基于混合近似模型的汽車正面碰撞耐撞性優化設計

王國春 成艾國 顧紀超 宋 凱 鐘志華

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，410082

0 引言

汽車耐撞性分析是一個涉及幾何非線性、材料非線性和邊界條件非線性的動力學問題[1]。有限元仿真技術在汽車耐撞性分析中已被廣泛應用，可以通過仿真計算得到多個方案的計算結果。然而，汽車耐撞性分析問題本身依然是一個黑匣子問題，而且由于方案計算耗時長，限制了提交計算的方案數量，也無法利用全局優化算法進行迭代計算。近似模型又叫代理模型，它使用由設計參數構建的簡單的函數來代替耗時的黑匣子問題，使得這些問題的優化設計成為可能，其最大的特點是計算速度快。但是，近似模型也存在兩個缺陷：一是在模擬不同問題甚至同一問題的不同參數時，近似模型的精度差別很大，有時甚至會得到錯誤的結果；二是近似模型在模擬較大設計空間和較多設計變量的問題時局部空間的精度不高，因而阻礙了它們在優化設計中的應用[2－3]。

Shan等[4]開發了一種可以系統地將設計空間縮小到一個相對小的區間的方法；Gu等[5]提出了基于混合代理模型的優化方法，并行采用多種近似模型進行計算，對結果進行比較，逐漸縮小搜索空間以尋求最優值。本文參考混合近似模型和縮小空間的思想，采用三種各具特點的近似模型——Kriging模型、徑向基函數模型和二階多項式響應面模型進行搜索，同時采用傳統的應用全局優化算法優化近似模型的方法，綜合考慮耐撞性問題的特點，結合兩種優化流程，在三種類型的變量空間搜索最優值，在最優點進行敏感空間的迭代計算，最終得到耐撞性目標——B柱加速度峰值最小的前部零件厚度組合，以較高的效率得到了滿足工程精度和效率的最優方案，同時在一定程度上消除了由于近似模型選擇不當而導致結果錯誤的現象。

1 三種近似模型的基本理論

1.1 Kriging模型

Kriging模型采用了插值方法，它擬合的曲面通過所有的樣本點。從統計意義上說，這是一種從變量相關性和變異性出發，在有限區域內對區域化變量的取值進行無偏、最優估計的方法[6]。Kriging近似模型的基本理論可簡述如下[7]。

它由全局模型與局部偏差疊加而成，可表示為

式中，Y（X）為未知的近似模型；f（X）為已知的多項式函數；Z（X）為均值為零、方差為σ2、協方差不為零的隨機過程。

f（X）提供了設計空間的全局近似模型，一般情況下可取為常數β，而Z（X）則在全局模型的基礎上創建了局部偏差。

1.2 徑向基函數模型

徑向基函數（radial basis function，RBF）模型與Kriging模型相似，徑向基函數也是由一系列使用相同方法建立的函數構造的，只是基函數不同，其中基函數可以是線性的也可以是非線性的，不同的基函數給出的精度不同。本文采用歐拉范數作為基函數，此外還有很多常用的基函數，比如線性函數、立方函數、高斯函數等，同時使用者可以開發新的基函數來滿足特殊需求，一些常用的基函數及其性能比較可參見文獻[8]。

1.3 最小二乘響應面方法

最小二乘響應面法（least squares regression，LSR）用一個確定的顯式函數（通常采用二次函數）來近似表達結構參數與結構響應之間的關系，應用最小二乘法確定顯式函數中的待定參數。

2 拉丁超立方試驗設計

在近似模型的構造過程中，設計點的選擇是很重要的。任意選擇的設計點會導致不精確的模型，試驗設計的理論可以幫助確定分布合理的設計點。拉丁超立方試驗設計（Latin hypercube design，LHD）被稱為是一種“填充空間的設計”，該方法讓每個因子都有相同的水平，并且對因素的每個水平所做的試驗次數相等，以實現設計空間中的均勻抽樣，從而指定用于定義設計矩陣的n個點，是一種研究多因素、采樣大型空間的試驗設計方法，該方法效率高、采樣均衡性好[9]。如圖1、圖2所示，對于一個兩因素4次試驗的試驗設計，利用全因子試驗方法只能考察因素的2個水平，利用拉丁超立方法，則能考察4個水平，并且因素的每個水平都做了一次試驗，顯然，試驗點在空間的排列比全因子法要均勻。

圖1 全因子試驗設計

圖2 拉丁超立方試驗設計

3 計算實例

3.1 整車正面碰撞有限元模型

整車正面碰撞有限元模型共有112萬個節點，121萬個單元，按照試驗標準配重后的質量為1740kg，以13.8m／s的初始速度撞擊剛性墻，碰撞仿真過程計算時間為100ms。本文中需要計算的有限元模型如圖3所示。

圖3 整車正面碰撞有限元模型

3.2 近似模型擬合與優化計算

在整車正面碰撞中，B柱的加速度峰值越低，車身吸收能量的時間越長，對乘員的損傷越小，汽車就越安全。本例是在保證各前部結構零件質量和其吸收的內能滿足設定的約束條件的前提下，實現耐撞性重要指標B柱加速度峰值最小的優化設計。

優化問題的數學模型如下：

設計變量為T1～T10

式中，aB為B柱加速度最大值，要求優化計算求其最小值；m為圖4中15個部件的質量之和，約束質量增加不超過初始方案的5%，為31.08kg，設為31kg；EI為15個部件吸收的內能之和，允許吸收的內能略有下降，設為69 000J；T1～T10為15個部件的10種板料厚度（對稱件共用一個厚度變量）；T為各部件的初始厚度。

T9根據實際項目要求設定了不同的范圍。所有零件的厚度具體取值范圍、響應的初始值及經過有限元驗證的優化值如表1所示。

表1 變量與響應的初始值、上下限、優化值

圖4 優化厚度的零件

優化流程如圖5所示。初始樣本點應用LS－DYNA軟件，通過25臺PC同時計算，每個正面碰撞有限元模型樣本耗時24h左右，經過96h左右的連續計算，得到全部樣本的仿真結果。收斂判斷的準則是：如果目標值差值的絕對值小于0.1g或者目標值大于前一輪的目標值，都認為收斂。

傳統的采用近似模型的優化方法是：構建近似模型，采用全局優化算法進行計算，輸出最優解，調用有限元模型進行驗證。這種方法的優點是能夠快速找到近似模型的全局最優解，但是，由于近似模型在設計空間較大時局部空間精度不同，如果全局最優解恰好存在于精度不高的設計空間，則得到的解就會存在相對誤差較大甚至錯誤的情況，另外，利用單一模型計算時，有時會出現某個響應在搜尋到的最優點處相對誤差偏大的現象。

圖5 優化流程圖

本文改良了傳統方法，對三種近似模型進行全局優化計算；同時為避免近似模型在某一空間可能存在相對誤差偏大的問題，在三種類型的變量敏感空間中生成密集的樣本，再分別構建三種近似模型進行計算，在所得的樣本中進行搜索，選取滿足約束條件的目標值最小解；最后選出所有的滿足約束條件的各近似模型的目標值最小解，一并進行有限元計算驗證，找到有限元模型中的滿足約束的目標值最小解，然后在三種敏感空間中重新密集撒點，循環比較搜尋最優點，直至收斂為止。

全局空間指由原有變量范圍構成的設計空間；局部空間指由滿足約束要求的目標值最小的10個初始有限元模型樣本點的變量范圍構成的設計空間；敏感空間指由滿足約束的目標值最小點的變量上下浮動一定比例構造的設計空間，文中生成了變量分別上下浮動2.5%、5%、10%的三種由小到大的敏感空間，以進行逐步擴大的目標搜索。

3.3 優化過程分析

表2～表4列出了第一輪的計算結果，其中，序號是在提交LS－DYNA計算過程中的順序，以使三個表格的方案與驗證結果能夠一一對應，編號的先后沒有特殊意義。表2列出的是通過在三種類型的空間中進行密集撒點，應用近似模型進行計算，并按照約束條件搜索得到的每種近似模型的目標值最小的方案。這里需要指出的是，對于三個不同范圍的敏感空間，將按照敏感空間的類型選出每種近似模型的目標值最小的方案，如表2中選出的7、8、9號方案。表3列出的是通過模擬退火全局優化算法對三種近似模型在全局空間按照約束條件進行搜索得到的目標值最小的方案。最終將通過兩種優化流程、三種空間類型、三種近似模型技術選出的12組方案代入有限元模型進行驗證計算，得到的結果如表4所示，可看出，3號方案為第一輪計算中目標值aB最小的方案，其值為41.17g，3號方案是在全局空間進行密集撒點，通過RBF近似模型計算得到的方案，aB的相對誤差只有0.81%。相對誤差表示了每個樣本點的近似模型相對于物理模型的計算精度，其表達式如下[10]：

er為每個樣本點的相對誤差。其中，當｜y｜≠0時，ε＝0；當｜y｜＝0時，ε＝0.01。

表2 第一輪近似模型計算結果

表3 第一輪近似模型全局優化結果

表4 第一輪計算結果驗證

由表4可以發現，同一種近似模型在同一樣本點，不同響應的相對誤差大小不同，在不同樣本點同一響應的相對誤差有時差別很大。從第一輪12個樣本點的驗證結果來看，RBF、Kriging、LSR模型的近似精度依次降低。利用自適應模擬退火算法（adaptive simulation annealing，ASA）在全局空間對LSR近似模型進行優化計算的目標值最小方案只有32.02g，但是其相對誤差卻高達28.64%。在對RBF、Kriging近似模型進行全局優化計算時其目標值分別為39.91g和40.56g，雖然均小于3號方案近似模型的計算值，但是其相對誤差分別為6.72%和4.23%，物理模型的計算值為42.79g和42.35g，都大于3號方案物理模型的計算值。這一點并不能說明直接針對近似模型進行優化計算的方法不好，只能說明當變量處于不同的空間位置時，其精度有時會差別很大，這也就是常說的空間依賴性，這也具有一定的偶然性。如果在最優點的相對誤差非常小或者在可接受的范圍內，則這種方法的尋優效率是最高的。

在完成第一輪計算得到目標值最小的3號方案后，在其變量的三個敏感空間重新進行密集撒點，按照約束條件搜索得到的三個敏感空間三種近似模型的計算結果如表5所示。選出三種近似模型目標值最小的三個方案代入有限元模型進行計算后，得到第二輪計算的目標值最小的1號方案，如表6所示，它是在第一輪目標值最小方案變量變動±2.5%后的敏感空間中由Kriging模型計算得到的，aB為40.54g，相對誤差為1.58%，比第一輪減小了0.63g，不滿足收斂條件，繼續進行迭代。

在第二輪得到的目標值最小的1號方案的變量的三個敏感空間中重新進行密集撒點，計算結果如表7、表8所示，得到第三輪目標值最小方案，它是在第二輪目標值最小方案變量變動±10%后的敏感空間中由LSR模型計算得到的。aB為41.99g，相對誤差為9.09%，比第二輪增大了1.45g，滿足了收斂了條件，因而輸出第二輪的1號方案作為最優結果。

表5 第二輪近似模型計算結果

表6 第二輪計算結果驗證

表7 第三輪近似模型計算結果

表8 第三輪計算結果驗證

B柱加速度的初始值和最終優化值的對比如圖6所示。

圖6 B柱加速度初始值優化結果對比

如表1所示，aB由初始值46.34g減小到40.54g，減小了12.52%，有較大程度的降低；m由29.60kg增大到30.178kg，增大了1.95%；EI由70 620J增大到71 046J；兩個約束條件均滿足初始的約束條件控制要求。

4 結語

本文結合拉丁方試驗設計、三種近似模型技術、正面碰撞有限元仿真技術、模擬退火全局優化算法、密集撒點優化搜索方法、三種空間兩種流程的同步優化方法，實現了正面碰撞耐撞性的優化設計，較好地改善了耐撞性指標，得到了最優的板厚組合。這一方法的應用將能夠在設計階段較好地改善汽車耐撞性設計，減少后期的實驗次數，縮短開發周期。對于零件的最終厚度組合方案，傳統的方法通常是把優化結果進行圓整，保留一位小數，得到最優化的厚度組合。這是不符合實際工程情況的，因為：工程中所用板材厚度是一個連續值，厚度是存在公差的；零件在沖壓成形的過程中存在不同程度的減薄，通常要求減薄率大于5%而小于20%。因此，考慮響應對厚度的敏感性，應該綜合考慮以上兩因素，同時應用穩健性優化方法，才能得到最好的工程解決方案，這一點將在后期的研究中進行研究。

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