馬爾科夫鏈預測法對四川各地區人均GDP的研究

胡斌彬

（重慶師范大學，重慶 401331）

馬爾科夫預測是利用現在的狀態去預測將來的狀態，因此它在預測上面的應用十分廣泛。馬爾可夫狀態轉移概率矩陣不僅可以描述研究對象的發展演變情況，而且還常被用于各種預測。本文將借助馬爾可夫狀態轉移概率矩陣來研究未來幾年四川各地區的小康情況。

1 馬爾科夫鏈轉移概論矩陣的意義

馬爾科夫的一步轉移概論Pij表示的意義是：變量現在處于狀態i，下一個狀態處于j的概率。比如，今年某產品的市場占有率處于狀態i，在明年的狀態可能會發生變化，處于狀態j，這發生的概率就是一步轉移概率，即是表示隨機現象朝某個方向發生變化的可能性的大小。我們考慮到馬爾科夫鏈的所有可能的m個狀態空間一步轉移概率Pij，就構成了一步轉移概率矩陣。

2 四川省各地區人均GDP實證分析

四川省各地區2007-2009年人均GDP，可參見中國統計年鑒。由于現在國內還沒有對小康的評價做出統一的標準，世界銀行《1990年世界發展報告》中按照人均GDP將各個國家或地區分別劃分為貧困、溫飽、小康、富裕、和發達型國家或地區五種類型。在評價國家小康的問題上，采用了12項指標，其中人均DGP和恩格爾系數是兩項重要指標，現在我們利用人均DGP指標，再利用馬爾科夫預測法來分析國家未來幾年的人均DGP。根據四川省的實際情況和國內比較普遍的觀點，按照如下標準劃為五種狀態：

I1為貧困 （人均 GDP300美元以下）；I2為溫飽 （人均GDP300美元～800美元）；I3為小康（人均 GDP800美元～1500美元）；I4為 （人均 GDP1500～3000 美元）；I5為發達 （人均GDP3000美元以上）。

根據馬爾科夫鏈的定義和性質，考察特定年份的一組各市人均GDP情況，其變化時一種隨機的過程，且具有“無后效性”的性質，因此視為以年為變化單位的一個馬爾科夫過程。

各地區按照人均GDP情況分為貧困地區、溫飽地區、小康地區、富裕地區、、和發達地區（見表2）。計算的方法是將人民幣按照當年不同的匯率兌換成美元計算，本文取當年12月月底的兌換率（其中2009年的兌換率是一美元兌換6.831的人民幣、2008年的兌換率是6.8346和2007年的兌換率是7.347）。

表1 四川省各地區2007年人均GDP類型統計表

表1表示的是，2009年貧困地區數為0，溫飽地區數為0，小康地區數為4（廣元市、巴中市、阿壩縣和甘孜縣），富裕地區數為13，發達地區數為3（成都市、攀枝花市、德陽市），總數20表示的是四川所有要研究的地區數為20，其余的數據表示的意思類同。

我們對2007～2008年和2008～2009年的轉移概率矩陣取平均值，可得一步轉移概率為：

對于上述轉移概率矩陣求極限，由于只存在一種吸收狀態——發達地區，因為隨時間的增加，最終所有地區的小康水平必會達到發達水平。

假設 Xk=（X1k，X2k，X3k，X4k，X5k）表示第K年各種人均 GDP狀態的地區數，X0=（X10，X20，X30，X40，X50）=（0，1，5.6667，11,2.3333） 表示的是 2007-2009 年三年間平均各地區人均GDP的狀態數。

若要計算第K年各種人均GDP狀態的地區數，則可根據以下公式得出：Xk=X0×Pk（其中表示的是一步轉移概率矩陣的k次方）。比如我們計算2010年各種人均GDP狀態的地區數則有：X1=X0×P1，帶入數據則可計算出2010年各狀態的地區數是：X1=（0，0，2.925，12.9173，4.1577）。

即2010年，四川沒有貧困地區數，溫飽地區數也為0個，小康地區數為2.925個（即接近三個地區為小康地區），富裕地區數為12.9173（即接近13個地區為富裕地區），發達地區數為4.1577個（即接近4個地區為發達地區）。

3 結語

通過本例，很明顯可以看出，馬爾科夫鏈在生活中，只需要最近和現在的數據便可對未來數據的改變趨勢作出有效的預測，即對將來預測是很可靠也很可行的，以后在各個領域對馬爾科夫鏈的使用也會越來越廣泛的。

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