三次方程根的判別式定理的新證明

陳海燕

（鹽城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 鹽城 224002）

1 問(wèn)題的提出

對(duì)于實(shí)系數(shù)的一元三次方程

初等數(shù)學(xué)研究中給出其解的基本思路是通過(guò)作差根變換

將其化為不完全三次方程

形式來(lái)解，并運(yùn)用特殊的技巧方法給出了方程

的根的公式

該公式通常稱(chēng)為卡丹（Cardano）公式，并由卡丹公式及其推導(dǎo)過(guò)程可得到方程(1)的根的判別式定理。

定理（三次方程根的判別式定理）對(duì)于一元不完全三次方程

其判別式為

（1）D＞0，方程有一個(gè)實(shí)根和一對(duì)共軛虛根；

（2）D=0，方程有三個(gè)實(shí)根，且其中有兩個(gè)相等；

（3）D＜0，方程有三個(gè)互不相等的實(shí)根。

易見(jiàn)三次方程 x3+px+q= 0(p,q ∈R )根的判別式D與 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c= 0(a≠0)根 的 判 別 式Δ= b2- 4ac的作用相同。由于三次方程根的判別式定理需要借助于卡丹公式的推導(dǎo)過(guò)程才能理解透徹（參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]和[2]），而卡丹公式的推導(dǎo)技巧性又較強(qiáng)，所以，要深刻理解D的符號(hào)如何對(duì)三次方程的根的影響不如一元二次方程根的判別式那么直觀。為此，我們利用高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)給出三次方程根的判別式定理一個(gè)新的證明，從中能較直觀地看出D的符號(hào)如何影響三次方程根的情況。

2 一元不完全三次方程根的判別式定理的新證明

根的存在性定理[3]若函數(shù) f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且 f(a)f(b) ＜ 0，則至少存在一點(diǎn) c∈ (a,b)，使得f(c) = 0。

下面我們證明三次方程根的判別式定理。

證明易見(jiàn)，D＞0當(dāng)且僅當(dāng)p＞0或p=0，q≠0或p＜ 0，并且（其中 p1=(- p /3)1/2，下同）；

設(shè)f(x )= x3+ px + q ，則f(x)在實(shí)數(shù)域R上連續(xù)可導(dǎo)，且 f′(x) = 3x2+ p。

（1）若 p＞0，則 f′(x)＞0，從而 f(x)在實(shí)數(shù)域R上嚴(yán)格遞增。此時(shí)， f(x)圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)。又因?yàn)椋裕嬖赱a,b]? R，使得 f(a)＜0，f(b)＞0。由根的存在定理知f(x)圖象與x軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)=0恰有一實(shí)根。再由高等代數(shù)中實(shí)系數(shù)一元多項(xiàng)式分解定理[4]易知，多項(xiàng)式x3+px+q可分解為一次因式和二次不可約因式的積。由此可知方程f(x)=0有一個(gè)實(shí)根和一對(duì)共軛虛根。

（2）若p=0，則 f(x)有唯一穩(wěn)定點(diǎn)x0=0，除此以外的任一點(diǎn)x，有 f′(x)＞0。此時(shí)，若q≠0，則同（1）可推知方程 f(x)=0有一個(gè)實(shí)根和一對(duì)共軛虛根；若q= 0，則方程f(x)=0即為x3=0，該方程有三重根。

容易算出

又

綜上可得出定理的結(jié)論。

從以上證明可以看出，當(dāng)p＜0時(shí)，D的符號(hào)即為f的兩個(gè)極值的乘積的符號(hào)。當(dāng)D＞0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象如圖1，當(dāng)D=0、D＜0時(shí)，圖象分別如圖2、3。

圖1 (a) D>0

圖1 (b) D>0

圖2 D=0

圖4 D<0

從而不難理解D的符號(hào)對(duì)不完全三次方程

根的影響。這一點(diǎn)在初等數(shù)學(xué)研究的相關(guān)證明中難以看出。