考慮價值漏損的風險投資項目實物期權定價方法

魯 皓,張宗益

（1.重慶大學 經濟與工商管理學院，重慶 400030；2.重慶交通大學 理學院，重慶 400024）

考慮價值漏損的風險投資項目實物期權定價方法

魯 皓1，2,張宗益1

（1.重慶大學 經濟與工商管理學院，重慶 400030；2.重慶交通大學 理學院，重慶 400024）

與金融資產相比，實物資產本身往往具有現金流動性和持有收益率的特性,因此在對項目價值進行估價時,有必要考慮價值漏損的存在。文章在CA方法的基礎上增加了對資產價值漏損的考慮，以二叉樹模型為基礎建立了包含價值漏損的實物期權定價方法。并通過算例將該方法與傳統CA方法的計算結果進行了對比。

實物期權；MAD假設；二叉樹；價值漏損

0 引言

風險投資是一種新興的投資機制，是由風險投資家向投資者募集資金，對新興的、迅速發展的、有巨大競爭潛力的企業注資，并在投資后提供管理經營等增值服務以使被投資企業能夠迅速發展，最終獲得高資本收益的投資行為。在風險投資過程中，投資家為了規避風險，往往會根據市場變化，靈活決定項目投資時間、規模和方式。這種相機選擇行為賦予了風險投資家一種 “沒有義務的權利”，Myers將這種權利定義為實物期權[1]。關于這些期權的價值分析因此構成風險投資決策的基礎。

迄今為止，風險投資項目的實物期權定價方法主要可分為兩類：一類是以Black Scholes公式為基礎的連續時間模型。盡管這類模型理論上很完美，但在實際應用中往往會因為數學方法復雜、前提假設嚴格、結果不夠直觀而受到種種限制；另一類是以二項式期權定價模型為基礎的離散型模型[2]。二項式期權定價模型將項目預期收益的變化近似地看成離散的隨機游走過程，其優點在于簡單直觀，極限結果正好與著名的Black Scholes公式相符合，但是卻存在著兩個明顯的缺點：一是由于每一節點僅有兩種可能的狀態，要獲得較多的狀態就必須不斷地細分時間區間，增加結點，從而導致計算量迅速增大；二是需要找到同該資產完全相關的“孿生證券”以獲得表示風險的波動率。為此許多學者又對二項式模型進行了擴展。Smith and Nau提出將二項式模型與決策樹相結合[3]（MNS方法），用二項式模型處理市場風險，用決策樹模型處理技術風險。決策樹的引入大大方便了模型的計算，但是在現實中市場風險和技術風險卻往往難以區分；為解決這一問題，Copeland和Antikarov提出了更為通用的方法（CA方法），用不含柔性的項目現值作為標的風險資產的“孿生證券”（MAD假設），再根據對現金流的蒙特卡羅模擬分析獲得綜合反映項目風險的波動率，最后采用二叉樹模型對實物期權定價[4]。在CA方法的基礎上，Oriani和Sobrero結合風險投資項目多階段投資的特征,構建了多階段期權定價模型,并用模型分析了英國290家制造業企業的風險投資項目情況[5]。

然而，就作者所知，現有文獻鮮有考慮實物資產可能產生的價值漏損問題。價值漏損是指期權合約持有者沒有得到標的資產持有收益率和現金流的現象。目前的研究中實物期權價值多由動態復制方法決定，這種方法決定了在期權和復制組合之間不存在套利機會，因此價值漏損問題便無從考慮。但在實際上,很多實物資產都存在價值漏損現象（比如股利分紅，利息等）。價值漏損的存在會改變標的實物資產價值的演化路徑，從而影響到期權價值和項目價值[6]。因此本文針對標的資產的價值漏損情況，對CA方法進行了相應的調整，以期提高期權定價模型的準確性。

1 模型與評估方法

1.1 問題描述

風險投資公司擬分階段投資于某項目。項目的投資有效期可劃分為N個時長為△t的階段，t階段的投資為It。假設在△t內資產價值從起始值V分別以風險中性概率p和1-p隨機移動到新值Vu和Vd，其中，r為無風險利率，則u>1,d<1，即從V到Vu是價值上升運動,而從V到Vd是價值下降運動。因此在t=1時項目價值只有一種可能V；在t=2時項目價值有兩種可能狀態Vu和Vd；t=i時，項目價值有種可能狀態：

1.2 未考慮價值漏損的實物期權定價模型

Copeland和Antikarov提出了MAD假設，即用不含靈活性的現金流現值作為標的風險資產的“孿生證券”。并以此為基礎，建立了通用的實物期權定價方法（CA方法）。該方法可分為如下四個步驟：

（1）通過DCF定價模型計算項目現值。第i期的項目價值為：，其中μ為風險調整貼現率，Ct為第i期的項目現金流。

（2）通過Monte Carlo法模擬項目收益，計算表示項目風險的波動率σ。

（3）根據各時期各狀態下的項目價值得到資產價格二叉樹。

（4）識別所有的實物期權，進行實物期權分析。從最后期間開始在每個節點上計算每個期權的價值，將期權價值與所需的投資比較，在每個節點標記最大值。再用復制技術沿決策樹倒推，在樹的起始點獲得含有靈活性的項目價值。

CA方法的優點在于直觀、靈活，在保留現金流折現分析外觀形式的同時，還自然地列出了不確定性和或有決策的各種結果，并根據孿生證券的價值推演出期權價值。然而在實際工作中，由于價值“漏損”的存在,期權價值與孿生證券價值之間往往存在一定的偏差,從而影響到期權價值。因此在給項目定價的時候，有必要在期權定價模型中增加對價值漏損的考慮,以提高期權定價模型的準確性。

2 考慮價值漏損的實物期權定價模型

所謂價值漏損是指期權合約持有者沒有得到標的資產的持有收益率和現金流的現象。多數實物資產都存在價值漏損，這些漏損要么以直接的現金流形式存在(如股利的分紅、租金、利息),要么以隱含的持有收益率形式存在（如把持有的商品存貨供應給市場得收益）。每當支付日來臨時，這些現金流或便利收益會使得項目價值發生跳躍性的降低。因此為簡化計算，可將價值漏損視為標定資產的比例部分。考慮到風險投資項目的進展管理是多階段決策過程，可進一步設定該比例會隨著階段的變化而變化。這一設定是基于項目往往在不同時段呈現出不同特征的事實。實際上，產品成功推向市場需要往往要經歷實驗室研究階段、中試階段以及產品商業化階段。每個階段技術風險和市場風險會有不同的分布狀況，此外，即使是相同的因素，在不同階段的影響程度也不盡相同，因此項目往往會在不同時段呈現出不同特征。

為計算價值漏損，本文引入每個階段的支付不變比率ki。由前分析知該比率只隨著所處的時間階段改變而改變，因此可將i階段的支付不變比率定義為：ki=Ci/Vi。又因為價值漏損為標定資產的比例部分，比例取值與狀態j的取值無關，只隨著所處的時間階段改變而改變，則i期j狀態下價值漏損Cij=kiVij。

CA方法中，資產價格二叉樹是由各時期各狀態下的項目現值得到的（Step3）。而本文擬用價值漏損和各時期各狀態下的項目現值來構造資產價格二叉樹，構造步驟如下：

第一步：計算扣除價值漏損后的項目價值Vij'：

（2）式中u,d表示價值的上升下降程度，Vi-1表示前一階段的項目價值，Ci-1=ki-1Vi-1表示上期價值漏損（在上期期末所支付的現金流），這將減少后續各期的項目價值。特別地，當階段i=0時，因為項目還未啟動，沒有產生價值漏損，故k0=0；當階段 i=1 時，有=uV0，=dV0，此時本文的方法與 CA方法是一致的。

第二步：計算各時期各狀態下扣除價值漏損后的項目現值Vij''：

第三步：計算各時期各狀態下的價值漏損現值：

第四步：計算各時期各狀態下的項目現值Vij：

由（4）、（5）式可以得到二叉樹的各分叉值，從而可以構造資產價格二叉樹。然后在此基礎上識別所有的實物期權，建立期權決策樹進行實物期權分析。在進行實物期權識別分析時，要注意將價值漏損加入項目價值中。以放棄期權為例，若用CA方法，則應當從最后期間開始計算每個節點上包含期權的項目現值為V=max{VNj,K}，K為期權執行價格。然后用復制技術沿決策樹倒推，在樹的起始點獲得含有靈活性的項目價值；而用本文提出的包含價值漏損的二叉樹期權定價模型，最后期間每個節點上包含期權的項目現值為V=max{VNj,VNj-VNj''(1-kN)+K/(1+r)N}。

3 數值算例

以玉石礦開發為例[7]來分析含有價值漏損的實物期權定價模型在價值評估中的應用。A公司擬投資一個玉石礦開發項目，預計需要投資900萬元。礦石的產量每年約29噸，并可以較長時間維持不變；該種玉石的價格目前為每噸10萬元，預計每年上漲11%，其標準差為35%，固定成本每年100萬元。風險調整貼現率為10%，無風險利率為5%，項目波動率σ=35%，第3年時企業可以400萬元的殘值放棄開發。按照DCF定價模型計算項目現值，并計算每期的現金流支付比率ki如表1所示：

再取△t=1，則有u=1.419,d=0.705，風險中性概率p=0.483。用CA方法和含價值漏損的實物期權定價模型對玉石礦項目進行估值的過程分別如下：

3.1 CA方法的估值過程

根據最初的項目價值和上升下降比率可以得到各狀態下的資產價值,將資產價值作為分叉值，則可得到資產現值變化樹形圖如圖1所示。在第3年，企業可決定繼續進行項目或者選擇放棄期權。因此可在樹形圖的基礎上，在第3年處插入決策點用以表示項目可執行的期權。第3年末含期權的項目現值為VO3j=max(V3j,400/(1+0.05)3)，而第2年末至第1年末的項目現值可根據風險中性概率逐年向前遞推。從而得到含有靈活性的項目價值為881。這表明，初始投入900萬元的研發投資，可得到該研發項目包含實物期權在內的項目超額收益價值為-19萬元。

3.2 考慮價值漏損的估值過程

根據（4）、（5）式計算價值漏損 Cij'和項目現值 Vij，求得資產現值變化樹形圖如圖2所示。在給定事件樹的前提下，再在第三年插入決策點用以表示項目在第3年可執行的期權，實物期權分析過程如圖3所示。在第3年，企業可決定繼續進行項目，或者選擇放棄期權。令第3年末不執行期權的項目現值為V3j，包含放棄期權的項目現值A3j。第3年末含期權的項目現值為 VO3j=max(V3j,A3j)，其中A3j=V3j-V3j''(1-k3)+400/(1+0.05)3。第2年末至第1年末的項目現值,可根據風險中性概率逐年向前遞推。從而在決策樹的起始點獲得含有靈活性的項目價值為1009。這表明，初始投入900萬元的研發投資，可得到該研發項目包含實物期權在內的項目超額收益價值為109萬元。

表1 企業預計現金流，凈現值，現金流支付比率

根據以上分析可以看出,傳統DCF法的計算結果比實物期權方法的計算小，這可以解釋為DCF法忽略了管理柔性，從而造成的投資機會價值的低估；對比兩種實物期權方法可以發現，考慮價值漏損的實物期權估值要比通過CA方法計算出來的項目估值大128萬元,這個偏差是比較大的。如果將價值漏損類比為股票紅利，標的資產類比為股票，放棄期權類比為看跌期權，則可以在股票市場中找到與本文類似的偏差現象：股票市場中，紅利的發放將使得股票的價格降低，從而增加看跌期權的價值，減少看漲期權的價值。因此由數值算例可以發現，與CA方法相比，含有價值漏損的實物期權定價反映了影響期權價值的實體資產真實回報的變化情況，如果忽視了這些調整將可能導致期權估價錯誤并可能誤導投資決策。

4 結語

由于現金流和便利收益的存在，實物資產往往存在著價值漏損的現象，傳統的實物期權定價方法往往忽視了這一點。本文針對這一不足，在CA方法的基礎上增加了對資產價值漏損的考慮，并以二叉樹模型與決策樹為基礎建立了一個包含價值漏損的實物期權定價方法。并通過一個應用實例，將所建立的方法與傳統CA方法的計算結果進行了對比。實驗結果表明，含有價值漏損的實物期權定價模型更能反映影響期權價值的實體資產真實回報的變化情況。

本文所構建的模型保持了二叉樹模型的實用性和靈活性：一方面，計算程序編寫和參數調整都非常直觀方便，并不需要大量復雜的數學計算過程；另一方面，模型能提供詳細的模型化決策過程，能夠清楚反映出期權存在期間的最優決策路徑。模型適用于已完成市場調查，已對未來現金流情況做出估計的R&D項目，也適用于自然資源開發項目和房地產開發項目。

價值漏損的成因是現金流或便利收益，本文只討論了現金流的情況，而對便利收益的討論還未涉及。因此對便利收益的研究將是一個尚待深入的方向。

[1]Smith J.Decision Analysis in Management Science[J].Management Science,2004，(50).

[2]John Hull.Options,Futures and other Derivatives (7thEdition)[M].NJ:Prentice Hall,2008.

[3]Smith J,Nau R.Valuing Risky Projects:Option Pricing Theory and Decision Analysis[J].Management Science,1995,14(5).

[4]Copeland T,Tufano P.A Real-World Way to Manage Real Options[J].Harvard Business Review,2004,82(3).

[5]Orinai R,Sobrero M.Uncertainty and the Market Valuation of R&D within a Real Options Logic[J].Strategic Management Journal,2008,29.

[6]Andrew Metric.Venture Capital and the Finance of Innovation,[M].USA：RDC Publishing,2010.

[7]王琳,楊方文.EXCEL在放棄期權計算分析中的運用[J].研究與探索，2008,(4).

[8]李川,鄧光軍,曾勇.技術創新與增長期權定價[J].運籌與管理，2003,(6).[9]畢守鋒,李岱松,馬欣.復合期權方法在項目評估中的應用[J].科研管理,2008,(3).

[10]張矢的,魏東旭.風險投資中雙重道德風險的多階段博弈分析[J].南開經濟研究,2008,(6).

[11]郭菊娥,晏文雋,張國興.風險投資主體對高新技術企業分階段投資的時機選擇[J].系統工程理論與實踐,2008,(8).

F224

A

1002－6487（2011）04－0054-03

國家自然科學基金資助項目（70941029)；重慶交通大學青年科學基金資助項目

魯 皓（1980-），女，重慶人，博士研究生，研究方向：技術創新與風險管理。

張宗益（1964-），男，貴州人，教授，博士生導師，研究方向：公司治理與技術創新。

（責任編輯/亦 民）