雙軸對稱工字形截面懸臂外伸梁整體穩定性研究

謝承利，黃 寧，肖學雙

(1．成都市建筑設計研究院，四川成都610015;2．重慶交通建設(集團)有限責任公司，重慶400010;3．博思格建筑鋼結構有限公司，廣東廣州510530)

1 臨界彎矩

1.1 平衡微分方程

文獻［1］中采用變分法，推導出橫向荷載作用下薄壁梁彎扭屈曲的平衡微分方程為:

根據文獻［2］的理論，按平衡法建立的梁彎扭屈曲的微分方程為:

進行坐標轉換，式(2)變形為:

本文所研究的懸臂外伸梁，橫向均布荷載作用與y軸恒平行，因此梁發生屈曲時有:My=0;Mz=0，那么式(3)的第一式變形為:

聯立式(2)的第一式和式(4)可得:

將式(5)代入式(1)，整理得懸臂外伸梁的平衡微分方程:

1.2 位移函數設定

根據懸臂外伸梁的邊界條件，結合已有理論，分別設定其簡支段及外伸段的扭轉角方程為:

1.3 臨界彎矩推導

由于懸伸梁邊界條件較為復雜，導致轉角方程復雜，因此本文運用伽遼金能量法對其臨界彎矩進行推導。

簡支段的伽遼金方程式可表示為:

各截面彎矩為 Mx=q［(1－g2)lz－z2］/2，將其代入伽遼金方程式整理后，利用大型數學計算軟件Maple根據系數行列式等于零條件算得懸臂外伸梁均布荷載作用下簡支段整體失穩的臨界荷載表達式為:

整體穩定臨界荷載系數 β =f2(1，g2，g4，g6，g8);梁有效跨度系數 μ =f1(1，g2，g4，g6，g8)。對 g 取不同值，以得到相應的μ和β值，參見表1。

根據Mmax=ql20/2，將式(10)轉化為臨界彎矩的形式:

當0≤g≤ 1 /√6=0.41時，簡支段最大彎矩截面出現在跨間z=(1－g2)l/2處;Mmax=q(1－g2)2l2/8。將最大彎矩與式(10)聯立，計算整理得出 β1=β(1－g2)2/8μ2;當 g ≥0.41時，Mmax=qg2l2/2，計算得此時 β1=βg2/2μ2，常用 β1值參見表1。

外伸段各截面彎矩:Mx，0=－q(l+l0－z)2/2。將坐標原點移到 z=l處，則截面彎矩轉化為:Mx，0= －q(l0－z)2/2。根據平衡方程式(6)與外伸段扭轉角方程式(8)，同樣運用伽遼金法計算得到均布荷載作用于工形梁外伸段剪心即ay=0時，外伸段整體失穩的臨界均布荷載及臨界彎矩表達式分別為:

表1 全梁段均布荷載作用下懸伸梁臨界彎矩系數

2 有限元分析

分析采用三維板殼單元Shell63，并按照文獻［3］規定的橫向加勁肋間距要求0.5h0≤a≤2h0，沿梁跨度方向每隔200mm配置一道加勁肋。加勁肋單元類型采用Shell63。選取國產熱軋H型鋼作為研究試件，截面形式及尺寸參見表2。ANSYS建模的邊界條件模擬簡支，約束端支座處所有節點的平面外位移和豎向位移，還約束左支座質心的縱向位移，對懸伸梁進行特征值屈曲分析求解。

表2 試驗梁的截面尺寸(單位:mm)

3 整體穩定性影響因素分析

3.1 簡支段臨界彎矩簡化計算

全梁段作用均布荷載的懸伸梁通常被簡化為如圖1所示的簡支梁進行整體穩定計算［4］，其中T=ql02/2。設定簡支梁位移函數u=C1sin(πz/l)，φ=C2sin(πz/l)，將梁各截面彎矩:Mx=q［(1－g2)lz－z2］/2帶入總勢能表達式，運用瑞利里茲能量法，可以求出當荷載作用于剪心時，圖1所示的簡支梁整體屈曲臨界荷載及臨界彎矩為:

式中β2為簡支梁整體穩定臨界彎矩系數，與荷載作用形式和大小有關。由梁的彎矩圖計算出當g≤0.414及g≥2.414時，簡支梁最大彎矩截面出現在跨間z=(1－g2)l/2處，Mmax= q (1 － g2)2l2/8， 計 算 得 到 β2=當 0 .414≤g≤2.414 時，Mmax=qg2l2/2，計算得此時22，常用 β 值參見表3。

2

表3 均布荷載作用下的β1及β2值對比

圖1 均布荷載作用下的簡支梁

圖2 HN截面臨界彎矩值對比

3.2 懸伸梁簡支段與簡支梁整體穩定性分析比較

盡管將懸伸梁簡化為簡支梁后，簡支段各截面內力沒有發生變化，但是由于其外伸段的存在，外伸段與簡支段之間存在相互影響與約束，支座處邊界條件存在差異，因此有必要對兩種思路得到的計算結果進行比較分析，并結合ANSYS有限元分析結果，確定合理的臨界彎矩計算方法。作者分別考慮懸伸長度比、簡支跨跨度及荷載作用高度的影響，并對比按簡支梁簡化后的計算結果，對懸臂外伸梁的整體穩定性能作系統分析。懸臂外伸梁各種情況下本文理論計算結果、簡化計算結果及ANSYS模擬結果對比見表4。

表4 簡支段ANSYS計算結果與理論結果對比(單位:kN·m)

從表4和圖2、圖3中可以發現:當控制截面在簡支跨內時，按簡支梁簡化計算的結果及作者推導的理論解與ANSYS解都相當接近。簡支梁簡化解的變化趨勢及數值同作者理論結果基本相同，比作者計算數值略大，與ANSYS有限元結果誤差為3.01% ～12.79%，表明在一定懸伸比限制下，懸伸梁簡支段的整體穩定可以簡化成相應的簡支梁考慮。但當g值超過0.6后，結果與有限元模擬結果誤差加大。簡支段臨界荷載ANSYS解與作者在第二章推導的理論解在懸伸長度比在g＜0.6時比較接近，誤差僅為1.84% ～8.76%，但是當g≥0.6時誤差很大，此時懸伸梁外伸段先發生失穩，其臨界荷載應該由外伸段相應的公式求得，公式(11)或者式(15)已不再適用。

圖3 HW截面臨界彎矩值對比

3.3 簡支段整體穩定影響因素分析

3.3.1 懸伸長度的影響

根據表4中的數據，取簡支跨跨度為3m時，梁的理論臨界彎矩隨懸伸段長度比變化的曲線，如圖4所示。分析可見截面尺寸、荷載工況相同時，其彎扭屈曲臨界荷載隨懸伸長度的增加而增大，說明隨懸伸長度的增長，外伸段對簡支段的約束增強，簡支段的最大彎矩減小，縱向平面內整個懸伸梁的最不利截面逐步向外伸段端部轉移。同時表明懸伸梁不能同工字形簡支梁一樣，通過規定最大l1/b1值以保證其整體穩定性。當最大彎矩截面在簡支段跨間時，懸伸梁整體失穩是由簡支段彎扭屈曲產生;當最不利截面發生在簡支段和外伸段相接的右端支座處，那么懸伸梁的臨界彎矩應由簡支段和外伸段進行比較取較小值。

圖4 Mcr－g關系曲線

3.3.2 簡支跨跨度的影響

對懸伸長度比為0.3，荷載作用于形心，不同簡支跨跨度的寬翼緣、窄翼緣懸伸梁整體穩定計算得到臨界彎矩隨簡支跨度變化的曲線如圖5。有限元結果顯示所研究的情況均屬于簡支段跨中失穩，說明相同截面、相同懸伸長度比的懸臂外伸梁，簡支段整體失穩的臨界彎矩隨簡支跨跨度的增加而降低，且隨著簡支跨度的增加，截面高度的影響降低，而彎扭屈曲截面始終為最大彎矩截面。

圖5 臨界荷載隨簡支跨度的變化

3.3.3 系數K的影響

cr曲線如圖6所示。K～Mcr關系曲線表明，系數K并不能像簡支梁和懸臂梁［1，5］一樣很好地描述雙軸對稱截面懸臂外伸梁簡支段整體失穩的臨界荷載。

3.3.4 荷載作用高度的影響

圖7表明，同簡支梁和懸臂梁規律一樣，荷載作用于懸臂外伸梁下翼緣比作用于上翼緣的臨界彎矩Mcr大，而作用于剪心的處于兩者之間;另外荷載作用于上翼緣和剪心之間臨界荷載的差值小于下翼緣和剪心。

圖6 全梁均布荷載作用K～Mcr關系曲線

圖7 荷載作用高度對Mcr的影響(HN)

3.4 外伸段整體穩定性探討

當外伸長度較大時，其彎扭屈曲由外伸段控制。對于外伸段整體穩定的分析，GB 50017－2003中直接引用懸臂固端梁的整體穩定系數，建議在構造上采取措施增強支承處的抗扭能力。但是由于懸臂外伸梁和懸臂固端梁在懸臂根部的實際約束不同，由此會影響到懸伸梁設計和實際運用。為比較兩者的整體穩定性能，本文先就懸臂固端梁的彎扭屈曲臨界荷載進行推導。

設定滿足幾何邊界的形函數:u=D1［1－cos(πz/2l0)］，φ=D2［1－cos(πz/2l0)］，運用瑞利里茲能量法求得均布荷載作用下的懸臂梁整體穩定臨界荷載及彎矩為:

取截面尺寸相同，簡支跨跨度相同(l=3m)，在不同外伸長度比，且保證失穩均由外伸段控制的條件下，給出ANSYS模擬的懸伸梁臨界彎矩值、本文公式理論計算值及懸臂梁的理論值的對比見表5及圖10。

表5 懸伸梁ANSYS計算結果與理論結果對比(單位:kN·m)

從圖8中可以發現，相同截面、相同外伸長度的懸臂外伸梁和懸臂固端梁，在外伸段均布荷載作用下，ANSYS計算結果與筆者推導的公式計算結果更為接近，誤差僅為2.29%～11.06%;而按懸臂外伸梁計算的臨界彎矩值比模擬結果大很多，大小相差能達到355.5%。

3.5 外伸段整體穩定性影響因素分析

3.5.1 懸伸長度比g的影響

按公式(13)與運用ANSYS分別計算外伸段作用均布荷載，簡支跨度為3m，不同懸伸長度的各懸伸梁的臨界彎矩值，得到Mcr～g關系如圖9所示。

圖9 外伸段Mcr～g關系曲線

由公式(13)和圖9可以看出，相同截面、相同簡支跨度的懸臂外伸梁的臨界彎矩值基本隨懸伸長度比g的增大大致呈二次拋物線降低。但當懸伸長度比g小于一定值后，計算所得臨界彎矩值與ANSYS結果的隨g的減小誤差逐漸加大，這表明公式具有一定的適用范圍。

3.5.2 荷載作用高度的影響

運用ANSYS軟件分析計算了簡支跨跨度為3m，彎扭屈曲由外伸段控制的懸伸梁，當均布荷載分別作用于外伸段端部上翼緣、剪心和下翼緣時失穩臨界彎矩值Mcr和系數K值，其Mcr～K關系如圖10所示。

圖10 不同荷載作用高度對應的Mcr～K曲線

4 懸伸梁臨界彎矩式選用原則

4.1 公式的適用范圍

根據前面兩節對懸伸梁簡支段和外伸段彎扭屈曲臨界彎矩的探討，有必要明確本文所推導的各臨界彎矩公式的適用范圍，為懸伸梁整體穩定研究提供依據。

分析當簡支段與外伸段同時發生屈曲時的臨界彎矩。簡支段和外伸段同時發生側向屈曲的臨界彎矩為其單獨發生屈曲的較大者。但是無論懸伸梁的哪一部分發生側向屈曲，整個梁都會失去承載能力，其臨界彎矩要根據具體條件取較小者。

當M1＞M2，簡支段臨界彎矩式適用，采用式(11);當M1＜M2，此時控制截面位于懸臂根部支座處，此時取簡支段臨界彎矩Mcr與外伸段臨界彎矩M0，cr中的較小值作為懸伸梁的臨界彎矩:當 Mcr≤M0，cr仍采用式(11);Mcr≥M0，cr則應按外伸段相應的臨界彎矩表達式計算，采用式(13)。

綜上所述，對于懸臂外伸梁整體穩定臨界彎矩計算式的選取一是根據控制截面的位置，二是根據簡支段及外伸段的K、g、μ 和 β1值比較相應的 Mcr和 M0，cr大小。

4.2 整體穩定系數及等效彎矩系數推導

為了將彈性穩定分析的理論結果用于受彎構件的設計，本文按照我國鋼結構設計規范的思路，先將懸伸梁的臨界彎矩轉換為其整體穩定系數φb，然后再將φb引入設計公式。下面將臨界彎矩Mcr轉換為φb。

整體穩定系數:

按照簡支梁的簡化方法，截面的自由扭轉慣性矩J=At1

2/3，雙軸對稱截面翹曲慣性矩 Iω=Iyh2/4，Iy/l2=A/λ2y，E=2.06×105N/mm2，G=7.9×104N/mm2，fy=235 N/mm2，將它們代入式(18)后φ1整理成:

上式中βb即為懸伸梁整體穩定的等效彎矩系數，βb=β1/μ2。為使公式一般化，以懸伸長度比g作為回歸參數，對表1中數據進行回歸分析如圖11，擬合式如下:

圖11 公式(11)參數擬合

5 結論

(1)得到均布荷載作用剪心時的臨界荷載、臨界彎矩及整體穩定系數的表達式及適用范圍。

(2)對簡支段，當最大彎矩截面出現在簡支段跨間時，由作者推導公式算得的臨界彎矩值以及按簡支梁簡化計算的結果，兩者與ANSYS有限元分析結果吻合較好，表明ANSYS有限元殼元模型能較好反映薄壁鋼梁的失穩行為，以及在一定條件下懸伸梁簡支段的臨界彎矩可以按簡支梁簡化計算，但是按本文推導的結果誤差更小，且略小于簡支梁計算值，結果偏安全;對于外伸段，ANSYS有限元模擬結果與本文公式結果比較接近，而與相同條件的懸臂梁的計算結果懸殊，在相關分析研究時不能直接采用懸臂梁進行。

［1］ 陳驥．鋼結構穩定理論與設計(第二版)［M］．北京:科學出版社，2003:1－6，206－393

［2］ S．P．Timoshenko，J．M．Gere．彈性穩定理論(第二版)［M］．張福范，譯．科學出版社，1965:227－290

［3］ GB 50017－2003鋼結構設計規范［S］

［4］ 王正中，申永康，李宗利．雙懸臂對稱工字形鋼梁彈性穩定性計算［J］．長江科學院院報，2002，19(6):25－28

［5］ 童根樹．鋼結構的平面外穩定［M］．北京:中國建筑工業出版社，2007:2－46，122－177