壽命產品可靠度的貝葉斯估計

徐 寶

(1.吉林師范大學 數學學院，吉林四平 136000；2.吉林大學 數學研究所，長春 130012)

壽命產品可靠度的貝葉斯估計

徐 寶1，2

(1.吉林師范大學 數學學院，吉林四平 136000；2.吉林大學 數學研究所，長春 130012)

在與信息論中的熵函數有關的一種新的加權對稱熵損失函數下，用參數估計方法研究了壽命服從幾何分布的產品可靠度的估計問題。得到了可靠度的貝葉斯估計的一般形式與精確形式并討論了貝葉斯估計的可容許性。最后研究了可靠度的多層貝葉斯估計，數值算例表明研究結果能為實際生產提供穩健性較高的估計形式。

可靠度；貝葉斯估計；多層貝葉斯估計；穩健性

1 問題的提出

在現代實際生產中，許多產品都要求有很高的可靠性指標，因此必須對產品進行可靠性測試。若對產品的測試手段是成敗型試驗(如脈沖、振蕩等沖擊試驗)，則其壽命是以成敗次數來衡量的。在測試產品的壽命的研究中幾何分布起著重要的作用。因此，對幾何分布的可靠性分析具有理論和實際應用價值。在貝努里試驗中，令θ為每次試驗成功的概率(也稱其為可靠度)，若進行了x+1次試驗，前x次成功而第x+1次失敗的概率為 P(X=x)=θx(1-θ),0<θ<1,x=0,1,2,…，則稱隨機變量X服從幾何分布G(θ)。幾何分布及其均值以及可靠度的貝葉斯估計問題已得到廣泛研究[1-6]，本文在這些文獻使用的與信息論中的熵函數有關的幾種損失函數基礎之上，提出一種新的損失函數——加權p，q對稱熵損失函數

這里δ是待估參數θ的估計量。容易看出損失函數(1)關于待估參數與其估計量是p，q對稱的，也就是交換二者以及p，q的位置，不影響損失函數的形式。這個特性是熵損失函數所不具備的，而且當p=q時，損失(1)具有與平方損失函數以及絕對損失函數一樣的對稱性。在這個損失函數下，本文研究幾何分布可靠度θ的貝葉斯估計和多層貝葉斯估計及其性質。

2 可靠度θ的貝葉斯估計

這一部分在貝葉斯框架下，利用損失函數(1)來研究參數θ的估計及其性質。下面定理給出參數θ的貝葉斯估計。

定理 2.1令 X～G(θ)，在損失函數(1)下，對任何先驗分布，參數θ的貝葉斯估計為

證明：設δ(X)為參數θ的任一估計，在損失函數(1)下，δ(X) 對應的貝 葉 斯 風 險 為 E[L(θ,δ)]=E{E[L(θ,δ)]|X}=E，上式左端E表示關于θ與樣本x的聯合分布取期望。欲求θ的貝葉斯解，只須關于δ極小化即可。易知(2)式是其唯一最小值點，從而得到θ的貝葉斯估計為(2)式。

下面考慮在給定先驗分布π(θ)后，參數θ的貝葉斯估計精確形式及其性質。

定理2.2若參數θ的先驗為貝塔分布Beta(a,1)=aθa-1,a>0為超參數，則在損失函數 (1)下θ的貝葉斯估計為δB(x)=，并且是θ的可容許估計。

證明:易知參數 θ 的后驗密度為 h(θ|X)∝θx+a-1(1-θ),于是有

從而 δB(x)=，并且是可容許的。若不然，假設存在另一個估計 δ(x)優于 δB(x)，則必有 δ(x)的貝葉斯風險小于或等于δB(x)的貝葉斯風險，即δ(x)也是一個貝葉斯估計，這與θ的貝葉斯估計唯一性矛盾，從而δ(x)=δB(x)， 故 δB(x)是可容許的。

3 可靠度θ的多層貝葉斯估計

注意到θ的貝葉斯估計的精確形式中含有超參數α，若對超參數再給出一個先驗，稱之為超先驗，由先驗和超先驗決定的一個新先驗就稱為多層先驗。本文應用文[7]的結果，取超參數 α 的先驗 π(a)為 U(1,c)，其中 2≤c≤6，則參數 θ 的多層先驗密度為

定理3.1在多層先驗密度(3)下，幾何分布可靠度θ的多層貝葉斯估計為

從而θ的多層貝葉斯估計為(4)式。

4 說明與討論

表1 p=q=1時產品可靠度的多層貝葉斯估計

表2 p=1/2,q=3/2時產品可靠度的多層貝葉斯估計

表3 p=3/2,q=1/2時產品可靠度的多層貝葉斯估計

本文在貝葉斯框架下使用加權p，q對稱熵損失函數研究了幾何分布可靠度的估計問題，得到了與文[6]相似的估計形勢。由于文[6]已經表明可靠度的多層貝葉斯估計穩健，而本文所使用的損失函數又是文[6]所使用的q對稱熵損失函數的進一步推廣形式，有兩個可供調整的常數p與q，因此能更容易得到預期的估計效果。下面應用文[6]中的的數值例子給予說明。

設對某壽命產品進行了兩批試驗，兩批試驗數據結果分別為x=19和x=30，對 c(2≤c≤6)，給定 p，q的值來計算幾何分布可靠度的多層貝葉斯估計，限定p+q=2，分別計算了(1)p=q=1，(2)p=1/2，q=3/2，(3)p=3/2，q=1/2 三種情形下幾何分布可靠度的多層貝葉斯估計，結果由表1、表2、表3給出。

其中表1的結果與文[6]的結果一致。從上述三個表中可以看出隨著產品可靠性的提高，其可靠度的估計的極差越小，估計越穩健，而且選擇合適的p，q值可以得到更穩健的估計。

[1]Chen L S.Selecting the Best Geometric Distribution Based on Type-ICensored Data:a Bayesian Approach[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2010,140.

[2]Anna D.Records from Geometric Distribution[J].Statistics and Probability Letters,2008,78.

[3]Ammar M S,Kundu D.Bayes Estimators for Reliability Measures in Geometric Distribution Model Using Masked System Life Test Data[J].Computational Statistics&Data Analysis,2008,52.

[4]周偉萍,張德然,楊興瓊.熵損失函數下幾何分布參數的Bayes估計[J].山西師范大學學報(自然科學版)，2007，(4).

[5]周偉萍,張德然,楊興瓊.熵損失函數下幾何分布可靠度的Bayes估計[J].數理統計與管理，2008，(1).

[6]熊常偉,張德然,張怡.Q對稱熵損失下幾何分布的參數估計[J].貴州師范大學學報(自然科學版)，2007，(3).

[7]韓明,崔玉萍.幾何分布可靠度估計[J].運籌與管理，2001，(4).

O212.8

A

1002－6487（2011）04－0153-02

吉林省教育廳“十一五”科學技術研究項目(2010);四平市科技發展計劃基金項目(2009016)

徐寶(1977-)，男，吉林四平人，博士研究生，講師，研究方向：數理統計。

（責任編輯/易永生）