基于ARIMA模型的我國GDP分析預測

王正宇 王紅玲

(安徽大學經濟學院，安徽合肥230601)

一、有關時間序列分析的理論

時間序列分析，在預測一個時間序列未來的變化時，不再使用一組與之有因果關系的其他變量，而只是用該序列的過去行為來預測未來，不僅考察預測變量的過去值與當前值，同時對模型同過去值擬合產生的誤差也作為重要因素進入模型，作為一種精確度相當高的短期預測方法，近年來在經濟預測過程中廣泛應用并取得了相當好的結果。

ARIMA模型是一類常見的隨機時間模型，它是由美國統(tǒng)計學家博克斯和英國統(tǒng)計學家詹金斯于20世紀70年代提出來的，亦稱B－J方法。其基本思想是將預測對象隨時間推移而形成的數(shù)據序列視為一個隨機序列，用一定的數(shù)學模型來近似描述這個序列。這個模型一旦被識別后就可以從時間序列的過去值及現(xiàn)在值來預測未來值。

Box－Jenkins方法在應用中的常見模型形式為:自回歸移動平均模型(Autoregressive Moving Average Model，簡記ARMA):若時間序列Yt為它的當前與前期的誤差和隨機項，以及它的前期值的線性函數(shù):

則稱該時間序列yt為自回歸移動平均模型，記為ARMA(p，q)。參數(shù) φ1，Λ，φp 為待估自回歸參數(shù)，θ1，Λ，θq為待估移動平均參數(shù)，殘差μt為白噪聲序列。顯然，AR(p)模型和MA(q)模型都是ARMA(p，q)模型的特例。Box－Jenkins模型要求時間序列為平穩(wěn)序列，而實際應用中時間序列往往表現(xiàn)為長期趨勢，季節(jié)變動、循環(huán)變動的非平穩(wěn)數(shù)列，這時可通過差分法反復差分以消除其趨勢，于是上述ARMA(p，q)又經常以自回歸移動求積平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model，簡記ARIMA)的形式加以標記。其模型符號為ARIMA(p，d，q)，p代表自回歸階數(shù)d，表示對非平穩(wěn)數(shù)列進行差分處理的次數(shù)，q代表移動平均的階數(shù)。

該方法把時間序列建模表述為三個階段:

第一，模式識別:確定時間序列應屬的模型類型，其基本原理是根據數(shù)據的相關特性進行鑒別;

第二，估計模型的參數(shù)，并結合定階準則和殘差檢驗對模型的適用性進行診斷檢驗;

第三，應用模型進行預測。

二、基于ARIMA模型分析預測中國國內生產總值(GDP)

從中國統(tǒng)計局統(tǒng)計年鑒上摘錄的1978—2008年中國GDP(生產法)依次如下(單位:億元):

從數(shù)據的散點圖上來看，我國GDP對時間折線圖序列表現(xiàn)出趨勢性，經驗判斷是不平穩(wěn)的。

方法上序列的平穩(wěn)性可以用自相關分析圖(自相關函數(shù)ACF圖和偏自相關函數(shù)PACF圖)判斷:如果序列的自相關系數(shù)AC很快地(滯后階數(shù)K大于2或3時)趨于0，即落入隨機區(qū)間，時序是平穩(wěn)的，反之非平穩(wěn)。經過檢驗該序列非平穩(wěn)。

也可以檢驗對所有k＞0，自相關系數(shù)都為0的聯(lián)合假設，這可通過如下Q統(tǒng)計量進行，該統(tǒng)計量近似地服從自由度為m的χ2分布(m為滯后長度)。因此，如果計算的Q值大于顯著性水平為ɑ的臨界值，則有1－ɑ的把握拒絕所有自相關系數(shù)同時為0的假設。若樣本較小，則m一般取［n/4］。

從Q統(tǒng)計量的計算值看，滯后8期的計算值為71.83，超過5%顯著性水平的臨界值15.51拒絕所有相關系數(shù)都為0的假設。

在現(xiàn)實中，常見的時間序列多具有某種趨勢，但許多序列通過差分可以平穩(wěn)。如果原序列非平穩(wěn)，經過d階逐期差分后平穩(wěn)，則新序列稱為齊次序列。平穩(wěn)序列可以建立ARMA(p，q)模型。原序列可表示為ARIMA(p，d，q)模型。判斷時間序列的趨勢是否消除，只需考察經過d階差分后序列的自相關序列圖，自相關系數(shù)是否很快趨于0。

首先進行一階差分，經過一階差分的序列仍然不平穩(wěn)。因此需要繼續(xù)差分。

進行二階差分后，對二階差分GDP做ADF檢驗，以檢驗序列是否有單位根，即是否非平穩(wěn)，二階差分后的序列ADF單位根檢驗結果證實了它的平穩(wěn)性。

模型的識別與建立:

在需要對一個時間序列運用B－J方法建模時，應運用序列的自相關與偏自相關對序列適合的模型類型進行識別，確立 p，q。

參看二次差分后的自相關序列圖，自相關系數(shù)在k=1和k=3時顯著不為0，可以考慮q=1，2，3。同理偏自相關系數(shù)在k=1和k=3時顯著不為0，可以考慮p=1，2，3。

綜上，序列 ddgdp可以建立 ARMA(1，1)或 ARMA(1，2)或 ARMA(2，1)或 ARMA(2，2)或 ARMA(3，1)或ARMA(1，3)或 ARMA(3，2)或 ARMA(2，3)或 ARMA(3，3)。經過篩選對比，將ARMA(p，q)模型的滯后多項式倒數(shù)根落入單位圓外的模型排除，僅考慮ARMA(1，2)和ARMA(2，3)。對序列 gdp 來說就是 ARIMA(1，2，2)和ARIMA(2，2，3)。

對ARIMA(1，2，2)模型建立本文通過Eviews軟件采用命令方式，在主窗口命令行輸入

ls d(gdp，2，0)ar(1)ma(1)ma(2)

這里，對參數(shù)t檢驗顯著性水平的要求并不像回歸方程中那么嚴格，更多的是考慮模型的整體擬合效果。調整后的決定系數(shù)、AIC和SC準則都是選擇模型的重要標準。

再建立 ARIMA(2，2，3)模型:

經過比較，ARIMA(2，2，3)模型t檢驗更加滿足顯著性水平，同時調整后的決定系數(shù)也大了不少，AIC和SC準則值比前面模型更小，說明這個ARIMA(2，2，3)模型是更適合的。

參數(shù)估計后，應該對ARIMA模型的適合性進行檢驗，即對模型的殘差序列進行白噪聲檢驗。若殘差序列不是白噪聲序列，意味著殘差序列還存在有用信息沒被提取，需要進一步改進模型。通常側重于檢測殘差序列的隨機性，即滯后期k＞0，殘差序列的樣本自相關系數(shù)應近似為0。檢測方法可以通過觀察樣本自相關序列圖:對ARIMA(2，2，3)模型從k=8這行找到檢驗統(tǒng)計量Q值為1.5323，從Prob列得到值為67.5%，拒絕原假設犯錯的概率為67.5%，即殘差序列相互獨立為白噪聲的概率很大。因此檢驗通過，殘差序列是純隨機的。

從擬合回歸圖看擬合圖形的趨勢走向和幅度較為一致。

基于序列 ARIMA(2，2，3)模型我國2007—2011年GDP預測值

三、結論

本文利用ARIMA模型對我國經濟進行了預測與分析，實證分析表明，該模型對于分析及預測我國GDP是簡單而又非常有效的。從圖中MAPE項可以看出與實際值預測值(2007、2008兩年)之間誤差百分比是比較小的。另外值得注意的是，ARIMA模型一般在短期內的預測比較準確，隨著預測的延長，三年以上預測誤差相對增大，這也是ARIMA模型的一個缺陷。但盡管如此，如果在建立模型過程中不斷補充近期數(shù)據，調整和優(yōu)選新模型并實現(xiàn)動態(tài)預測，則預測效果還可進一步提高，與其它的預測方法相比，其預測的準確度還是比較高的。同時，這里采用的Box－Jenkins建模思想，由于不需要對時間序列的發(fā)展模式作先驗的假設，方法本身又可反復識別修改，直到獲得滿意的模型，因此非常適合各種經濟時間序列，包括在辨別序列資料的典型特征十分困難和復雜情況下的預測。

［1］易丹輝．統(tǒng)計預測方法與應用［M］．中國統(tǒng)計出版社，1988.

［2］李子奈．計量經濟學［M］．北京:高等教育出版社，2000.

［3］古亞拉提．經濟計量學精要［M］．機械工業(yè)出版社，2006.

［4］易丹輝．數(shù)據分析與Eviews應用［M］．中國統(tǒng)計出版社，2002.