矩陣變換的若干應(yīng)用

向 偉

（重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 400047）

矩陣是代數(shù)特別是高等代數(shù)的主要研究對(duì)象。當(dāng)今國(guó)內(nèi)外有許多學(xué)者致力于這方面的研究并且取得了一定的成就。他們均是站在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和發(fā)展的高度，分別從矩陣的初等變換概念、性質(zhì)及矩陣的初等變換在研究矩陣的行列式、秩、特征值和特征向量、求矩陣的逆（包括λ矩陣的逆）、求向量組 a1,a2,… ,as的極大無(wú)關(guān)組、求標(biāo)準(zhǔn)正交基、求解矩陣方程與線性方程組等方面的應(yīng)用，還對(duì)得出的這些結(jié)論作了系統(tǒng)的證明。本文探討矩陣初等變換在多項(xiàng)式方面和向量組方面的應(yīng)用。

矩陣A的初等變換是指對(duì)矩陣實(shí)施以下三種變換：

（ⅱ）用一個(gè)不為零的數(shù)k乘矩陣A的某一行（列）的所有元素（用k×ri表示用k乘第i行，用 k× ci表示用k乘第i列）；

（ⅲ）把矩陣A的某一行（列）的所有元素的k倍加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去（用 ri+k×rj表示將第 j行乘以k再加到第i行，用 ci+ k × cj表示將第j列乘以k再加到第i列）。

文中所涉及到的矩陣的乘法和加法都假定是可乘和可加的。

1 在多項(xiàng)式中的應(yīng)用

引理1若，則

即，若

則

由此可見(jiàn)，對(duì)多項(xiàng)式矩陣

施行初等行變換，不會(huì)改變f(x)，g(x)的最大公因式，且當(dāng)多項(xiàng)式矩陣

經(jīng)初等行變換化為

就轉(zhuǎn)化為“系數(shù)矩陣”

于是，對(duì)

施行一次初等行變換消去f(x)的最高次項(xiàng)，相當(dāng)將矩陣

的第二行乘以 - an/bm后向左移動(dòng)n-m位加到第一行（稱為錯(cuò)位初等行變換）。

引理2若

則

與

對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式的最大公因式相同。

綜上所述，可得用矩陣的初等變換求兩個(gè)多項(xiàng)式f(x)，g(x)的最大公因式的方法：

（1）給出多項(xiàng)式矩陣

對(duì)應(yīng)的 “系數(shù)矩陣”

（2）對(duì)A施行錯(cuò)位初等行變換，當(dāng)前面若干列全為 0時(shí)，可將這些列去掉，直到將其化為

的形式為此。

（3）d (x ) = csx5+…+ c0即為多項(xiàng)式 f (x),g(x)的一個(gè)最大公因式。

例 1求 f(x) = 3 x3- x2- x -1， g(x) = 6 x4+ 4 x3+ 5x2+2x+1的最大公因式。

解作它們的系數(shù)矩陣

對(duì)A施行錯(cuò)位初等行變換

故d(x)=3x2+ 2x +1為所求的一個(gè)最大公因式。

也可將這種方法推廣到求多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式的問(wèn)題上去。

例2求的最大公因式d(x)。

解

定理1設(shè)多項(xiàng)式矩陣

經(jīng)過(guò)初等行變換化為

則d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)，且d(x)為 f(x)與g(x)的最大公因式。

定理2設(shè)多項(xiàng)式矩陣

經(jīng)過(guò)初等行變換化為

例 3設(shè) f(x)=x3+x2， g(x) = x2+ 2 x+1，求它們的最大公因式d(x)，并求出u(x)，v(x)，使得d(x)=

解構(gòu)造矩陣

并作初等行變換，

定理3矩陣的行秩與列秩相等。

定理4線性相關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組有非零解。

定理5齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是的系數(shù)矩陣

2 在向量組方面的應(yīng)用

的行秩r＜n。

例 4已知α1=(1,1,1)，α2=(0,2,5)，α3=(1,3,6)，判斷α1, α2,α3的線性相關(guān)性。

解以α1,α2,α3為列向量構(gòu)造矩陣，并對(duì)其施行初等行變換

定理6設(shè)

與增廣矩陣

有相同的行秩。

例 5已知向量組試判斷β能否由α1,α2線性表出，若能，則寫(xiě)出相應(yīng)的線性表達(dá)式。

解以α1,α2,β為列構(gòu)成矩陣，并對(duì)它施行初等行變換，化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣：

則r（ A）= r （A），且 β= 3α1- α2。

定理7設(shè)向量組以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣A 經(jīng)過(guò)行初等變換化為階梯型矩陣B，B的非零行的首個(gè)非零元所在的列對(duì)應(yīng)的向量αi1,αi2,…,αir構(gòu)成α1,α2, … ,αm的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，其向量的個(gè)數(shù)即為向量組的秩。

例 6利用矩陣初等變換求下列向量組的秩與一個(gè)極大無(wú)關(guān)組

解將已知向量為列構(gòu)成4×5的矩陣A，并對(duì)它施行初等行變換

故α1, α2,α4為該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且其秩為3。

已 知 向 量 組 α1,α2, …,αm與 β1, β2, … ,βs， 分 別 以為列構(gòu)成矩陣A與矩陣B，令矩陣 C= （AB），則由性質(zhì) 3知，矩陣的初等行變換不改變列向量間的線性相關(guān)性，故有：

定理8 α1,α2, …,αm與等價(jià)的充要條件是r(A) = r(B ) = r(C)。

例 7判斷向量組α1=(1,2,-1,5)，α2= (2,-1,1,1)和向量組β1=(4,3,-1,11)，β2=(4,3,0,11)是否等價(jià)。

解由性質(zhì)3知，矩陣的初等行變換不改變列向量間的線性相關(guān)性，故分別以α1，α2和β1，β2為列構(gòu)成矩陣A，B，令 C= （AB ），然后對(duì)C施行初等行變換

定理9設(shè)W1，W2分別是由與 β1,β2，… ,βs生成的子空間，則

例10 求子空間 L (α1,α2)與 L (β1, β2)的和空間的基與維數(shù)，其中α1=(1,1,0,0)，α2=(1,0,1,1)，β1=(0,0,1,1)，β2=(0,1,1,1)。

解以為列構(gòu)成矩陣A，對(duì)A施行初等行變換，使它化為行最簡(jiǎn)形矩陣B

由B可得，α1，α2是L (α1,α2)的一組基，且

α1，α2，β1是

的一組基，且