滑模變結(jié)構(gòu)法實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)圓盤混沌振動(dòng)的控制

陳帝伊，申 滔，馬孝義

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué)，機(jī)械與電子工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100;2.西北農(nóng)林科技大學(xué)，水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100)

旋轉(zhuǎn)圓盤應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，如光盤資源、硬盤驅(qū)動(dòng)和圓鋸片等。在外力和內(nèi)部諧振的作用下，旋轉(zhuǎn)圓盤的混沌振動(dòng)行為將影響系統(tǒng)的性能［1]。采用被動(dòng)式的控制方法，改變物理機(jī)械性能可消除其混沌振動(dòng)，例如改變圓盤的厚度，因?yàn)闀?huì)影響到其自然頻率和旋轉(zhuǎn)速度，所以通常不被采用［2]。

混沌控制，研究的是在系統(tǒng)參數(shù)客觀不可改變，或大的參數(shù)改變須付出極大代價(jià)時(shí)，保留原有參數(shù)條件或僅對(duì)參數(shù)進(jìn)行微調(diào)，將混沌系統(tǒng)控制到周期軌道或平衡點(diǎn)［3]。典型的控制方法有OGY法、線性反饋控制方法、自適應(yīng)控制方法、Lyapunov指數(shù)法、反饋滑模變結(jié)構(gòu)法等［4－10]。這些控制方法都有各自的優(yōu)點(diǎn)，也有其缺陷及其適用范圍。鑒于此，本文運(yùn)用比例積分滑模變結(jié)構(gòu)控制的方法很好地控制旋轉(zhuǎn)圓盤的混沌振動(dòng)。

依據(jù)文獻(xiàn)［2] 中所描述的旋轉(zhuǎn)圓盤橫向振動(dòng)的四維動(dòng)力學(xué)方程，分析其復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特征，而后用比例積分滑模變結(jié)構(gòu)法，控制處于混沌狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)圓盤到任意固定點(diǎn)和周期軌道，重點(diǎn)討論了其增益系數(shù)和滑模面初始值對(duì)控制過程的影響，得出一些定性的結(jié)論。

1 旋轉(zhuǎn)圓盤方程

1.1 旋轉(zhuǎn)圓盤橫向振動(dòng)的動(dòng)力系統(tǒng)

在文獻(xiàn)［2] 中，研究系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

其中，x和y是極坐標(biāo)下的振幅函數(shù)，ω，Ω，γ和F均為大于零的連續(xù)參數(shù)，ω和Ω分別表征無量綱的自然頻率和自旋頻率，F(xiàn)表征作用于圓盤的集中力。選取參數(shù) ω =1，Ω =0.8，γ =1，F(xiàn)=4，則系統(tǒng)(1)的三維相圖及平面相圖如圖1～圖3所示:

圖1 x1－x2－x3三維相圖Fig.1 The x1－x2－x3 threedimensional phase diagram

圖2 x1－x3平面相圖Fig.2 The x1－ x3 phase diagram

圖3 x2－x4平面相圖Fig.3 The x2－ x4 phase diagram

圖4 Poincare映射圖Fig.4 The Poincare diagram

觀察圖1～圖3的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以初步判斷系統(tǒng)(1)具有混沌的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特征。

1.2 Poincare映射圖

系統(tǒng)(1)在x3=0截面的Poincare映射圖如圖4所示，通過Poincare截面上是一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)，可以判斷系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

1.3 Lyapunov 指數(shù)

Lyapunov指數(shù)是定量描述混沌吸引子的相鄰軌線收縮或擴(kuò)張的量，可以利用Lyapunov指數(shù)來判定一個(gè)系統(tǒng)是否出現(xiàn)混沌或者超混沌。

運(yùn)用MATLAB求出系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜，得到t→∞時(shí)系統(tǒng)的四個(gè)Lyapunov指數(shù)分別為:λL1=0.000 57，λL2=0，λL3= －0.000 23，λL4= －0.000 24。最大Lyapunov指數(shù)大于0，因此系統(tǒng)(1)是混沌的。

2 滑模變結(jié)構(gòu)控制

2.1 控制器的設(shè)計(jì)

變結(jié)構(gòu)控制理論的基本思想是:首先設(shè)計(jì)出一個(gè)性質(zhì)良好的滑模平面，使系統(tǒng)限制在滑模平面上時(shí)，具有所期望的性質(zhì);然后施加控制，使系統(tǒng)到達(dá)滑模面上，并保持在其上滑動(dòng)［3]。

因此，系統(tǒng)(1)的受控形式如下:

式中:u1，u2，u3和u4為控制輸入，加入合理的控制器可將圓盤橫向振動(dòng)的振幅及振幅變化的速率控制在所需的范圍或固定值，以保證圓盤的正常運(yùn)行工況。定義矩陣:

其中，A為系統(tǒng)線性矩陣，B為控制矩陣，g為系統(tǒng)的非線性矩陣。控制的目標(biāo)是使系統(tǒng)狀態(tài)x=［x1，x2，x3，跟蹤一個(gè)時(shí)變狀態(tài) xd=［xd1，xd2，xd3。為此，定義跟蹤誤差:

則誤差動(dòng)力系統(tǒng)為:

可定義時(shí)變的比例積分滑模面為S=S(e，t)，即:

式中，附加矩陣K∈R4×4且滿足det(KB)≠0，附加矩陣L∈R4×4且滿足A－BL為負(fù)定矩陣。在滑動(dòng)模態(tài)下必須滿足 S==0。

為滿足滑動(dòng)條件，在等效控制器中加入一個(gè)非連續(xù)項(xiàng)得到如下控制策略:

式(8)中sign(S)為符號(hào)函數(shù)，即S＞0時(shí)sign(S)=1，S=0時(shí)sign(S)=0，S＜0時(shí)sign(S)= －1。

證明過程詳見參考文獻(xiàn)［3] 。

2.2 數(shù)值模擬

受控前，即u1=u2=u3=u4=0時(shí)，系統(tǒng)(2)狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的圖形如圖5(a，b，c，d)所示:

圖5 受控前狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的曲線Fig.5 The movement graphic of state variables before control

為將系統(tǒng)(2)控制到目標(biāo)態(tài)，選取附加矩陣K=diag(1，1，1，1)可保證 KB 為非奇異矩陣;選取 A －BL的特征根為P=［－5，－5，－5，－5] ，采用極點(diǎn)配置法確定矩陣:

選取比例積分滑模面如下:

設(shè)置系統(tǒng)初始值［x1(0)，x2(0)，x3(0)，x4(0)] =［0.5，0.8，0.2，0.4] ，參照狀態(tài) xd1=xd2=xd3=xd4=xd。則控制信號(hào)如下:

2.3 控制增益的設(shè)計(jì)

在實(shí)際變結(jié)構(gòu)控制中，由于慣性、滯后等因素的存在，抖振的產(chǎn)生是必然的。抖振問題的存在是變結(jié)構(gòu)控制深入應(yīng)用的主要障礙，許多學(xué)者都曾致力于該方面的研究，也得到了很多成果，歸納起來，主要有兩個(gè)途徑，一是對(duì)理想切換采用連續(xù)近似;二是調(diào)整到達(dá)速率。前者雖然消除了抖振，卻使控制器失去了寶貴的抗攝動(dòng)、抗干擾的特性，從而限制了它的應(yīng)用范圍。所以，后者的應(yīng)用發(fā)展前景較為樂觀，也是眾多學(xué)者研究的重點(diǎn)［11]。為了消除變結(jié)構(gòu)控制給系統(tǒng)帶來的抖動(dòng)，必須選取合適的增益系數(shù)。在本文中，由2.1的推導(dǎo)過程可知:

2.4 控制到固定點(diǎn)

此控制方法能夠控制系統(tǒng)(2)穩(wěn)定到任意一點(diǎn)，為了不失一般性，本文取固定點(diǎn)［0.5，0.5，0.5，0.5] ，即xd=0.5，S·求解的初值為［0.1，0.1，0.1，0.1] ，增益系數(shù)k依次取值2、3、4、5，其他參數(shù)值依次為 ω =1，Ω =0.8，γ=1，F(xiàn)=4。在k=3時(shí)，調(diào)整的初值為［1，1，1，1] 。系統(tǒng)控制器均在10 s時(shí)加入，得系統(tǒng)狀態(tài)變量、控制器及滑模面隨時(shí)間變化圖形分別如圖6、圖7和圖8所示。

由圖6可知，隨著控制器增益系數(shù)k取2、3、4、5依次增大，各維狀態(tài)變量受控的過渡過程時(shí)間越短，但是，過渡過程的峰值越大。當(dāng)然，他們之間并不是成線性關(guān)系，如x2維隨著增益系數(shù)k的增大，過渡過程的時(shí)間縮短較小，而峰值增大較多。圖7反映了隨著增益系數(shù)k的增大，滑模面趨近0的時(shí)間縮短，過渡過程均為斜線。圖8中可觀察到，在各個(gè)增益系數(shù)k的各個(gè)取值時(shí)，控制器的輸出曲線最終在確定的基值、上界和下界間波動(dòng)，證明系統(tǒng)誤差已達(dá)到0，控制器的輸出波動(dòng)僅因S的微小變化引起符號(hào)函數(shù)sign(S)躍變而產(chǎn)生。隨著增益系數(shù)k的增大，控制器達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間越短，但是，過渡過程中的峰值越大，且穩(wěn)定后的上、下界波動(dòng)范圍越大。求解的初值對(duì)系統(tǒng)的過渡過程也是有影響的，其初值距最終穩(wěn)定的0越小，時(shí)間越短，峰值也偏大。

綜上所述，增益系數(shù)k的取值，應(yīng)該根據(jù)不同工況的實(shí)際需求，在有效的解決抖振問題的前提下，綜合平衡過渡過程時(shí)間、過渡過程的峰值和控制器最終輸出曲線的上下界三者的關(guān)系。當(dāng)然求解的初值距最終穩(wěn)定的0值越小越好。

2.5 控制到周期軌道

此控制方法能夠控制系統(tǒng)(2)穩(wěn)定到任意周期軌道，為了不失一般性，此處取sin(Ωt)為例，則令xd=sin(Ωt)，其中參數(shù)取值為 ω =1，Ω =0.8，γ =1，F(xiàn)=4 和k=3，在10 s時(shí)加入控制器，得系統(tǒng)狀態(tài)變量及控制器隨時(shí)間變化圖形如圖9和圖10所示。

由圖9可知，加入控制器后，系統(tǒng)(3)最終跟蹤參照狀態(tài)xd至周期軌道，其增益系數(shù)對(duì)過渡過程的影響與控制到固定點(diǎn)時(shí)的結(jié)論相通，在此不再贅述。

3 結(jié)論

在大多數(shù)機(jī)械系統(tǒng)中，混沌是一種有害的運(yùn)動(dòng)形式。因此，建立系統(tǒng)模型，選取合適的參數(shù)并設(shè)計(jì)合理的控制器，消除不期望出現(xiàn)的混沌態(tài)，使機(jī)械系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行，具有重要意義。本文基于所選取的比例積分滑模面，推導(dǎo)出相應(yīng)的控制策略使旋轉(zhuǎn)圓盤的橫向振動(dòng)系統(tǒng)到達(dá)滑動(dòng)模態(tài)，實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，并詳盡分析了控制器增益系數(shù)的選擇來解決抖振問題，以及在過渡過程的時(shí)間、過渡過程的峰值和控制器最終輸出曲線的上下界三個(gè)方面的影響。即:增益系數(shù)越大，則過渡過程的時(shí)間越短，過渡過程的峰值越大，且控制器的過渡過程時(shí)間越短，峰值越大，控制器穩(wěn)定后的上下界越大。同時(shí)，滑模面求解的初值距最終穩(wěn)定的0值越小越好。

后續(xù)的工作有必要對(duì)控制器的投入時(shí)間，該控制方法在其他混沌系統(tǒng)中的應(yīng)用以及相關(guān)實(shí)驗(yàn)等方面進(jìn)行研究。

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