ARMA模型的頻譜分析檢驗法

李培梁，單 銳

（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

ARMA模型的頻譜分析檢驗法

李培梁，單 銳

（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

文章將窗譜估計的技術(shù)應(yīng)用于時間序列模型的檢驗，以解決模型構(gòu)建的正確性和參數(shù)估計的準(zhǔn)確性。通過實(shí)例驗證比較的方法進(jìn)行研究，對同一時間序列模型分別利用混合的擬合不足檢驗與本文所提的頻譜分析模型檢驗法對其進(jìn)行檢驗，結(jié)果顯示，即使模型在5%的置信水平下通過了Q統(tǒng)計量檢驗，但模型的設(shè)定仍然有可能存在錯誤，無法通過頻譜分析模型檢驗。表明頻譜分析模型檢驗法相對于時間序列模型構(gòu)建中廣泛使用的Q統(tǒng)計量檢驗法，在時間序列模型設(shè)定的正確性檢驗方面具有更強(qiáng)的模型檢驗?zāi)芰Α?/p>

時間序列；譜估計；ARMA模型；模型檢驗

0 引言

時間序列模型的建立是一個反復(fù)的過程，每次反復(fù)都需要模型檢驗對模型設(shè)定的正確性和模型中參數(shù)估計的準(zhǔn)確性進(jìn)行檢驗。時間序列模型檢驗最常用的方法是殘差分析法，它用來檢驗由擬合模型所得殘差的行為是否像白噪聲過程。殘差分析法有許多可用的檢驗方法，如：Fisher檢驗，廣義似然比檢驗，自適應(yīng)Neyman檢驗，χ2檢驗，和Q統(tǒng)計量檢驗等，其中Q統(tǒng)計量檢驗最被推崇使用。它最初是由Box和Pierce(1970)提出的，盡管殘差分析法具有很強(qiáng)的模型檢驗?zāi)芰?，但它存在兩方面的局限性，一是，殘差分析法用于檢驗過度擬合的功效通常不高。二是，計算量非常大有時還需要計算非參數(shù)檢驗統(tǒng)計量。

本文的主要目的是將頻譜分析引入到時間序列ARMA模型的正確性設(shè)定的檢驗研究中。

1 基于頻譜分析的ARM A模型檢驗方法

用頻譜分析法對時間序列ARMA模型進(jìn)行檢驗就是比較實(shí)際樣本的譜密度與ARMA模型生成的譜密度的一致性，所以用頻譜分析法驗證模型首先得估計時間序列樣本的功率譜和模型生成的功率譜，然后根據(jù)兩者功率譜的異同來判斷模型設(shè)定是否正確。

1.1 樣本譜估計

設(shè)Zt是實(shí)值平穩(wěn)過程，其自協(xié)方差函數(shù)rk為絕對可和，則時間序列Zt的譜為

其中-π≤ω≤π。

實(shí)際中往往不可能給出全部Zt序列，那么我們可以用樣本自協(xié)方差r贊k代替理論上的方差rk以估計f(ω)。然后對于一個給定的n樣本時間序列，我們只能計算r贊k其中k=0,1,2,…,(n-1)，因此，估計 f(ω)只能用

所以我們可由(2)式得到樣本譜(1)式的估計。

1.2 ARMA模型的譜估計

對于給定的時間序列Z1,Z2,…,Zn，為了近似未知的基本過程，我們可以用一個ARMA(p,q)模型去近似未知過程，其中ARMA(p,q)模型如下：

其中 E(Zt)=μ,準(zhǔn)p(B)=(1-準(zhǔn)1B-…-準(zhǔn)pBp)和 θq(B)=(1-θ1B-…-θqBq)，B 為向后推移算子，即 BpZt=Zt-p，Bqat=at-q。 ARMA(p,q)模型的自協(xié)方差生成函數(shù)為：

其中σa2為at的方差。平穩(wěn)ARMA(p,q)模型的譜為

則ARMA(p,q)模型的譜可以用下式估計

③推薦腸內(nèi)營養(yǎng)，包括高碳水化合物、低脂、適量蛋白飲食。肝性腦病患者詳見“肝性腦病”部分。進(jìn)食不足者，每日靜脈補(bǔ)給熱量、液體、維生素及微量元素（Ⅲ），推薦夜間加餐補(bǔ)充能量。

1.3 模型檢驗

基于譜密度函數(shù)的ARMA模型的檢驗基于這樣的設(shè)想，即如果兩個隨機(jī)過程具有相同的概率分布，那么他們具有相同的頻譜特性，即ARMA模型對數(shù)據(jù)擬合良好，模型有效。他最早用于導(dǎo)彈仿真系統(tǒng)的模型檢驗。

設(shè) fx與 fy(贊)分別表示樣本功率譜密度估計與 ARMA模型功率譜密度估計。根據(jù)如果ARMA模型對數(shù)據(jù)擬合較好，則兩者必然有相同的頻譜特性，模型設(shè)定正確與否通過如下假設(shè)進(jìn)行檢驗，

H0fx(ω)=fy(ω)

H1fx(ω)≠fy(ω)

由窗譜估計的性質(zhì)有

其中v稱為平滑譜的等價自由度。我們令fx(ω)與fy(ω)的譜商函數(shù)為Q=，其估計值為，則由(4)式知xy

若零假設(shè)成立(5)式可以簡化為

按照(7)式對每一個頻點(diǎn)ω進(jìn)行檢驗，若每個頻點(diǎn)對(7)式成立則，可以認(rèn)為在顯著水平a，時間序列模型建立是成功的，即模型通過驗證。

2 實(shí)例驗證

通過實(shí)例驗證研究來表明頻譜分析模型驗證法在時間序列模型設(shè)定的正確性檢驗方面有著重要的作用。首先采用Q統(tǒng)計量對ARMA模型檢驗，然后使用頻譜分析方法進(jìn)行驗證。結(jié)果顯示頻譜分析法具有更強(qiáng)的模型驗證能力。

我們對1857——1911年間加拿大Hudson’s Bay灣公司出售山貓皮的年度數(shù)據(jù)進(jìn)行ARMA模型建模。ARMA模型結(jié)構(gòu)如(3)式所示。

運(yùn)用AIC模型信息準(zhǔn)則對ARMA模型進(jìn)行定階。得到 p=2,q=1，ARMA(2,1)

模型結(jié)構(gòu)如下：

準(zhǔn)2(B)Zt=θ1(B)at

其 中 準(zhǔn)2(B)=(1-準(zhǔn)1B-準(zhǔn)2B2)和 θ1(B)=(1-θ1B)

運(yùn)用極大似然函數(shù)估計法對模型中參數(shù)進(jìn)行估計，得到模型如下式：

(1-1.55B+0.94B2)=(1-0.59B)at

可見式中參數(shù)顯著不為0。利用Q統(tǒng)計量對ARMA(2,1)模型進(jìn)行驗證，結(jié)果如表1。由表1可知Q統(tǒng)計量都顯著，說明模型ARMA(2,1)擬合良好。

表1 對出售山貓皮的年度數(shù)據(jù)序列擬合ARMA（2,1）模型的殘差自相關(guān)系數(shù)檢驗

進(jìn)一步使用頻譜分析法對該模型進(jìn)行驗證。由前面所提到的樣本譜與ARMA模型譜估計原理，分別估計得到樣本譜密度函數(shù)fx(ω)與ARMA模型譜密度函數(shù)fy(ω)。

由頻譜分析法知，在α=0.05的置信水平下所考察的頻帶內(nèi)置信上限和下限沒有全部包含“1”，如圖1所示。

圖1 α=0.05時的聯(lián)合置信曲線

因此ARMA(2,1)模型盡管通過了Q統(tǒng)計量的檢驗，但該模型未能通過頻譜分析驗證，模型設(shè)定的正確性被否定?？梢婎l譜分析法可以揭示殘差分析檢驗法無法揭示的內(nèi)容。從而說明頻譜分析法是一種精確有效的模型驗證工具。

3 結(jié)論

本文在樣本譜估計與ARMA模型譜估計的基礎(chǔ)上提出一種新的模型驗證方法。并通過實(shí)例驗證表明，頻譜分析法相對于時間序列模型檢驗中廣泛使用的殘差分析檢驗法，在檢驗?zāi)Ｐ驼_性方面具有更強(qiáng)的檢驗?zāi)芰Α亩f明頻譜分析法的提出對時間序列模型的驗證有著重大意義。

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O21

A

1002－6487（2011）04－0155-02

李培梁（1983-），男，山西汾陽人，碩士研究生，研究方向：譜分析在時間序列中的應(yīng)用。

（責(zé)任編輯/易永生）