程即可。索道離散剛體等效動力學模型如圖1所示。

索的張力為

圖1 預張力索多體動力學模型

根據非線性索單元的單元剛度矩陣，列出等效連接力如下：

離散后的鋼絲繩每一小段有12個自由度，總自由度數為12n（n為離散單元數）。與有限元法不同，單元的力連接并不減少自由度方程數，只是建立了相連節點的受力平衡關系，并不能保證位移（特別是角位移）的相容性。因此，需要增加連接點轉矩T和扭轉剛度KT與阻尼CT的聯系：

式中，θji為單元的j節點與另一個單元i節點的夾角為轉動速度。

防止突變角位移的突變。

其中，單元剛度矩陣的子矩陣k3×3分別由線性和非線性矩陣項組成：

3 非線性索道張力下的振動分析

為了驗證預張緊鋼絲繩等效多體動力學模型的有效性，建立了長為20m、半徑為8mm，且兩端鉸接的一段鋼絲繩模型。每50mm離散成一段剛體，共有400個單元。所用材料為鋼，鋼絲繩拉伸時的彈性模量為110GPa。對不同張力下的運動情況進行分析，線性加載時間為1s，一共分析了5s內的受力情況（圖2中示出了0～2.5s的情況）和運動情況（圖3中示出了0～2.5s的情況），振動頻率由2～5s內穩態響應曲線經過傅里葉變換后的頻譜分析得到（圖3b）。張力取不同的值，得到的分析結果列于表1。

FastEthernet0/0 128.1 128 19 FWD 0 4096 cc00.1ca0.0001 128.1

圖2 張力為8kN下的拉力曲線

圖3 張力為8kN下的振動幅值曲線和頻譜

表1 鋼絲繩在不同張力下的振動情況

3.1 頻率與鋼絲繩張力的關系

從表1數據中，繪出頻率與張力的關系，并通過曲線擬合，得出擬合曲線，如圖4所示。可以看到，半徑為8mm、長為20m鋼絲繩的振動頻率與張力呈指數函數關系f＝0.6201F0.5072，與理論解y＝ax0.5（a為系數）相符。

綜上所述，格魯吉亞首都第比利斯爆發重大群體性突發事件的原因相當復雜，絕非單一原因。需要指出的是，許多人稱與群體性事件都“是自發的”，“并沒有什么事先的預謀。”[11](P132)事實并不像有人猜測的那樣：“青年人是受比較年長的組織者操縱”。[4](P101)即使時隔45年之后，曾經自發參與當年游行示威的人在2001年春天俄羅斯的電視轉播中還這樣解釋自己的行為：“我們不能不到廣場去，大家都在那里！”[14]

圖4 頻率與張力的關系（f＝0.6201F0.5072）

3.2 振幅與鋼絲繩張力的關系

同樣，繪出振幅與張力的關系，并通過曲線擬合，得出擬合曲線如圖5所示。可以看到，半徑為8mm，長為20m鋼絲繩的振幅與張力呈指數函數關系A＝3513.1F－0.5697，符合實際情況。

圖5 振幅與張力的關系（A＝3513.1x－0.569 77）

將創建預張力索道等效動力學模型方法編寫成程序，并生成ADAMS軟件可執行的命令文件，再運用到本文所述的非線性索道單元等效動力學模型應用與試驗索道多體動力學分析中，得到的動力學模型如圖6所示。

圖6 試驗索道整體動力學模型

4 結語

本文建立了非線性索單元的多體動力學等效模型，為索道整體的多體動力學仿真提供了依據。在ADAMS中建立了20m預張力鋼絲繩模型，通過多體動力學仿真，得到了不同張力下的鋼絲繩振動頻率和振幅，并分析了振動頻率、振幅與張力的關系。本文結論為索道系統的多剛體動力學仿真提供了依據，也為ADAMS對帶傳動、鏈傳動等非線性單元的仿真提供了參考。

[1]丁虎.軸向運動梁橫向非線性振動建模、分析和仿真[D].上海：上海大學，2008.

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[7]莊茁，由小川，廖劍暉，等.基于ABAQUS的有限元分析和應用[M].北京：清華大學出版社，2009.