高中數學中不等式的證明方法

黃 東，茍一泉，趙中玲

(西南大學 數學與統計學院，重慶 400715)

1 三角代換

利用三角函數進行換元,把一般不等轉化為三角函數問題,實現了問題化歸解決的目的)

例 1:已知:x2+y2≤1,求證:

2 換元法

引進新的變元,轉化解決問題的角度。

3 反證法

當正面研究問題有困難時,常常換一種思路,從其反面著手,往往會化難為易。

例 3:坌a,b,c綴(0,1),求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）中至少有一個不大于

4 放縮法

利用常見不等式進行適當的放大或者縮小,以達到證題的目的。

例 4:已知 a,b,c綴R+， 求證：

由(1),(2),(3)得:

5 判別式法

把復雜的不等式問題轉化為熟悉的一元二次函數問題,達到簡化的目的。

6 構造法

構造合適的數學情景,如:函數,圖形等,利用熟知的知識來解決抽象的不等式問題。

證明:構造△ABC，O 為其內一點，且有 AO=x，BO=y，CO=,由余弦定理知：

7 向量法

利用向量的手段，把代數問題向量化，轉化了思考問題的角度，拓寬了思路。

此外,不等式的證明方法還有:Cauchy不等式,排序不等式,函數的凹凸性,數學歸納法等,限于篇幅,這里就不再贅述。不等式是高中數學的重點與難點,筆者對不等式的證明方法作了一些總結,希望能為讀者在認知不等式的過程中提供思路。