橢圓軌道拱線相位調節方法研究

符 俊,周 英,張士峰,蔡 洪

(國防科學技術大學 航天與材料工程學院,湖南 長沙 410073)

0 引言

一般來說,共面橢圓軌道轉移主要可分為三種情況：兩個橢圓軌道的拱線相同,僅大小不同;兩個橢圓軌道大小相同,但拱線不同;兩個橢圓的大小和拱線均不相同[1]。第二種轉移中,僅改變拱線的相位(即改變ω)而不改變其他軌道根數。其中：由于兩橢圓軌道相交,可在交點處施加一次速度沖量改變拱線的相位,但該方法消耗的能量較大[1]。采用能量最省的最優軌道轉移中,研究自由時間最省能量的最優軌道轉移方法常需解決施加速度沖量的次數、位置和方向[2]。在多數最優軌道轉移中,除施加速度沖量的方向要求與當地速度方向一致(如經典的霍曼轉移)外,另兩個問題均很難解決。本文根據文獻[3]提出的對稱轉移軌道,基于對稱轉移軌道用遺傳算法對最省能量橢圓拱線相位調節方法進行了研究。

1 單脈沖轉移

單脈沖轉移如圖1所示。圖中：下標I、F分別表示初始和目標軌道。對相交軌道的單脈沖轉移,其速度沖量的施加點必須是兩個橢圓的交點[2],即點C或點D。

圖1 共面橢圓軌道單脈沖轉移Fig.1 Single pulsetransfer of coplanar elliptical orbit

設變軌點為C,其在初始與目標軌道中的位置可用真近點角表示,分別為

式中：Δω為需調整的相位角。在點C,令初始軌道中航天器的速度及其傾角分別為vI,ΘI,目標軌道中航天器的速度及其傾角分別為vF,ΘF。因兩橢圓大小相同,僅拱線方向不一致,故有

則變軌所需的速度沖量大小

式中：ΔΘ=ΘF-ΘI。又因

故速度沖量可表示為

式中：μ為地球引力常數;e為偏心率;p為半通徑。施加速度沖量的方向為徑向。可證明,若在交點D進行變軌,所需的Δv與上述結果相同。

2 對稱轉移

對稱轉移如圖2所示。圖中：下標T表示轉移軌道。轉移軌道與初始與目標軌道均相切。與霍曼轉移類似,在對稱轉移中,先沿航天器速度方向施加一次速度沖量,使航天器進入轉移軌道,再在轉移軌道和目標軌道的切點處施加第二次速度沖量,使航天器進入目標軌道。由于初始軌道與目標軌道關于轉移軌道的主軸對稱,這種轉移方法稱作對稱轉移。因它已確定了施加速度沖量的方向和次數,故對稱轉移的關鍵是求解最優變軌點的位置,使軌道轉移需要的特征速度最小。

圖2 對稱轉移Fig.2 Symmetric transfer

首先以轉移軌道的主軸為極軸,實焦點為極點建立極坐標系。設φ為變軌點在轉移軌道中的真近點角,則最優變軌點的位置可用極坐標表示。建立初始軌道的曲線方程,在極坐標系中可表示為

轉移軌道的曲線方程為

式中：p1,p2為半通徑;e1,e2為偏心率。在最優變軌點處,應滿足關系

則轉移軌道的偏心率和長半軸分別為

解出轉移橢圓后,可得轉移軌道中最優變軌點處的速度

初始橢圓軌道中最優變軌點處的速度

由此可得第一次變軌需要的速度沖量

由于第二次變軌點的位置與第一次變軌點的位置關于轉移軌道的主軸對稱,它需要的速度沖量大小與第一次變軌相同,故整個變軌過程需要的總速度沖量大小為2Δv。

3 遺傳算法

遺傳算法是模仿自然界生物進化機制的隨機全局搜索和優化方法,是一種高效、并行、全局搜索的方法。它能在搜索過程中自動獲取和積累有關搜索空間的知識,并以自適應的控制搜索過程求得最優解。遺傳算法運算流程如圖3所示[4]。

圖3 遺傳算法運算流程Fig.3 Operation flowchart of genetic algorithm

4 仿真

以橢圓軌道為例,分析拱線相位調節中的能量需求。用遺傳算法計算最優變軌點的位置。本文取遺傳算法的參數為：最大遺傳代數50,代溝0.9,選擇使用隨機遍歷抽樣,交叉概率0.7,變異概率0.017。

4.1 最優變軌點的位置與a,e,Δω的關系

最優變軌點的位置決定了對稱轉移最小特征速度的大小。在對稱轉移中,影響最優變軌點位置的因素有初始軌道的半長軸a、偏心率e和拱線的Δω。

a)半長軸

a決定橢圓軌道的大小。e=0.5,Δω=4°時,仿真所得不同a的最優變軌點位置如圖4所示。因e為定值,且地球軌道的近地點地心距應大于地球半徑,故取a的范圍為13 000～30 000 km。由圖4可知：最優變軌點的位置不隨a而變,即初始橢圓軌道的大小不影響最優變軌點在轉移橢圓中的位置。

圖4 不同a的最優變軌點位置Fig.4 Position of optimum transfer point with various semimajor axis

b)偏心率

e決定橢圓軌道的形狀。a=30 000 km,Δω=4°時,仿真所得不同e的最優變軌點位置如圖5所示。e范圍為0.1～0.9。由圖5可知：最優變軌點在轉移橢圓軌道中的真近點角隨e增加而單調增大,即初始橢圓軌道越扁,最優變軌點的真近點角就越大。

圖5 不同e的最優變軌點位置Fig.5 Position of optimum transfer point with various eccentricity

c)拱線相位調節角度

初始橢圓軌道a=18 000 km,e=0.6時,仿真所得不同Δω的最優變軌點位置如圖6所示。

圖6 不同Δω的最優變軌點位置Fig.6 Position of optimum transfer point with various angle of apsidal line

由圖6可知：最優變軌點的位置不僅與橢圓的形狀有關,還受Δω的影響。當Δω＜12.7°時,最優變軌點在轉移軌道中的真近點角隨Δω增大而增大;當Δω＞12.7°時,最優變軌點在轉移軌道中的真近點角隨Δω增大而減小,且當Δω=180°時,f=90°,轉移軌道成為圓軌道,對應的軌道轉移如圖7所示。

圖7 Δω=180°時橢圓軌道的對稱轉移Fig.7 Symmetric transfer of elliptical orbit withΔω=180°

4.2 單脈沖轉移和雙脈沖對稱轉移比較

設橢圓軌道參數為：a=20 000 km,e=0.6,計算Δω在0°～10°時的能量需求,結果分別如圖8、9所示。

不同轉移相位時單脈沖轉移和雙脈沖對稱轉移需要的速度沖量計算結果見表1。由表1可知：用對稱轉移進行拱線相位調節所需要的速度沖量約為單脈沖轉移的50%,方法明顯更優。

圖8 優化過程中目標函數和種群均值Fig.8 Target value and mean value of population in optimization

圖9 拱線相位調節需要的速度沖量Fig.9 Velocity impulsewith various apsidal line angle

表1 單脈沖轉移和對稱轉移需要的速度沖量Tab.1 Velocity impulse of single-impulsetransfer and symmetric transfer

5 結束語

基于LAWDEN,PRIMMER的研究,本文對大小相同的橢圓拱線相位調節方法進行了研究,提出了單脈沖轉移和雙脈沖對稱轉移方法。討論了對稱轉移,用遺傳算法求解最優變軌點位置,獲得了最優變軌所需特征速度的求解方法。仿真結果表明：對稱轉移較單脈沖轉移更省能量。

[1]郗曉寧,王 威.近地航天器軌道基礎[M].長沙：國防科學技術大學出版社,2003.

[2]GOBETZ F W,WASHINGTON M,EDELBAUM T N.Minimum-impulse time-free transfer between elliptic orbits[R].NASA Contractor NASI-4688,1966.

[3]LAWDEN D F.Impulsive transfer between elliptical orbits：optimization techniques[A].LEITMANN G.New York：Academic Press,1962.

[4]雷英杰,張善文,李續武,等.MATLAB遺傳算法工具箱及應用[M].西安：西安電子科技大學出版社,2005.