矩形薄板在面內隨機參數激勵下的隨機分岔研究

葛 根，王洪禮，許 佳

(1.天津工業大學 機械學院，天津 300160;2.天津大學 機械學院，天津 300072)

目前薄板在各種工程領域中得到了廣泛的應用。在建筑工程、機械工程以及航空航天工程中使用更為常見。由于薄板一般具有較大的柔性，在外界激勵的作用下容易發生振動，所以研究薄板的非線性動力學問題就顯得尤為重要。國內外眾多非線性學科的學者在此方面做了很多工作。張偉等［1－3]利用全局攝動法研究了矩形薄板的全局分岔及混沌現象;楊志安等［4－6]研究了在非線性地基模型支撐的地基薄板的頻率響應問題。以上文獻的都是使用確定性非線性系統理論進行研究的，而事實上，薄板在實際情況中往往受到隨機激勵的作用。葛根等［7]研究了具有摩擦邊界的矩形薄板在面內隨機激勵下，一階模態的隨機分岔和穩定性問題。但對薄板高階模態的隨機動力學特性尚無研究。

本文在考慮文獻［7] 的研究結論后，建立了四邊簡支的矩形薄板在含噪聲信號的面內激勵下的二階隨機參數激勵模型，并且發現該隨機系統的廣義Hamilton函數形式要比文獻［7] 中的一階模態復雜得多，并用擬不可積Hamilton系統隨機平均法把薄板振動系統表示為一維Ito擴散過程。隨后研究了參數變化對薄板振動時穩定性的影響，得到了系統的隨機局部、全局穩定性及分岔條件隨系統受參激強度變化的特性。

1 薄板隨機振動模型的建立

如圖1所示薄板，矩形薄板長寬分別為a和b，厚度為 h，在 x=0，，x=a，y=0，y=b 四邊簡支。在板中面建立如圖1所示的坐標，設 u，v，w 分別為 x，y，z方向的位移。在x=0，，x=a兩邊受面內激勵p(t)，為板中面內的分布載荷，其形式為:p(t)=p0+p'ζ(t)，其中，p0為均布載荷，ζ(t)為0均值，強度為2D的高斯白噪聲，p為噪聲的幅值。在該薄板可認為是柔性大撓度板。

圖1 矩形薄板振動模型及坐標Fig.1 The model of a rectangular thin plate and the coordinate system

［2] 及馮－卡曼方程，可建立板的橫向振動方程為:

且滿足:

其中:Nx，Ny，Nxy分別為板內各方向的內力。

板的簡支邊的位移邊界條件可表示為:

在 y=0，b處:

力邊界條件為:

y=0，b處:

設滿足位移邊界條件(4)的板的二階模態為:

代入式(2)，并考慮力邊界條件(5)求出板的內力Nx、Ny、Nxy如下:

把內力式(7)、式(8)、式(9)和模態式(6)代入式(1)可得:

根據Galerkin變分法，可求得離散化及參數化簡后薄板的常微分形式的模態方程:

其中參數化簡的形式為:

為研究系統(12)在隨機激勵下系統能量的變化，設系統的Hamilton函數(廣義能量)為:，其中:

p，q為廣義位移和廣義動量。可把系統寫為:

其中:

該Hamilton系統不存在與H(t)獨立對合的首次積分，該系統為一個擬不可積Hamilton系統。根據擬不可積Hamilton系統的定義及性質，可知系統(13)依概率收斂到一維Ito擴散過程:

其中，B(t)是標準Weiner過程，m(H)和σ(H)分別是Ito隨機過程的漂移系數與擴散系數。使用擬不可積Hamilton系統的隨機平均法［8]，得到:

其中:Ω =({q1，q2，p2H(q1，q2，0，p2)≤H)，下標(i，j，k)為約定求和標值。

這里R是方程(21)的根。

2 矩形薄板模型的隨機穩定性

2.1 局部穩定性

線性化系統的最大Lyapunov指數定義為:

由Oseledec乘積遍歷性定理可知，系統(14)平凡解以概率1漸近穩定的充要條件是:最大Lyapunov指數λ＜0。顯然，方程(14)只有一個平凡解(0，0)，則平均Ito方程只在零點處取得唯一平凡解，將(14)在H=0處線性化，得到線性化的Ito微分方程:

解得:

故系統最大Lyapunov指數為:

2.2 全局穩定性

通過計算系統最大Lyapunov指數的方法只能用于判定系統的隨機局部穩定性，卻無法用于系統隨機全局穩定性的判定，所以只能采用隨機擴散過程的奇異邊界理論［10]來判定系統的全局隨機穩定性。

一維擴散過程的概率漸近穩定性由該過程在奇異邊界上的性態確定，因此下面主要分析擴散過程的兩個奇異邊界性態:左邊界H→0和右邊界H→∞。

當H→0時，使 σ2(H)=0，m(H)=0，屬于第一類奇異邊界，H→0為套點。漂移系數m(H)和擴散系數σ(H)漸近地收斂于下面的兩式:

根據參考文獻［10] 表2－8.2和表2－8.4的結論奇異邊界的劃分標準可知，平均Ito方程(12)的左邊界屬于第一類奇異邊界。相應的，判斷邊界類別的擴散指數αl(下標l表示左邊界)、漂移指數βl以及特征標值cl分別為:

當H→∞時，H應對應R的高次項，對式(19)求期望，可知:

把式(30)代入式(19)、式(20)，可知:

且知，在H→∞時，

下面討論參數對系統全局穩定性的影響，當cl＜1，即滿足時，左邊界H→∞是吸引自然邊界。說明當滿足式(26)時，左邊界吸引，右邊界排斥，系統的解曲線會在整個能量域上向左邊界，也就是能量趨向0靠近，所以此時系統是全局穩定的，由此可知滿足條件(26)時，系統不但是局部穩定而且是全局穩定的。

圖2 特征標值變化對系統全局穩定性影響示意圖Fig.2 The global stability conditions with the changing of the character value

可以發現該結論符合一般的常識，當系統的阻尼系數越大時，系統能量耗散越快，系統越趨向穩定;當隨機干擾噪聲密度D越大，則系統的能量越不易控制。

相反，當cl＞1時，左右邊界都是排斥自然邊界，系統的解曲線會在整個能量域上往返，其具體的穩態位置需要求解系統的FPK(Fokker-Planck-Kolmogorov)方程方可知。

3 系統的隨機分岔

當特征標值cl＞1時，系統在取某能量值處會出現最大的概率密度，對應的物理意義為系統在受隨機參數激勵時最有可能的能量大小。當參數變化時，系統能量的最大概率密度可能出現Hopf分岔［11]，對應的是系統出現類似確定性系統中“極限環”的現象，振蕩變得劇烈，系統可能被破壞。因此有必要通過研究系統的FPK方程，可得到出現Hopf分岔的條件。

系統(12)對應的FPK方程為:

其中f為穩態概率密度函數。

求解方程(30)，得到穩態概率密度:

其中A為歸一化常數。

由于這里我們研究的系統能量應在平衡點附近，則考慮忽略式(19)、式(20)中的R4高階項。代入式(33)中后解得:

其中:

系統廣義位移與系統廣義動量的聯合平穩概率密度表達式為:

則穩態概率密度可改寫為:

穩態概率密度函數 f(H)=O(Hη)，且有 η=cl－αl。當滿足η＜－1時，穩態概率密度函數在H=0處是一個δ函數;－1＜η＜0，則穩態概率密度函數f(H)是H=0處有最大值的減函數;當η＞0時，穩態概率密度函數f(H)在遠離H=0處有峰值。這意味著，在η=－1時發生隨機D－分岔(動態分岔，意義類似于確定性系統分岔);在η=0時會發生隨機P－分岔(唯像分岔，概率密度函數的形狀變化)，這兩次分岔構成了隨機Hopf分岔。

下面著重討論η=0處的隨機P－分岔，給定參數條件下的系統平穩概率密度f(H)和系統響應聯合概率密度 f(q1，q2，p1，p2)隨參數變化的數值結果。

由于參數眾多，本文選取對控制系統全局穩定性有重要意義的無量綱阻尼系數μ為分岔控制參數。設其它的無量綱參數為:

從圖3到圖6的數值模擬可知，當阻尼系數增大時，系統的穩態概率密度函數的圖形形狀發生了變化。穩態概率密度函數的峰值的位置表示發生分岔的對應系統廣義能量值，峰值的高度代表概率密度的大小。尤其在阻尼參數取值在使η＞0后，根據圖5和圖6的比較可看出，此時系統發生分岔的能量不在能量H=0處，且隨阻尼參數減小，η變大，系統發生分岔的概率最大對應的能量值H也變大，對應的峰值降低。

下面對系統的聯合概率密度函數做數值模擬。由于系統 Hamilton函數的變量是 q1，q2，p1，p2四個，根據式(36)得出的聯合穩態概率密度函數的圖形是5維的，不利于顯示。所以可以先固定(q2，p2)的值，畫聯合概率密度函數 f(q1，p1)，設 q2，p2=0.2，0.2，代入式(36)后作數值模擬。

隨機系統產生的分岔行為與確定性系統產生的分岔行為是有明顯區別的，隨機系統由于受到隨機因素的作用，系統發生分岔是以概率形式來反映的。一方面，即使滿足一定的分岔條件，分岔也并不是一定會發生，發生分岔的概率反映了發生分岔的可能性的大小，可見隨機系統的復雜性，因此無法做出對隨機分岔的準確的預測;另一方面，系統的參數發生變化時，發生分岔的概率大小也會發生相應的變化，可以通過調節系統參數，盡量降低分岔發生的概率。

通過具體分析，得到了影響系統性態的分岔參數μ，分析了分岔參數取值對隨機Hopf分岔的影響。根據研究經驗，在穩態概率密度出現火山口時即可判定發生隨機Hopf分岔，隨機Hopf分岔的產生會導致系統發生類似確定性系統“自激振動”的現象，從而造成系統損壞，為了避免Hopf分岔的產生可通過調節分岔參數使其值遠離分岔值，即可降低發生分岔的危險。

4 結論

本文的主要工作為，首先建立了四邊簡支矩形薄板的受面內隨機激勵的隨機動力學模型，然后用擬不可積Hamilton系統隨機平均法將表示系統能量(Hamilton函數)的變化過程簡化為一個一維擴散過程。最后利用奇異邊界理論和隨機分岔理論研究了系統的穩定性和分岔情況?？傻贸鋈缦陆Y論:

(1)對系統的邊界分析得出，當系統的阻尼系數大于一個定值時，左邊界吸引右邊界排斥，所以系統一定以概率1穩定;當系統的阻尼系數小于一個定值時，左邊界排斥，右邊界也排斥，系統的解曲線會在能量域上往返。

(2)通過求解系統的穩態概率密度函數，得出了系統發生隨機D－分岔的條件即為系統全局穩定的條件。并通過數值模擬研究了系統發生隨機P－分岔的條件與現象。

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