失效模式相關的機械結構可靠性的Copula分析方法

韓文欽 周金宇 孫奎洲

江蘇技術師范學院，常州，213001

0 引言

在實際工程中，機械結構系統存在多種失效模式，各失效模式的功能函數有相同的隨機載荷和幾何參數，而且這些載荷、尺寸和材料性能參數具有不確定性，導致機械結構各失效模式間具有相關性[1－2]。對于具有多個失效模式或多個損傷機制的同一構件，如果在系統可靠性分析中忽略失效相關性，常常會導致較大誤差。因此，定量分析失效相關性，基于失效相關的內在機制進行系統概率分析，對具有相關失效模式的結構系統進行可靠性理論研究尤為重要。

Ditlevsen[3]于1979年導出了結構系統失效概率的窄界限范圍公式，當系統失效模式數n較大時，該方法計算繁瑣，文獻[4]應用Ditlevsen窄界限范圍公式計算了結構系統的可靠度。Monte Carlo法在結構系統可靠度計算中被認為是一種準精確的計算方法[5]。方向重要抽樣模擬法和β－球面外的截尾正態重要抽樣模擬法可以獲得系統失效概率的精確解[6]，從而可以驗證其他計算系統失效概率方法的精度，這兩種模擬法每一次抽樣后都需要進行有限元分析才能夠獲得極限狀態函數值，其計算量很大。文獻[7-8]提出的計算結構系統可靠度方法通過線性相關系數ρ把系統分為幾個階段，隸屬于某個階段的系統可靠度取平均值，其結果為近似解。

作為統計分析的新工具，Copula能以簡潔、靈活的函數形式實現多元隨機變量的概率建模，可以由多種邊際分布函數來推求聯合分布函數，構造隨機變量間的相關結構，刻畫隨機變量之間統計相關的非線性特征。Copula在金融保險、水文分析等領域的相關分析的應用上得到迅速發展[9－12]。本文針對具有相關失效模式的機械結構系統，初步利用混合Copula函數對機械零部件結構系統進行可靠性建模和分析，為具有相關失效模式的機械機械結構系統可靠性分析提供新思路。

1 Copula函數簡介

Copula理論基于 Sklar定理[13]：功能函數，令 H 為k維聯合分布函數，其邊緣分布函數分別為F1，F2，…，Fk，則存在唯一的k－Copula函數C使得對于

可見，Copula可把多維隨機變量Yj的聯合分布函數H（·）顯式表達為所有一維邊緣分布函數Fk（X）的連接函數C，Copula函數能獨立于隨機變量的邊緣分布反映隨機變量的相關性結構，通過分別獨立分析變量間的相關性結構和變量的邊緣分布來研究其聯合分布，其中相關性結構用Copula函數來描述。Copula函數的優點在于任意邊緣分布經過Copula函數連接都可構造成聯合分布，而且還可以刻畫隨機變量之間的復雜非線性相關結構。

Copula函數的種類很多，下面主要介紹Archimedean族的Copula函數。Gumbel Copula函數為

Clayton Copula函數為

以上兩種Copula函數，當參數α→1，θ→0時，隨機變量μ、ν趨于獨立；當α→∞、θ→∞時，隨機變量μ、ν趨向于完全相關；兩種Copula函數的概率密度見圖1。

Gumbel Copula函數對變量在分布上尾處的變化十分敏感，可用于描述具有上尾相關特性的變量之間的相關關系，若隨機變量間的相關結構可以由Gumbel Copula函數來描述，就意味著在分布的上尾變量間具有更高的相關性，對上尾擬合較好 ，但對下尾擬合較差。Clayton Copula函數對變量在分布下尾處的變化十分敏感，可用于描述具有下尾相關特性的變量之間的相關關系。

機械零部件各失效模式間具有非對稱相關模式，很難用一個簡單的Copula函數來全面刻畫失效模式間的相關關系，因此有必要構造一種更為靈活的Copula函數以描述不同失效模式間的相關關系。本文選用由Gumbel和Clayton兩個Copula函數的線性組合構造混合Copula函數，用這兩種典型相關模式的組合反映失效模式間的相關變化情況。混合Copula函數的基本形式為

圖1 二元Copula函數概率密度圖

式中，C1、C2分別為 Gumbel和Clayton Copula函數；ε為加權系數，加權系數的大小反映了變量間相關模式。

因此，混合Copula函數可以描述具有不同相關模式的變量間的相關關系，相對于單一Copula函數更靈活、適用性更廣泛。

2 機械結構系統的Copula可靠性模型

在實際工程中，一個結構系統有多種失效模式，研究結構系統的可靠性問題需要計算多個失效模式下的聯合失效概率。

設某結構系統含有k個失效模式，對應于不同的失效模式，其功能函數可表示為

若用Ej表示第j個失效模式出現這一事件，則有

結構系統的失效概率可表示為

由式（7）可見，求解機械零部件系統的失效概率需要計算多重積分，各隨機變量的聯合概率密度也難以得到。近些年來，計算結構系統失效概率使用了很多近似計算方法[6]。

結構的系統失效可以分為三類：第一類是串聯系統，它是指所有極限狀態中任意一個發生失效，就認為結構失效；第二類是并聯系統，它是指所有極限狀態都失效，才認為結構系統失效；第三類稱為串并聯系統，它由串聯系統和并聯系統組合而成，實際中最常用到的串并聯系統是認為結構的系統失效是由很多個失效模式組成的串聯系統，而每個失效模式又是由多個失效模式組成的并聯系統。

串聯系統的失效概率為

并聯系統的失效概率為

串并聯系統的失效概率為

串聯系統和并聯系統之間可以進行轉化：

所以，串聯系統和并聯系統可以用相同的求解方法獲得失效概率。而求解串并聯系統的失效概率一般要將第i個并聯系統失效模式等價為一個極限狀態gj＝0，再將各失效模式組成串聯系統，用串聯系統求解失效概率的方法獲得串并聯系統的失效概率。于是，求解結構系統失效概率的核心問題就是如何求解多個失效事件的串聯系統發生概率。

2.1 串聯系統

當系統有兩個失效模式時，其功能函數見式（5），此時j＝1，2，令Pfj為各失效模式的失效概率，C（·）表示Copula函數，則系統失效概率為

當系統有k個失效模式時，系統失效概率為

2.2 并聯系統

當并聯系統有k個失效模式時，系統失效概率為

2.3 串并聯系統

以圖2中4個失效模式為例，其他有多個失效模式時與之類似。令兩個并聯系統的失效事件分別為E1＝[g1≤0∩g2≤0]，E2＝[g3≤0∩g4≤0]，對于第i個并聯系統的分布函數存在Copula函數，記為Ci（i＝1，2），對于整個系統存在Copula函數，記為C，則系統的失效概率為

圖2 串并聯系統可靠性框圖

3 機械系統可靠性的Copula分析方法

應用混合Copula方法分析結構系統可靠性，關鍵是混合Copula的建模，即參數估計和檢驗。本文利用Monte Carlo法產生的隨機抽樣數據估計和檢驗Copula參數，實現結構系統的可靠性建模和分析計算，具體計算步驟如下：

（1）Monte Carlo抽樣。利用Monte Carlo模擬法，對結構系統中每個失效模式的功能函數中所有隨機變量按照其分布進行抽樣，把抽樣的隨機變量代入各功能函數，每個功能函數產生與抽樣的隨機變量相對應的隨機序列值｛Gj｝i（i＝1，2，…，n），利用MATLAB軟件將每個功能函數隨機序列值轉化為相應的經驗分布函數序列值（Fj）i，其中（Fj）i＝F（｛Gj｝i）。

（2）Copula函數的參數估計。采用離差平方和最小準則（residual square sum，RSS）來選擇Copula的參數，RSS計算公式為

最優的參數估計值應使得RSS最小。然后利用MATLAB軟件優化工具箱中的fmincon函數快速求解各待定參數。

（3）Copula函數擬合優度評價。利用隨機抽樣數據，將由Monte Carlo法得到的經驗聯合分布值F′emp與隨機抽樣數據相對應的由鞍點逼近和混合Copula函數得到的累積分布值繪制二維和三維散點關系圖，如果二維散點圖上的數據點都落在45°對角線附近，三維散點圖上點基本接近或重合，表明Copula函數擬合得好。

（4）應用混合Copula函數分析結構系統的可靠性。

4 數值算例

圖3為承受軸向載荷的兩端簡支空心壓桿的受力簡圖。基本變量 P、E、S、d、t、l分別表示軸向載荷、材料彈性模量、材料屈服極限、截面中徑、壁厚和桿長，均服從正態分布，分布參數見表1。

圖3 空心壓桿

表1 基本變量的分布參數及類型

此壓桿結構存在強度和穩定性兩種失效模式，其功能函數分別為

壓桿結構為串聯系統，兩種失效模式的功能函數都含有相同的隨機變量，其失效模式之間存在相關性。根據計算步驟（1）可以得到g1和g2的經驗分布函數序列值（Fj）i，繪制兩個功能函數的聯合經驗分布函數散點圖（圖4），從圖4可得知g1與g2在上尾和下尾處具有很強的相關性。

圖4 聯合經驗分布函數散點

采用離差平方和最小準則法確定混合Copula待定參數ε＝0.5675，α＝2.6480，θ＝2.8890。由圖5和圖6可知，此混合Copula函數擬合兩個失效模式的聯合分布函數較好。

圖5 經驗聯合分布值與Copula函數值散點圖

圖6 聯合分布值散點圖

兩個失效模式的失效概率可以應用已有的方法進行計算[6]，本文采用 Monte Carlo計算得到g1和g2的失效概率分別為Pf1＝0.0178，Pf2＝0.0281，利用式（4）和式（12）可計算得結構系統的失效概率Pf＝0.0428。應用Monte Carlo模擬法，抽樣次數為n＝106次可得結構系統的失效概率Pf＝0.0396。從可靠性分析結果可以看出，基于Copula函數方法計算結果與Monte Carlo法大樣本模擬所得估計值吻合較好。

5 結語

混合Copula函數是綜合了幾種Copula函數的優點而構造的一種多參數的Copula函數，改善了單一參數Copula靈活度不高的缺陷，可以刻畫變量間的非對稱結構和尾部相關性，構建變量間的相關數值模型。

本文在具有相關失效模式的結構系統可靠性計算中初步應用混合Copula方法，以各失效模式的功能函數作為隨機變量，通過各失效模式的經驗邊緣分布，應用Monte Carlo抽樣估計Copula函數的參數，建立結構系統的Copula可靠性計算模型，進而對結構系統進行可靠性分析。研究結果為解決失效模式相關的結構系統的可靠性分析提供了一種新途徑。

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