基于曲率擬合及變刀觸點的防干涉四軸磨削算法

毛 磊 何 衛 周 潔 駱廣進 胡旭曉 周哲平

1.浙江大學，杭州，310027 2.杭州機床集團有限公司，杭州，310022

0 引言

復雜曲面被廣泛應用于航天航空、造船、汽車、玻璃儀器、陶瓷以及模具等行業[1]。目前，復雜曲面的加工以五軸數控銑床加工為主。在五軸數控銑床加工中，刀具干涉的檢查與避免算法是復雜曲面加工的關鍵問題。國內外學者對此進行了很多研究。Lin等[2]通過比較刀觸點處切平面上所有方向的加工表面的法向曲率和刀具包絡面的法向曲率來找到無干涉的加工路徑。Chen等[3]研究了R銑刀加工復雜曲面時避免兩種局部干涉的方法。

在復雜曲面磨削領域，相關的研究相對較少，目前較常見的復雜曲面磨削還是以手工拋磨為主，比較先進的方法有六軸砂帶磨削[4]，此外機器人和機械手在曲面拋磨加工中也開始得到應用[5－6]。然而這些先進的磨削加工方法都需要很高的投資成本，且其加工算法也十分復雜。本文提出一種可以在四軸聯動成形數控磨床上加工無曲率突變的自由曲面的無干涉加工算法。

1 磨削加工設備及干涉

1.1 加工設備及圓弧面砂輪結構

1.1.1 加工設備及其聯動關系

本文涉及的機床是合作公司的七軸五聯動數控磨床，其結構如圖1所示。該成形磨床的五軸聯動采用4＋1方式，即4個直線軸X、Y、Z、V（其中V軸是砂輪修整軸，本算法中暫不涉及砂輪修整）、1個回轉軸（B軸），另外回轉臺傾角為定值，由A軸驅動，坐標系滿足右手定則。

圖1 七軸五聯動數控磨床的坐標系

加工時，將葉片固定在回轉臺上，保證葉片的一條長邊與Z軸平行。加工的運動分配關系為：磨頭完成直線運動ΔY，工件安裝在回轉臺上完成直線運動ΔX′、ΔZ′以及旋轉運動ΔB′。本算法不涉及砂輪修整軸，故實際上該機床結構實現四軸聯動。

1.1.2 圓弧面砂輪結構

采用的砂輪結構簡圖見圖2。該砂輪采用圓弧母線圓弧面結構。

圖2 圓弧母線砂輪結構簡圖

在防干涉加工過程中，利用砂輪的圓弧表面來避免軸向干涉，同時以砂輪最大端面半徑作為過切干涉的基準半徑。由于砂輪半徑越小越不容易發生干涉，所以本算法中不考慮砂輪修整的影響。

1.2 磨削干涉

將磨削加工中的干涉分為全局干涉和局部干涉。全局干涉是指砂輪端面或軸桿與加工表面以及加工環境中的夾具等發生碰撞。局部干涉又可分為過切干涉和軸向干涉。其中，過切干涉是由于局部加工表面曲率半徑小于砂輪半徑而引起的切除多余材料的情形，如圖3所示；軸向干涉是由砂輪厚度引起的，或者在本文涉及的圓弧面砂輪中，是由刀觸點法向量不一致引起的，如圖4所示。實際上將砂輪母線改成圓弧形式已在一定程度上減小了砂輪母線為直線母線形式時的軸向干涉。

圖3 過切干涉

圖4 軸向干涉

2 過切干涉的檢查及消除

根據引起過切干涉的原因，可以從兩個角度來避免干涉。最容易想到的就是減小砂輪半徑，但是自由曲面的曲率變化有時是很顯著的，要完成整個曲面的磨削加工，有時可用的砂輪半徑就要取得很小。砂輪半徑過小會帶來很多問題，如加工效率將大大降低、表面粗糙度由于殘余高度的加大將受到影響，此外如砂輪半徑過小，則要求主軸轉速很高才能滿足切削速度的要求，這就對砂輪主軸的剛度提出了很高的要求，因而提高了加工成本。為此本文提出一種新的方法來消除過切干涉。

2.1 過切干涉檢查

計算加工曲面各點的曲率半徑，理論計算方法可參考微分幾何中的曲面第一基本量和第二基本量相關內容[7]，這里不贅述。

本文利用UG軟件通過二次開發獲取加工曲面各點參數，通過UF＿MODL＿ask＿curve＿points（）獲取等參數加工路徑的參數，包括該等參數線上各點的曲率半徑，記為rad＿of＿cur；利用UF＿MODL＿ask＿face＿props（）獲得磨削點主曲率，記為k1、k2，法向量記為n，加工點坐標值記為Cpoint。

過切干涉僅發生在凹區域，因此根據曲面凹區域滿足的條件確定需要檢查干涉的磨削點。對于凸區域則不需要進行過切干涉檢查，直接進入刀位點進行計算即可。判斷方式如下：

砂輪端面的初始位置與加工軌跡線平行，因此當砂輪半徑大于加工軌跡線上磨削點的曲率半徑時會發生干涉，另外加工軌跡線上其他點的曲率半徑發生突變時也會引起干涉，如圖5所示。

圖5 過切干涉檢查示意圖

因此，干涉檢查過程如下：首先，對于每一條參數曲線，取 min｛rad＿of＿cur｝，記為ρmin，并獲取該最小曲率點坐標，計算該坐標與磨削點坐標沿砂輪端面的距離dt；對于每一個磨削點，如果rad＿of＿cur＜Rgr（Rgr為砂輪的實際加工曲率半徑）則發生干涉，如果rad＿of＿cur＞Rgr則繼續進行判斷，如果dt＜R（R為砂輪的最大加工曲率半徑）且min（rad＿of＿cur）＜Rgr則發生干涉，其他情況則通過干涉檢查。

2.2 過切干涉消除

過切干涉的消除主要基于曲率擬合的條件，通過調整砂輪端面與加工軌跡面的夾角來消除。

（1）計算砂輪的實際加工曲率半徑Rgr。由于本文算法適用的機床為固定刀軸方向——沿Z軸負方向，而回轉臺帶傾角回轉的數控磨床結構，因此，磨削點法向量與砂輪端面存在夾角，對砂輪半徑有放大作用，如圖6所示。根據該法向截面上投影橢圓的曲率半徑即可求得砂輪實際加工半徑：

圖6 砂輪實際加工半徑

（2）計算磨削點等參數方向與最小曲率方向夾角。根據微分幾何知識，對于自由曲面上任意一點都有兩個主曲率，記為k1、k2（k1＜k2），它們的切向即為兩個主方向。由于曲面是連續的，故將曲面凹區域的磨削點定義為凹橢圓點。根據歐拉定理，曲面上任意點在其切平面上任意方向具有不同的曲率半徑，其范圍在1／k1～1／k2之間連續變化，如圖7所示，則磨削點等參數方向的曲率可根據下式計算[8]：

圖7 磨削點曲率的連續變化

式中，θ為kt所在方向與k1所在方向的夾角。

根據2.1節獲得的參數可以求得磨削點等參數方向的kt與最小曲率方向的夾角：

根據2.1節干涉檢查結果，發生過切干涉有兩種情況，前者取后者取kt＝分別代入式（2）求得θ。

（3）計算滿足曲率擬合的最佳磨削截面。設最佳截面方向的曲率為kfit，則最佳截面方向與最小曲率方向的夾角為

代入式（1）得

因此，等參數加工軌跡截面與最佳磨削截面的夾角φ＝θ－λ。

這樣就找到了無干涉加工截面。通過回轉臺的旋轉運動令該截面與砂輪端面平行就能消除過切干涉。接下來根據機床旋轉運動的形式反解計算回轉臺旋轉量。

3 軸向干涉的檢查與消除

上述過切干涉消除確定了刀軸方向，消除了曲面k2方向上的干涉，但在k1方向上還可能存在干涉。對于圖2所示砂輪結構，由于在k1方向上砂輪圓弧面的曲率半徑一般小于曲面的曲率半徑，所以不考慮過切干涉，只需考慮軸向干涉。軸向干涉是由于加工點法矢量與刀觸點法矢量不一致引起的，如圖8所示。

消除該類干涉的關鍵就是找到合適的刀觸點。每一個磨削點會對應不同的刀觸點，根據磨削點的法向量求得調整后的刀觸點，然后通過平移將合適的刀觸點平移到與磨削點重合，即可實現無干涉的加工，如圖9所示。該方法只需要四軸聯動即可完成加工。

圖8 法向量不一致引起的軸向干涉

圖9 調整刀觸點避免軸向干涉

4 葉片曲面磨削仿真實例

4.1 葉片磨削仿真軟件

葉片加工仿真軟件界面見圖10，主要由刀位點計算模塊、加工參數設置及仿真模塊組成。

圖10 葉片磨削仿真軟件界面

刀位點計算模塊包含了上述防干涉磨削算法的相關代碼，由該模塊生成加工軌跡；然后用“生成刀具”按鈕建立砂輪的參數化模型；加工參數設置及磨削仿真模塊完成砂輪模型與葉片表面模型的快速差集運算。加工仿真過程如圖11所示，加工過程數據（刀軌）如圖12所示。本仿真軟件結合機床的運動形式，通過砂輪的平移運動和葉片繞回轉臺固定回轉軸的轉動，四軸聯動完成加工過程的仿真。圖12中前三列數據顯示的是實時平移量，最后一列顯示的是實時回轉臺旋轉量。

圖11 仿真時砂輪正磨削葉片表面

圖12 葉片磨削加工仿真實時數據截圖

4.2 葉片表面形狀精度分析

利用UG偏差測量模塊分析磨削仿真加工后的葉片表面。磨削仿真采用直徑50mm、圓弧半徑5mm的砂輪，并設置U向進給量為0.5mm，V向進給量為1mm。仿真磨削加工后葉片表面的形狀偏差最大為0.0508mm，最小為0.000 25mm，由此可知磨削仿真精度達到0.05mm，且消除了加工中的過切和干涉。

5 結論

（1）提出了曲面磨削中過切干涉和軸向干涉的概念及其形式，并給出其各自的干涉消除方法。

（2）提出尋找曲面合適的曲率方向，通過旋轉運動使其與砂輪端面平行來消除過切干涉的方法，這樣就可以采用較大直徑的砂輪而不需規定砂輪半徑小于加工曲面的最小半徑，有效地減小了殘留高度，提高了加工表面質量，并提高了加工效率。

（3）設計了一種圓弧母線圓弧面結構的砂輪，使得整個圓弧面作為工作表面，可以方便地找到能與磨削點法向量一致的刀觸點從而完成無干涉擬合，使得在四軸聯動數控磨床上進行扭轉葉片的加工成為可能。

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[4]石璟.面向葉片加工的數控砂帶拋磨系統的研究[D].無錫：江南大學，2009.

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[6]Choi B O，Lee M K.Development of a Hybrid Robot Arm for Propeller Grinding[C]／／Proceedings of SPIE－The International Society for Optical Engineering.Intelligent Robots and Computer Vision XV：Algorithms，Techniques，Active Vision，and Materials Handling.Boston，1996，2904：517-527.

[7]陳維恒.微分幾何[M].北京：北京大學出版社，2006.

[8]蘇高峰，張秋菊.基于UG的葉片數控砂帶磨削刀位數據的計算[J].機床與液壓，2006（1）：61-63.